第四章指数函数与对数函数4 5应用课时3二分法求方程近似解

成套的课件成套的教案成套的试题成套的微专题尽在高中数学同步资源大全QQ群483122854联系微信fjmath加入百度网盘群4000G一线老师必备资料一键转存，自动更新，永不过期第四章 指数函数与对数函数4.5 函数的应用（二）课时3 用二分法求方程的近似解学习目标了解二分法的原理及其适用条件.（数学抽象）掌握二分法的实施步骤.（逻辑推理）体会二分法中蕴含的逐步逼近与程序化思想.（数学建模）自主预习·悟新知合作探究·提素养随堂检测·精评价1.何为函数的零点？[答案]

函数值为0时自变量的值．若零点不能准确求出，有什么方法可以求零点的近似值？[答案]

二分法.所有函数的零点都可以用二分法求出吗？[答案]

不是.例如，函数><m𝑓

𝑥

=ଶ𝑥

+

2

/<>m

的零点<>m−

2/<>m

就无法用二分法求出．当用二分法求函数零点的近似值时，函数应满足哪些条件？[答案]

当用二分法求函数的零点时，函数应满足以下条件：①在含有零点的区间内函数的图象连续不断；②含有零点的区间端点对应函数值符号相反．当m><

𝑎

−

𝑏 <

𝜀

/<>m

时，为什么说区间<>m

[𝑎,

𝑏]/<>m

内的任意实数<>m

𝑥

/<>m

都可以作为函数零点<>m

𝑥଴

/><m

的近似值？[答案]

因为<>m

𝑥

−

𝑥଴

≤ 𝑎

−𝑏 <

𝜀m<>/

，所以以𝑥m>< m></

作为函数零点𝑥଴m>< m></

的近似值满足精确度的要求．1.判断下列结论是否正确.（正确的打“√”，错误的打“×”）所有函数的零点都可以用二分法来求.(

×

)函数𝑓

𝑥

=

𝑥

可以用二分法求其零点.(

×

)精确度𝜀

就是近似值.(

×

)2.观察下列函数的图象，判断能用二分法求其零点的是(9@@

A

).A.

B.

C.

D.[解析]

能用二分法求解的函数图象在零点附近必须是连续的，而且零点附近两侧的函数值异号．3.关于“二分法”求方程的近似解，下列说法正确的有

④

．①“二分法”求方程的近似解一定可将𝑦

=

𝑓

𝑥

在[𝑎,

𝑏]

内的所有零点得到；②“二分法”求方程的近似解有可能得到𝑓

𝑥 =

0

在[𝑎,

𝑏]

内的重根；③“二分法”求方程的近似解𝑦

=

𝑓

𝑥

在[𝑎,

𝑏]

内有可能没有零点；④“二分法”求方程的近似解可能得到𝑓

𝑥 =

0

在[𝑎,

𝑏]

内的精确解．[解析]

利用二分法求函数𝑦

=

𝑓

𝑥

在[𝑎,

𝑏]

内的零点，那么在区间[𝑎,

𝑏]

内肯定有零点存在，而对于重根无法求解出来，且所得的近似解可能是[𝑎,

𝑏]

内的精确解．4.用二分法研究函数

𝑓

𝑥 =

𝑥ଷ

+

3𝑥

−

1

的零点时，第一次计算得

𝑓

0<

0

，

𝑓

0.5 >

0

，可得其中一个零点𝑥଴

∈

m><

0,0.5

m></

，第二次应计算

𝑓m><

0.25

m></

．[解析]

第一次经计算得

𝑓

0 <

0

，

𝑓

0.5 >

0

，根据零点存在定理可知零点

𝑥଴

∈

0,0.5

，第二步取区间中点值计算𝑓଴ା଴.ହଶ=

𝑓

0.25

．探究1

二分法的概念在一档娱乐节目中，主持人让选手在规定时间内猜某物品的价格，若猜中了，就把物品奖给选手．某次竞猜的物品为价格在1000元以内的一款手机.选手开始报价，选手说

