2020-2021学年人教A版数学选修1-2模块素养评价

此套题为Word版，请按住Ctrl,滑动鼠标滚轴，调节合适的观看比例，答案解析附后。关闭Word文档返回原板块。模块素养评价（120分钟150分）一、选择题（本大题共12小题,每小题5分,共60分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的）.设i是虚数单位,若复数a-三（a∈R）是纯虚数,则a的值为（）3-iA.-3 B.-1 C.1 D.3【解析】选D.复数a--=a-1° =（a-3）-i为纯虚数,所以a-3=0,所3-i 10以a=3..下列命题:①在线性回归模型中,相关指数R2表示解释变量X对于预报变量y的贡献率42越接近于1,表示回归效果越好:②两个变量相关性越强，则相关系数的绝对值就越接近于1;③在回归直线方程,=-0.5x+2中，当解释变量X每增加一个单位时,预报变量平均减少0.5个单位;④对分类变量X与Y,它们的随机变量K2的观测值k来说,k越小，“X与Y有关系”的把握程度越大.其中正确命题的个数是（）A.1个 B.2个C.3个 D.4个【解析】选C.对于①,在回归分析模型中，相关指数R2表示解释变量x对于预报变量y的贡献率,区2越接近于1,表示回归效果越好，正确，因为相关指数R2越大，则残差平方和越小，模型的拟合效果越好,①正确.对于②两个变量相关性越强，则相关系数的绝对值就越接近于1;正确；对于③在回归直线方程尸-0.5x+2中，当解释变量X每增加一个单位时,预报变量I平均减少0.5个单位；正确；对于④对分类变量X与Y,它们的随机变量K2的观测值k来说,女越小，“X与Y有关系”的把握程度越大.错误，因为在对分类变量X与Y进行独立性检验时，随机变量K2的观测值k越大，贝4“X与Y相关”可信程度越大，故④错误..甲、乙、丙、丁四位同学参加奥赛,其中只有一位获奖,有人走访了四位同学,甲说:“是乙或丙获奖.”乙说:“甲、丙都未获奖.”丙说:“我获奖了.”丁说:“是乙获奖.”已知四位同学的话只有一位是对的,则获奖的同学是（ ）A.甲B.乙C.丙D.T【解析】选D.假设获奖的同学是甲，则甲、乙、丙、丁四位同学的话都不对,因此甲不是获奖的同学;假设获奖的同学是乙,贝甲、乙、丁的话都对,因此乙也不是获奖的同学;假设获奖的同学是丙,则甲和丙的话都对,因此丙也不是获奖的同学.从前面推理可得丁为获奖的同学,此时只有乙的话是对的..《九章算术》中的玉石问题:“今有玉方一寸,重七两;石方一寸,重六两.今有石方三寸,中有玉,并重十一斤（即176两）,问玉、石重各几何?”其意思为:“宝玉1立方寸重7两,石料1立方寸重6两,现有宝玉和石料混合在一起的一个正方体,棱长是3寸,质量是11斤（即176两）,问这个正方体中的宝玉和石料各多少两?”如图所示的程序框图给出了对此题的一个求解算法,运行该程序框图,则输出的x,y分别为( )v-27'>-⅛β=x+4rμ=l76-xhY6A.90,86 B.94,82C.98,78 D.102,74【解析】选C.