高考数学一轮复习-数列的综合应用课件

第五节数列的综合应用

数列应用问题的常见模型1.等差模型：一般地，如果增加(或减少)的量是一个固定的具体量时，该模型是等差模型，增加(或减少)的量就是公差，

其一般形式是：an＋1－an＝d(常数).2.等比模型：一般地，如果增加(或减少)的量是一个固定的百

分数时，该模型是等比模型，与变化前的量的比就是公比.3.混合模型：在一个问题中，同时涉及到等差数列和等比数

列的模型.4.生长模型：如果某一个量，每一期以一个固定的百分数增

加(或减少)，同时又以一个固定的具体量增加(或减少)时，

我们称该模型为生长模型.如分期付款问题，树木的生长与

砍伐问题等.5.递推模型：如果容易找到该数列任意一项an与它的前一项

an－1(或前n项)间的递推关系式，那么我们可以用递推数列

的知识求解问题.1.某学校高一、高二、高三共计2460名学生，三个年级的学

生人数刚好成等差数列，则该校高二年级的人数是(

)A.800

B.820C.840D.860解析：由题意可设高一、高二、高三三个年级的人数分别为a－d，a，a＋d.则a－d＋a＋a＋d＝2460，∴a＝＝820.故高二年级共有820人.答案：B2.数列{an}的通项公式是关于x的不等式x2－x<nx(n∈N*)的解集

中的整数个数，则数列{an}的前n项和Sn＝(

)A.n2B.n(n＋1)C.D.(n＋1)(n＋2)解析：由x2－x<nx，得0<x<n＋1(n∈N*)，因此an＝n，Sn＝答案：C3.若a，b，c成等比数列，则函数y＝ax2＋bx＋c的图象与x轴的

交点的个数为 (

)A.0B.1C.2D.不能确定解析：由题意b2＝ac(ac＞0)，∴Δ＝b2－4ac＝－3b2＜0.答案：A4.5·12汶川大地震后，山东天成书业公司于2008年8月向北川

中学捐赠《三维设计》系列丛书三万册，计划以后每年比

上一年多捐5000册，则5年共捐

万册.解析：由题意知a1＝3，d＝0.5S5＝3×5＋×0.5＝20.答案：205.已知数列{an}中，a1＝2，点(an－1，an)(n＞1且n∈N)满足y＝

2x－1，则a1＋a2＋…＋a10＝

.解析：an＝2an－1－1⇒an－1＝2(an－1－1)，∴{an－1}是等比数列，则an＝2n－1＋1.∴a1＋a2＋…＋a10＝10＋(20＋21＋22＋…＋29)＝10＋＝1033.答案：10331.等差数列与等比数列相结合的综合问题是高考考查的重

点，特别是等差、等比数列的通项公式，前n项和公式以

及等差中项、等比中项问题是历年命题的热点.2.利用等比数列前n项和公式时注意公比q的取值.同时对两

种数列的性质，要熟悉它们的推导过程，利用好性质，

可降低题目的难度，解题时有时还需利用条件联立方程

求解.已知正项数列{an}的前n项和为Sn，且是与(an＋1)2的等比中项.(1)求证：数列{an}是等差数列；(2)若数列{bn}的前n项和为Tn，求Tn；(3)[理]在(2)的条件下，是否存在常数λ，使得数列为等比数列？若存在，试求出λ；若不存在，说明理由.(1)由条件可得Sn＝(an＋1)2，然后利用an与Sn的关系可证结论；(2)可用错位相减法求和；(3)假设数列为等比数列，然后求λ的值即可，然后检验λ的正确性.【解】

(1)由题知Sn＝(an＋1)2，当n＝1时，a1＝(a1＋1)2，∴a1＝1，当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝(an＋1)2－(an－1＋1)2，∴(an＋an－1)(an－an－1－2)＝0.∵an＞0，∴an－an－1－2＝0.即当n≥2时，an－an－1＝2.∴数列{an}是等差数列.(2)由(1)知数列{an}是以1为首项，以2为公差的等差数列.∴an＝1＋(n－1)·2＝2n－1，则Tn由①-②得∵bn=∴Tn

Tn=+2·+1∴Tn=3-(3)[理]∴数列为等比数列的充要条件是＝A·qn(A、q为非0常数)，∴当且仅当3＋λ＝0，即λ＝－3时，数列为等比数列.1.设{an}是公比大于1的等比数列，Sn为数列{an}的前n项和，

已知S3＝7，且a1＋3,3a2，a3＋4构成等差数列.(1)求数列{an}的通项；

(2)令bn＝lna3n＋1，n＝1,2，…，求数列{bn}的前n项和Tn.