“800”，主持人说“高了”；选手说“400”，主持人说“低了”．问题1：.如果是你，你知道接下来该如何竞猜吗？[答案]

应猜400与800的中间值600.问题2：.通过这种方法能猜到具体价格吗？[答案]

能．新知生成对于在区间[𝑎,

𝑏]

上

连续不断

且

<>m𝑓

𝑎 ⋅

𝑓

𝑏 <

0/<>m

的函数𝑦

=

𝑓

𝑥

，通过不断地把函数𝑓

𝑥

的零点所在的区间

一分为二

，使区间的两个端点逐步逼近

零点，进而得到零点近似值的方法叫作二分法．新知运用例1

（1）

下列函数图象中，不能用二分法求函数零点的是(22@@

D

).A.

B.

C.

D.[解析]

根据零点存在定理，对于D，在零点的左右附近，函数值不改变符号，所以不能用二分法求函数零点.故选D.（2）

用二分法求方程2௫

+

3𝑥

−

7

=

0

在区间

1,3

内的根，取区间的中点为𝑥଴

=2

，那么下一个有根的区间是

<>m

1,2

/<>m

．[解析]

设𝑓

𝑥 =

2௫

+

3𝑥

−

7

，则𝑓

1 =

−2

<

0

，

𝑓

3 =

10

>

0

，

𝑓

2 =

3

>

0

，𝑓

𝑥

的零点所在的区间为

1,2

，故下一个有根的区间是

1,2

．方法总结二分法的适用条件判断一个函数能否用二分法求其零点的依据：其图象在零点附近是连续不断的，且该零点为变号零点.因此，用二分法求函数的零点近似值的方法仅对函数的变号零点适用，对函数的不变号零点不适用.在用二分法求函数𝑓

𝑥

零点的近似值时，第一次所取的区间是[−2,4]

，则第三次所取的C.

[−2,

ହ]ଶ

ଶD.

[−

ଵ

,

1]区间可能是(

@@62

D

).A.

[1,4]

B.

[−2,1][解析]

∵第一次所取的区间是[−2,4]

，∴第二次所取的区间可能为[−2,1]

，

[1,4]

，∴第三次所取的区间可能为[−2,−ଵ]，[−ଵ

,1]，[1,ହ]，[ହ

,4].ଶ

ଶ

ଶ

ଶ探究2

二分法的应用<

0/<>m

，我们已经知道<>m𝑓

𝑥 =

ln

𝑥

+

2𝑥

−

6m></

的零点在区间m><

2,3

m></

内.问题1：.如何缩小零点所在区间m><

2,3

m></

的范围？[答案]

取区间m><

2,3

m></

的中点2.5，用计算器算得𝑓m><

2.5 ≈

−0.084m></

.因为𝑓m><

2.5 ⋅

𝑓

3所以零点在区间m><

2.5,3

m></

内．问题2：.如何进一步缩小零点所在的区间？[答案]

再取区间<>m

2.5,3

/<>m

的中点2.75，用计算器算得<>m𝑓

2.75 ≈

0.512m></

.因为𝑓m><

2.5

⋅𝑓

2.75

<0m></

，所以零点在区间m><

2.5,2.75

m></

内．这样一来，零点所在的范围越来越小了．问题3：.若给定精确度0.3，如何选取近似值？[答案]