执行程序：x=86,y=90,s≠27;x=90,y=86,s≠27;x=94,y=82,s≠27;x=98,y=78,s=27,故输出的x,y分别为98,78.5.图1是某高三学生进入高中三年来的数学考试成绩茎叶图,第1次到第14次的考试成绩依次记为A1,A2,…,A.,图2是统计茎叶图中成绩在一定范围内考试次数的一个程序框图.那么程序框图输出的结果是( )A.7B.8C.9D.10【解析】选D.由程序框图可知输出结果是考试成绩大于90的次数，由茎叶图可知大于90的次数有10次..有下列说法:①在残差图中，残差点比较均匀地落在水平的带状区域内，说明选用的模型比较合适;②用相关指数R2来刻画回归的效果,R2值越大,说明模型的拟合效果越好;③比较两个模型的拟合效果,可以比较残差平方和的大小,残差平方和越小的模型,拟合效果越好.④在研究气温和热茶销售杯数的关系时,若求得相关指数R2≈0.85,则表明气温解释了15%的热茶销售杯数变化.其中正确命题的个数是( )A.1 B.2 C.3 D.4【解析】选C.对于①在残差图中，残差点比较均匀地落在水平的带状区域内,说明选用的模型比较合适,正确.对于②用相关指数区2来刻画回归的效果,R2值越大，说明模型的拟合效果越好,正确.对于③比较两个模型的拟合效果，可以比较残差平方和的大小，残差平方和越小的模型,拟合效果越好,正确.对于④在研究气温和热茶销售杯数的关系时，若求得相关指数R2≈0.85,则表明气温解释了15%的热茶销售杯数变化,错误,应该是气温解释了85%的热茶销售杯数变化..为了解某高校学生使用手机支付和现金支付的情况,抽取了部分学生作为样本,统计其喜欢的支付方式,并制作出如下等高条形图:男生女生现金支付邮J手机支付根据图中的信息,下列结论中不正确的是( )A.样本中的男生数量多于女生数量.样本中喜欢手机支付的数量多于现金支付的数量C.样本中多数男生喜欢手机支付D.样本中多数女生喜欢现金支付【解析】选D.由题干中右边条形图知，男生女生喜欢手机支付的比例都高于现金支付的比例，所以男生女生都喜欢手机支付，故C对,D错,结合两个条形图可知，男生女生手机支付都比现金支付多，B对,样本中的男生数量多于女生数量,A对..设x(1+i)=1+yi,其中x,y为实数,则|x+yi|=()A.1 B.v2C.v3 D.2【解析】选B.因为x(1+i)=1+yi,所以x+xi=1+yi,x=1,y=x=1,|x+yi|=|1+i|=72.在复平面内，复数上二对应的点位于第一象限,则实数m的取值范围m-i是( )A.(-∞,-1)C.(0,+∞)B.(-∞,0)D.(1,+∞)2选D.因为复数以=—^^_=二三+±Li,对应的点位于第τn-i(τ7i-i)(m+0τn2+1m2+1一象限,所以［：二-1‘°,解得m>1.I离》。，.下列说法中正确的是( )A.先把高三年级的2000名学生编号：1到2000,再从编号为1到50

