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第八章拉普拉斯变换

拉普拉斯(Lapulace)变换在电学、力学、控制论等工程技术和科学领域中有着广泛的应用.它对像原函数

的要求的条件比傅里叶变换要弱，所以在某些问题上，它比傅里叶变换的适用范围要广。§8.1

拉普拉斯变换的概念

由上一章可知，可进行傅里叶变换的函数必须在整个数轴上有定义，而在许多物理现象中，考虑到的是以时间t为自变量的函数，仅仅定义于区间[0,+∞)，或者约定当t<0时函数恒为零.此外还应满足傅里叶积分存在定理的两个条件：(1)在任一有限区间上满足狄利克雷条件；(2)在无限区间(-∞，+∞)上绝对可积．而傅里叶变换的第二个条件过强，在实际应用中许多函数不能满足，例如单位阶跃函数、正弦函数、余弦函数等，虽满足狄利克雷条件，但非绝对可积．

因此，对这些函数就不能进行古典意义下的傅里叶变换．尽管在第7章里，通过引入δ函数，在广义下对非绝对可积函数进行了傅里叶变换，但δ函数使用很不方便.由此可见，傅里叶变换的应用范围受到了极大的限制，必须引入一种新的变换．

在今后的实际工作中，我们并不要求用广义积分的方法求函数的拉普拉斯变换，有现成的拉普拉斯变换表可以查.1线性性质

3微分性质

6相似性质

5延迟性质

2平移性质

4积分性质

§8.2

拉普拉斯变换的性质

为了叙述方便，假定这些性质中，凡是要求拉普拉斯变换的函数都满足拉普拉斯存在定理的条件，并且把这些函数的增长指数统一地取为C.8.2.1线性性质

8.2.2平移性质

8.2.3微分性质

8.2.4积分性质

8.2.5延迟性质

8.2.6相似性质

§8.3拉普拉

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