当精确度为0.3时，由于m><

2.75−

2.5 =

0.25

<

0.3m></

，所以可以将𝑥m><

=

2.5m></

作为函数𝑓m><

𝑥 =

ln𝑥

+

2𝑥

−

6/<>m

的零点近似值，当然区间<>m[2.5,2.75]/<>m

内的任意一个值都是函数零点的近似值，常取区间的端点作为零点的近似值．新知生成用二分法求函数零点近似值的步骤给定精确度<>m𝜀/<>m

，用二分法求函数<>m𝑓

𝑥

/<>m

零点<>m𝑥଴/<>m

近似值的步骤如下：<

0/<>m

.（1）若><m𝑓

𝑐 =

0m></

（此时𝑥଴m><

=

𝑐m></

），则𝑐m><

m></

就是函数的零点；（2）若𝑓

𝑎 ⋅𝑓

𝑐（3）若𝑓

𝑐 ⋅𝑓

𝑏确定零点<>m𝑥଴/<>m

的初始区间<>m[𝑎,

𝑏]/><m

，验证<>m𝑓

𝑎 ⋅

𝑓

𝑏求区间

𝑎,𝑏

的

中点

𝑐

.计算><m𝑓

𝑐

/<>m

，并进一步确定零点所在的区间：<

0

（此时零点𝑥଴

∈ 𝑎,𝑐

），则令

𝑏m><

m></

=

𝑐

；<

0

（此时零点𝑥଴

∈ 𝑐,𝑏

），则令

𝑎m><

m<>/

=

𝑐

．4.判断是否达到精确度𝜀:

若

𝑎

−

𝑏

<m><

m></

𝜀

，则得到零点近似值𝑎

（或𝑏

），否则重复第（2）至（4）步．新知运用一、用二分法求函数零点的近似值例2

求方程<>mln

𝑥

=

2

−

𝑥/<>m

的近似解（精确度为0.1）．[解析]