解：(1)由已知，得设数列{an}的公比为q，由a2＝2，可得a1＝，a3＝2q，又S3＝7，可知＋2＋2q＝7，即2q2－5q＋2＝0，解得q1＝2，q2＝由题意知q＞1，∴q＝2，∴a1＝1.故数列{an}的通项为an＝2n－1.(2)由于bn＝lna3n＋1，n＝1,2，…，由(1)得a3n＋1＝23n，∴bn＝ln23n＝3nln2.又bn＋1－bn＝3ln2，∴{bn}是等差数列.故Tn=ln2.∴Tn=b1+b2+…+bn=ln2.数列在实际生活中有着广泛的应用，因而涉及数列的应用问题非常多，如人口增长问题、银行利率问题、浓度配比问题、分期付款问题等等.解题时要充分挖掘题中所给条件，建立适当的数列模型求解.解数列应用题的基本步骤可用图表示如下：【注意】求解数列应用题，必须明确属于哪种数列模型，是等差数列，还是等比数列；是求通项问题，还是求项数问题，或者是求和问题；题目中涉及到哪几个量，这几个量之间存在什么关系等等.2008年金融危机严重影响了世界经济，某市为了拉动内需，决定2009年新建住房400万平方米，其中有250万平方米是中低价房，在以后的若干年内，该市每年新建住房面积平均比上一年增长8%.另外，每年新建住房中，中低价房的面积均比上一年增加50万平方米，那么，到哪一年年底，(1)该市历年所建中低价房的累计面积(以2009年为累计的第一年)将首次不少于4750万平方米？(2)当年建造的中低价房的面积占该年建造住房面积的比例首次大于85%？(1.085≈1.47)

(1)把求累计面积看作数列{an}求和，求得和之后据题意建立不等关系，求得n的范围；(2)由新建住房面积构造数列{bn}，求得bn，建立an与bn的关系求n.

【解】

(1)设中低价房面积构成数列{an}，由题意可知{an}是等差数列.其中a1＝250，d＝50，则Sn＝250n＋×50＝25n2＋225n.令25n2＋225n≥4750，即n2＋9n－190≥0，而n是正整数，∴n≥10.∴到2018年年底，该市历年所建中低价房的累计面积将首次不少于4750万平方米.(2)设新建住房面积构成数列{bn}，由题意可知{bn}是等比数列.其中b1＝400，q＝1.08，则bn＝400×1.08n－1，由题意可知an>0.85bn，有250＋(n－1)·50>400×1.08n－1×0.85，由1.085≈1.47解得满足上述不等式的最小正整数n＝6，∴到2014年年底，当年建造的中低价房的面积占该年建造住房面积的比例首次大于85%.2.气象学院用3.2万元买了一台天文观测仪，已知这台观测仪从启用的第一天起连续使用，第n天的维修保养费为元

(n∈N*)，使用它直至报废最合算(所谓报废最合算是指

使用的这台仪器的平均耗资最少)为止，一共使用了(

)A.600天B.800天

C.1000天

D.1200天解析：由第n天的维修保养费为元(n∈N*)，可以得出观测仪的整个耗资费用，由平均费用最少而求得最小值成立时相应n的值.设一共使用了n天，则使用n天的平均耗资为当且仅当时，取得最小值，此时n＝800，故应选B最合算.答案：B数列与其他知识的综合问题主要指的是用几何方法或函数的解析式构造数列，用函数或方程的方法研究数列问题.函数与数列的综合问题主要有以下两类：一是已知函数的条件，利用函数的性质图象研究数列问题，如恒成立，最值问题等.二是已知数列条件，利用数列的范围、公式、求和方法等知识对式子化简变形，从而解决函数问题.已知数列{an}的首项a1＝1，且点An(an，an＋1)在函数

的图象上.(1)求数列{an}的通项公式；(2)求证：弦AnAn＋1的斜率随n的增大而增大.y=(1)将点An(an，an＋1)代入函数即可得出数列的性质，从而求得an；(2)可用作差比较法证明；(3)用错位相减法求和.【解】(1)∵an+1且a1=1,∴1+∴=1,∴是以1为首项，1为公差的等差数列，（2）证明an=,an+1=,an+2,∴=1+(n-1)×1=n,∴an=.∴弦AnAn＋1的斜率随n的增大而增大.∴弦AnAn+1的斜率kn=∴kn+1-kn==>03.已知曲线C：y＝x2(x＞0)，过C上的点A1(1,1)作曲线C的切线l1

交x轴于点B1，再过点B1作y轴的平行线交曲线C于点A2，再

过点A2作曲线C的切线l2交x轴于点B2，再过点B2作y轴的平行

线交曲线C于点A3，…，依次作下去，记点An的横坐标为

an(n∈N*).(1)求数列{an}的通项公式；

(2)设数列{an}的前n项和为Sn，求证：anSn≤1.解：(1)∵曲线C在点An(an，)处的切线ln的斜率是2an，∴切线ln的方程是y－

＝2an(x－an)，由于点Bn的横坐标等于点An＋1的横坐标an＋1，∴令y＝0，得an＋1＝∴数列{an}是首项为1，公比为的等比数列，∴an＝令t=，则0<t≤∴anSn＝4t(1－t)＝－4(t－)2＋1，当t＝，即n＝1时，－4(t－)2＋1有最大值1，即anSn≤1.(2)∵Sn=2(1-),∴anSn=4×(1-),从近几年的高考试题看，数列的综合应用成为命题的热点，在选择题、填空题、解答题中都有可能出现.主要是等差、等比数列综合题，或可转化为等差、等比数列的综合问题，或者与数列有关的应用题.2009年广东卷第21题.考查直线与曲线相切的充要条件，构造函数证明不等式等知识，考查运用所学知识综合分析、解决问题的能力，是高考在知识交汇点命题的典型代表.(2009·广东高考)已知曲线Cn：x2－2nx＋y2＝0(n＝1,2，…).从点P(－1,0)向曲线Cn引斜率为kn(kn＞0)的切线ln，切点为Pn(xn，yn).(1)求数列{