的50名学生中随机抽取1名学生，其编号为m,然后抽取编号为

m+50,m+100,m+150∙••的学生,这样的抽样方法是分层抽样法B.线性回归直线∣=x+.一定过样本中心点底,了)C.若两个随机变量的线性相关性越强,则相关系数r的值越接近于1D.在回归直线Lθ.2x+12中，当变量X增加一个单位时，I平均增加1个

单位【解析】选B.A中抽样方法为系统抽样,故A错误；B中线性回归方程=x+.必过样本中心点(下,了)，故B正确；。：若两个随机变量的线性相关性越强，则相关系数r的绝对值越接近于1,故C错误.D中在回归直线=0.2x+12中，当X增加一个单位时，平均增加0.2个单

位，故D错误..某研究机构在对具有线性相关的两个变量x和y进行统计分析时,

得到如表数据.由表中数据求得y关于X的回归方程为y=0.65x+彳,则在

这些样本点中任取一点,该点落在回归直线下方的概率为( )X4681012y12356AB.2 C.2 D.二5 5 4 2【解析】选A.因为M=8,声3.4所以3.4=0.65X8+所以=-1.8所以

l=0.65χ-1.8故5个点中落在回归直线下方的有(6,2),(8,3),共2个,

故所求概率是为三.512.根据给出的数塔猜测123456X9+7=( )1X9+2=1112X9+3=111123X9+4=11111234X9+5=1111112345X9+6=111111…A.1111110 B.1111111C.1111112 D.1111113【解析】选B.由1X9+2=11;12×9+3=111;123×9+4=1111;1234×9+5=11111;归纳可得:等式右边各数位上的数字均为1,位数跟等式左边的第二个加数相同,所以123456×9+7=1111111.二、填空题（本大题共4小题,每小题5分,共20分,将答案填在题中的横线上）.已知a,b∈R,（a+bi）2=3+4i（i是虚数单位），则ab=.【解析】因为（a+bi）2=a2-b2+2abi=3+4i,所以］厂卜所3,所以ab=2.｛2ab=4,答案:2.将正整数对作如下分组，第1组为｛（1，2），（2，1）｝，第2组为｛（1，3），（3，1）｝，第3组为｛（1，4），（2，3），（3，2），（4，1）｝，第4组为｛（1,5）,（2,4）（4,2）（5,1）｝……则第30组第16个数对为.【解析】根据归纳推理可知，每个数对中两个数字不相等，且第一组每一个数对和为3，第二组每一个数对和为4，第三组每个数对和为5,……，第30组每一个数对和为32,所以第30组第一个数对为（1,31）,第二个数对为（2,30）,……，第15个数对为（15,17）,第16个数对为（17,15）,故答案为（17,15）.答案:（17,15）.点（x0,y0）到直线Ax+By+C=0的距离公式为d=弋;:黑,通过类比的方法，可求得：在空间中，点（0,1,3）到平面x+2y+3z+3=0的距离为.【解析】类比可知：点（0,1,3）到平面x+2y+3z+3=0的距离为d=II--=；官√1ξ+2ξ+^ξ答案：J值.观察下列等式:卜小F）+（/小三）=∑×1×2;（Sj£）+（si河三）+（s:；?9）+（si河口）==×2×3;卜定）［即曰Xs："）。+…心㈢-（×3×4卜+卜中ZTL）+k'"汨+…+卜加?）=-×4×5照此规律,【解析】每组角的分母恰好等于右边两个相邻正整数因数的和.答案:=n（n+1）【补偿训练】已知，l77⅛∙回，JTΓɪ3∙三，：；+二=4∙：：二,….N3 7?7 8 ∖∣8y∣IS715若⅛+2=8•七（a,t均为正实数），类比以上等式,可推测a,t的值,ytW贝Ua+t=.【解析】因为l'l2+三=2•所以a=8,t=63,所以a+t=71.答案:71三、解答题（本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤）17.（10分）据有关人士预测,我国的消费正由生存型消费转向质量型消费,城镇居民的消费热点是商品住房、车、电子信息产品、新型食品、服务消费和文化消费;农村居民的消费热点是住房、家电.试设计表示消费情况的结构图.【解析】消费情况的结构图如图所示:18.（12分）某工厂为了对新研发的一种产品进行合理定价,将该产品按事先拟定的价格进行试销,得到如下数据:单价x（元）88.28.48.68.89销量y（件）908483807568⑴求回归直线方程=x+,其中=-20,=R1;（2）预计在今后的销售中,销量与单价仍然服从（1）中的关系,且该产品的成本是4元/件,为使工厂获得最大利润,该产品的单价应定为多少元?（利润=销售收入-成本）【解析】⑴+工二+工3+工—=8=8+ʌ<J=8∙5,1V：+汽+v⅛+:乜+”+:也）=80.所以二干-三=80+20×8.5=250,所以回归直线方程为尸-20x+250.（2）设工厂获得的利润为L元,则L=X（-2。.：+230） -4 （-20.ι∙+230） =-20X2+330x-1000=-20卜-兰1+361.25,当且仅当x=8.25时，L取得最大值.故当单价定为8.25元时,工厂可获得最大利润.