分别画出函数

𝑦

=

ln𝑥

和

𝑦

=

2−

𝑥

的图象，如图所示，在两个函数图象的交点处，函数值相等，因此，这个点的横坐标就是方程

ln𝑥

=

2

−𝑥的解.由函数𝑦

=

ln

𝑥

与𝑦

=

2

−𝑥

的图象可以发现，方程ln

𝑥

=

2

−𝑥有唯一解，且这个解在区间

1,2

内．设𝑓

𝑥 =

ln

𝑥

+𝑥

−2

，则函数𝑓

𝑥

的零点即方程ln

𝑥

=

2

−

𝑥的解，记为𝑥଴

，则有𝑓

1 <

0

，

𝑓

2 >

0

⇒

𝑥଴

∈

1,2

；𝑓

1.5 <

0

，

𝑓

2 >

0

⇒

𝑥଴

∈

1.5,2

；>

0

⇒

𝑥଴

∈>

0

⇒

𝑥଴

∈1.5,1.75

；1.5,1.625

；𝑓

1.5 <

0

，

𝑓

1.75𝑓

1.5 <

0

，

𝑓

1.625𝑓

1.5 <

0

，

𝑓

1.5625>

0

⇒

𝑥଴

∈

1.5,1.5625

．因为

1.5625

−1.5 =

0.0625

<

0.1

，所以方程ln

𝑥

=

2

−𝑥的近似解可取为1.5625．方法总结 用二分法求函数零点的近似值应遵循的原则需依据图象估计零点所在的初始区间[𝑚m><

,

𝑛]m></

（一般采用估计值的方法完成）；取区间端点的中点𝑐m><

m></

，计算𝑓m><

𝑐

m></

，确定有解区间是m><

𝑚,

𝑐

m></

还是m><

𝑐,

𝑛

m></

，逐步缩小区间的“长度”，直到区间的两个端点符合精确度要求，终止计算，得到函数零点的近似值.二、二分法的实际应用例3

在一个风雨交加的夜里，从某水库闸门到防洪指挥所的电话线路发生了故障，这是一条长为<>m10

km/<>m

，大约有200根电线杆的线路，请设计一个能迅速查出故障所在的方案，并回答维修线路的工人师傅最多检测几次就能找出故障地点所在区域（精确到<>m100

m/<>m

范围内）.[解析]如图，工人师傅首先从𝐴𝐵段的中点𝐶检测，用随身带的话机向两端测试，发现𝐴𝐶段正常，可见故障在𝐵𝐶段；再从𝐵𝐶

段的中点𝐷

检测，发现𝐵𝐷

段正常，可见故障在𝐶𝐷

段；再从𝐶𝐷

段的中点𝐸

检测；….由此类ଶ೙推，每查一次，可以把待查的线路长度缩减一半，可以算出经过𝑛

次检测，所剩线路的长度为ଵ଴଴଴଴

m

，则有ଵ଴଴଴଴

≤100

，即2௡

൒

100

，又2଺

=64

，2଻

=128

，所以最多只要检测7次就能找到故障地点所ଶ೙在区域．方法总结二分法是一种体现了现代信息技术与数学课程的结合，将数学学习与信息技术紧密结合在一起，渗透了算法思想和合理运用科学计算器、各种数学教育技术平台的方法．二分法不仅仅可以用来求解函数的零点和方程的根，在现实生活中也有许多重要的应用，可以用来处理一些实际应用问题．如在电线线路、自来水管道、煤气管道等铺设线路比较隐蔽的故障排除方面有着重要的作用，当然在一些科学实验设计及资料的查询方面也有着广泛的应用．考查了数学建模、逻辑推理的数学核心素养.1.用二分法求2௫

+𝑥=4

在[1,2]

内的近似解（精确度为0.2）.参考数据如下表：m><

/<>m

<>m

/<>m𝑥1.1251.251.3751.51.6251.751.8752௫2.182.382.592.833.083.363.67[解析]

令𝑓

𝑥 =

2௫

+

𝑥

−

4

，则𝑓

1 =

2

+1

−4

=

−1

<

0

，

𝑓

2 =

2ଶ

+

2

−

4

=

2

>

0

．区间精确度区间中点值𝑥௡𝑓

𝑥௡

的值及符号1,22

−1 =

1𝑥ଵ

=

1.5𝑓

𝑥ଵ

≈

0.33

>

01,1.51.5

−1 =

0.5𝑥ଶ

=

1.25𝑓

𝑥ଶ

≈

−0.37

<

01.25,1.51.5

−1.25 =

0.25𝑥ଷ

=

1.375𝑓

𝑥ଷ

≈

−0.031

<

0用二分法逐次计算，列表如下：∵ 1.375

−1.5 =

0.125

<

0.2

，∴2௫

+𝑥=4

在[1,2]

内的近似解可取为1.375．2.一犯罪嫌疑人在𝐴

城犯事后驾车从𝐴

城向𝐵

城的高速公路上逃逸，办案人员利用计算机调取高速公路的摄像头查看犯罪嫌疑人的车辆是否经过该地段，以尽快锁定犯罪嫌疑人在高速公路的位置.已知𝐴𝐵

城间的高速路上共安装了15个摄像头，采用二分法的思想，则最多应查看

4

个摄像头即可确定犯罪嫌疑人在某两个相邻的摄像头之间路段行驶.（计算机查看摄像头的时间忽略不计）[解析]

运用二分法思想，首先查看第8个摄像头是否发现犯罪嫌疑人经过，若没发现则查看第4个摄像头是否发现犯罪嫌疑人经过，若没发现则查看第2个摄像头是否发现犯罪嫌疑人经过，若没发现则查看第1个摄像头是否发现犯罪嫌疑人经过，若没发现，则可确定犯罪嫌疑人在𝐴

城与𝐴

城到𝐵

城的第一个摄像头之间的路段行驶，其他情形也一样，所以最多应查看4次摄像头即可确定犯罪嫌疑人在某两个相邻摄像头之间的路段行驶.1.下列函数中，必须用二分法求其零点的是(A.

𝑦

=

𝑥

+7

B.

𝑦

=

5௫

−

1ଷC.

𝑦

=

log

𝑥

D.

𝑦

=ଵ

ଶ௫−𝑥42@@

D

).[解析]

A

，

B

，C项均可用解方程求其根，

D

项不能用解方程求其根，只能用二分法求零点．2.用二分法求函数𝑓

𝑥 =

𝑥ଷ

+5

的零点可以取的初始区间是().D.

[1,2]44@@