离散傅里叶变换及其快速算法课件

1第二章离散傅里叶变换(DFT)宋华军中国石油大学（华东）信控学院2傅里叶变换是解决实际问题的工具，被作为信号分析的基础工具而广泛使用。傅里叶（J.B.J.Fourier法国数学家）被世人铭记的最大贡献记载在1807年《热的传播》中，和1822年出版的“热分析理论”一书中。Fourier（1768-1830）31753年，Bernoulli就推断一振动的弦可以表示成正弦加权和的形式，但是他未能给出所需的加权系数。Jean-Baptiste-JosephFourier于1768年3月出生在法国的Auxerre，当他8岁时不幸成了一名孤儿，Fourier对数学产生了浓厚的兴趣。21岁那年，Fourier在巴黎学术界论述了有关数值方程解的著名论作，这一工作使他在巴黎的数学界出名。Fourier41798年，拿破仑侵略埃及，在侵略队伍中一些有名的数学家和科学家，Fourier就是其中的一位。回国后，Fourier被任命为格勒诺布尔伊泽尔省的长官，就是在此期间，Fourier完成了其经典之作Theorieanalytiquedelachaleur（热能数学原理）在该著作中，他证明了任一周期函数都可以表示成正弦函数和的形式，其中正弦函数的频率为周期频率的整数倍。Fourier5傅里叶特殊贡献：任何周期函数都可以表示为不同频率的正弦、或余弦和的形式。无论函数多复杂，只要是周期的，并满足一定条件，都可以用正弦、或余弦的和表现。甚至曲线有限的非周期函数。6离散傅里叶变换不仅具有明确的物理意义，相对于DTFT更便于用计算机处理。直至上个世纪六十年代，由于数字计算机的处理速度较低以及离散傅里叶变换的计算量较大，离散傅里叶变换长期得不到真正的应用，快速离散傅里叶变换算法的提出，才得以显现出离散傅里叶变换的强大功能并被广泛地应用于各种数字信号处理系统中。近年来，计算机的处理速率有了惊人的发展，同时在数字信号处理领域出现了许多新的方法，但在许多应用中始终无法替代离散傅里叶变换及其快速算法。7§2-1傅里叶变换的几种形式结论：一非周期连续时间函数对应于一非周期连续频率函数t时域x(t)、x(n)与频域X(j)、X(ej)之间的变换关系一、连续时间与连续频率的傅立叶变换8二、离散时间与连续频率的傅里叶变换

即：时域离散序列的傅里叶变换结论：非周期的离散时间函数对应于周期性连续频率函数。9三、连续时间与离散频率的傅里叶表示（变换）

即周期性信号的傅里叶表示：

结论：周期性连续的时间函数对应于非周期的离散频率函数10四、离散时间与离散频率的傅里叶变换对傅里叶变换，t与f是对称的因此在频域上取样将在时域上得到周期函数即：周期性的离散时间函数对应于周期性离散频率函数

---离散傅里叶级数DFS12一、定义已知x(n)0≤n≤N-1有限长,则其傅里叶变换

§2-2离散傅里叶级数(DFS)记为：对频域取样，一周期内取样N点，将使时域x(n)周期化为13ω被离散化：即：DFS系数具有周期性，周期为N14两边同乘并对一周期求和反变换：15161718

例设x(n)=R4(n)，将x(n)以N=8为周期，进行周期延拓，得到周期序列，周期为8，求的DFS。解：1920二、的物理意义即是在的一个周期所得序列的Z变换单位圆上等间隔取样得到的。每循环一次，得到的一个周期21三、DFS的性质1、线性：两个周期都是N的周期序列，两个序列和的DFS系数，等于DFS系数之和222、序列移位

(1)时域移位(2)频域移位令i=n+m证明：233、周期卷积（1）时域卷积两个周期信号（序列）的卷积，只限在一个周期内卷积。2425周期卷积26周期卷积周期为5

~x(n)~h(n)nn27周期卷积~x(k)~h(0-k)k~y(0)n28周期卷积~x(k)~h(1-k)k~

y(1)n29周期卷积~x(k)~h(2-k)k~y(2)n30周期卷积~x(k)~h(3-k)k~y(3)n31周期卷积~x(k)~h(4-k)k~y(4)n32周期卷积~

y(n)n先计算主值区间