【补偿训练】某工厂前10个月份的产量与生产费用如表:产量X/千件40424855658088100120140生产费用y/千元150140160170150162185165190185(1)求线性回归方程;(2)估计当生产200千件时的生产费用;⑶计算X与y的相关系数.【解析】(1)由表格数据得三二77.8,产165.7,10Io 10 10 E厂IO五yE坪=71062,2弁=277119,工Xiy=133100,所以广~~-=^≈07106210X77.Q2斗-^≈165.7-0.4×77.8=134.58,所以线性回归方程为尸134.58+0.4x.⑵当x=200时，尸134.58+0.4×200=214.58(千元)所以当生产200千件时的生产费用为214.58千元.⑶r二10 i∣ι^iyr］而y10Σ-IQxip-ll10二弁-［。9133100-10X77.8X16Ξ.7J71062-10X77.8ξXJ277119-10X165.72≈0.81.所以X与丫的相关系数约为0.81.19.(12分)已知复数Z=三空(m∈R,i是虚数单位).⑴若Z是纯虚数,求m的值.⑵设^是z的共轭复数,复数5+2z在复平面上对应的点在第一象限,求m的取值范围.【解析】(1)z=2+4mC(2+4π⅛⅛+0I-!ςl-i)(l+i)=1-2m+(2m+1)i.因为Z是纯虚数，所以1-2m=0且2m+1≠0,解得m=.2⑵因为5是Z的共轭复数，所以矛1-2m-(2m+1)i.所以尹2z=1-2m-(2m+1)i+2[1-2m+(2m+1)i]=3-6m+(2m+1)i.因为复数K2z在复平面上对应的点在第一象限，所以6m>O3解得=<m<12m+1>0, 2 2即实数m的取值范围为(二，二).【补偿训练】已知复数Z=」+i(a∈R).2+i(1)若z∈R,求z.⑵若z在复平面内对应的点位于第一象限,求a的取值范围.⑴zɪʌ+i=ɪ-2-+i→+-i,2+i 5SΞ若z∈R,则三二0,所以a=5,所以z=2.S⑵若z在复平面内对应的点位于第一象限,贝∣j3i>0且匚>0,5S解得0<a<5,即a的取值范围为（0,5）.20.（12分）有声书正受着越来越多人的喜爱.某有声书公司为了解用户的使用情况,随机选取了100名用户,统计出年龄分布和用户付费金额（金额为整数）情况如图.有声书公司将付费高于20元的用户定义为“爱付费用户”,将年龄在30岁及以下的用户定义为“年轻用户”.已知抽取的样本中有2的“年8轻用户”是“爱付费用户”.⑴完成下面的2X2列联表,并据此资料,能否在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为用户“爱付费”与其为“年轻用户”有关?爱付费用户不爱付费用户总计年轻用户非年轻用户总计（2）若公司采用分层抽样方法从“爱付费用户”中随机选取5人,再从这5人中随机抽取2人进行访谈,求抽取的2人恰好都是“年轻用户”的概率.P(∕c2≥k0)0.050.0250.0100.0050.001k03.8415.0246.6357.87910.828Cα+b)(c+d)(α+c)(b+d)【解析】⑴根据题意可得2X2列联表如表:爱付费用户不爱付费用户总计年轻用户244064非年轻用户63036总计3070100由表中数据可得K2的观测值k=ιcc>J二::—】匕5≈4.76>3.841,30X70X64X36所以能在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为“爱付费用户”和“年轻用户”有关.(2)由分层抽样可知,抽取的5人中有4人为“年轻用户”,记为A1,A2,A3,A4,1人为“非年轻用户”记为B.则从这5人中随机抽取2人的基本事件有：(A,心，(A,心，(X..①)，(Xl3B),(X2,A。，(X2,44>(X2，g)(人%人4>(总方B>(X4，B),共10个基本事件.其中满足抽取的2人均是“年轻用户”的事件有：(4.冬〉U-,Λ3>(X∙4J，(也出)，(U>(2，工〉共6个.所以从中抽取2人恰好都是“年轻用户”的概率为P^-=2.10521.(12分)设函数f(X)i+二L,χ∈∣^0,Il1+X证明：(l)f(X)NI-x+χ2.(2)0<f(x)≤^.4 2【证明】(I)方法一(综合法)：1-X+X2-X3=(1-X)+X2(1-X)=(1-χ)(1+X2)二I二一*二十二二二1+X 1+Z又X∈∣^0,1],所以1KW-^―,即1-χ+X2-X3≤-3—,所以f(x)≥1-X+X2.l+χ1+x 1+X方法二(分析法)：要证千(x)≥1-χ+X2,X∈[0,1],即证X3+ɪ≥1-X+X2,1I只需证X3-X2÷X-1+—≥0,即证X2(x-1)+(x-1)+—≥0即1+x 1+x(χ-1)(x2+1)+——≥0,再证(x+1)(x-1)(x2+1)+1≥0,即证1+x(x2-l)(x2+l)+l≥0,∈X420,由X∈[0,1]知，X4≥0,综上，f(x)≥1-x+x2.⑵方法一：由X£「01]得X3WX,所以f(x)=x3+_口—≤3 1+Xx+一空二I"V9,

1+x22 2(JΓ+