模糊数学与其应用(1-3讲)

为什么要学习这门课？1.进一步了解和掌握数学的应用3.为写好一篇优秀的毕业论文做好准备5.为研究生阶段写学术论文打下基础2.较好的完成SRTP（大学生科研训练）项目4.参加全国大学生数学建模竞赛第一页，共61页。《模糊数学及其应用》教学大纲：课程学时：32课程学分：2课程性质：公共选修课适用专业：全校各专业预修课程：高等数学、线性代数第二页，共61页。教学内容及学时安排：

第一章模糊集的基本概念第二章模糊聚类分析第三章模糊综合评价第四章模糊模式识别第五章层次分析法和TOPSIS方法第六章模糊数学在数学建模中的应用第三页，共61页。教材及主要参考书：

谢季坚，刘承平编著，《模糊数学方法及其应用》(第三版)，华中科技大学出版社,2006第四页，共61页。第五页，共61页。考试考核方式：

考勤占30分上课笔记占30分（注：每人必须有一个笔记本）课程论文40分第六页，共61页。课程目标：

模糊数学已在科技、工程等领域显示出了强大的生命力，并在人文科学（经济、管理、社会等）领域里，也已获得了相当多的应用。该课程主要介绍模糊数学的基本内容：模糊集合、模糊关系、模糊综合评价、模糊聚类分析以及模糊数学在数学建模中的应用。通过本课程的学习，使学生了解并初步掌握模糊数学的基本思想，基础理论和方法，并能够运用所学的知识解决实际问题，同时，通过介绍模糊数学在数学建模中的应用以培养和提高学生应用数学的思维、知识、方法解决实际问题的意识和能力。第七页，共61页。模糊数学简介1.什么是模糊？年轻、热、美、厚、薄、快、慢、大、小、高、低、长、短、强、弱、软、硬……第八页，共61页。2.为什么要研究模糊问题？（1）用传统数学（经典集合）解决实际问题时往往会出现一些悖论

如：“秃顶悖论”第九页，共61页。秃顶悖论:天下所有的人都是秃顶设头发根数为nn=1显然若n=k

为秃子则n=k+1亦为秃子证明如下：综上知对所有的n结论成立第十页，共61页。模糊概念：是指从属于该概念到不属于该概念之间无明显分界线的概念出现这类问题的原因：“秃顶”是模糊概念第十一页，共61页。（2）我们所处的生活中处处存在模糊例如：要你到火车站去接一个“大胡子高个子长头发戴宽边黑色眼镜的中年男人”.

有时模糊性比精确性还要好.尽管这里只提供了一个精确信息――男人，而其他信息――大胡子、高个子、长头发、宽边黑色眼镜、中年等都是模糊概念，但是你只要将这些模糊概念经过头脑的综合分析判断，就可以接到这个人.第十二页，共61页。

模糊数学就是用数学的办法去解决生活中的模糊问题3.什么是模糊数学？其主要工具是：隶属函数、模糊矩阵第十三页，共61页。1965年，Zadeh（扎德）提出FuzzySets4.模糊数学的起源拉特飞‧扎德（LotfiA.Zadeh，1921～）美国自动控制专家，美国工程科学院院士。1921年2月生于苏联巴库。1949年获哥伦比亚大学电机工程博士。现任伯克利加利福尼亚大学电机工程与计算机科学系教授。第十四页，共61页。L.A.Zadeh,Fuzzysets,InformationandControl8(3)(1965)338-353.提供了一种分析复杂系统的新方法，标志着模糊数学的诞生。第十五页，共61页。5.模糊数学的应用利用模糊数学和模糊逻辑，能很好地处理各种模糊问题。如计算机使用模糊数学，便能大大提高模式识别能力，可模拟人类神经系统的活动。在工业控制领域中，应用模糊数学，可使空调器的温度控制更为合理，洗衣机可节电、节水、提高效率等等。第十六页，共61页。此外，模糊数学在气象、农业、军事等领域都有着广泛的应用第十七页，共61页。6.模糊数学在中国

在美国，日本，法国等世界数学强国相继研究模糊数学，并取得一些阶段性的进展的同时，1976年中国开始注意模糊数学的研究。第十八页，共61页。1980年成立了中国模糊集与系统协会。1981年，创办《模糊数学》杂志，1987年，创办了《模糊系统与数学》杂志。还出版过大量的颇有价值的论著。例如：汪培庄教授所著《模糊集合论及其应用》，张文修教授编著的《模糊数学基础》等。第十九页，共61页。最后，不要认为自己数学基础不好而垂头丧气。其实：数学不好的8个好处：

1.数学不好的人都比较爱笑，因为没有数学就没有烦恼。2.数学不好的人都比较天真烂漫，比较感性。3.数学不好的人都比较幽默，生活充满乐趣，感情和想象力都比较丰富。4.数学不好的人都比较直爽、实在，不会拐弯抹角。第二十页，共61页。5.数学不好的人通常长得比较好看。6.数学不好的人抗挫折能力都比较强。7.数学不好的人比较喜欢付出,不求回报，因为他们不会用数学方法去计算今天的付出会不会给日后带来较大的收益。8.数学不好的人对于数字不敏感，不会对人民币的面值斤斤计较。第二十一页，共61页。一.经典集合(Cantor集合)经典集合具有两条基本属性：元素彼此相异，即无重复性；范围边界分明,即一个元素x要么属于集合A(记作xA),要么不属于集合(记作xA)，二者必居其一.第一章模糊集的基本概念-------------“非此即彼”第二十二页，共61页。

1.集合的表示法：

(1)枚举法，A={x1,x2,…,xn}；

(2)描述法，A={x|P(x)}.

2.集合间的关系：

AB若xA，则xB；

AB若xB，则xA；

A=BAB且AB.第二十三页，共61页。3.集合间的运算：并集A∪B={x|xA或xB}；交集A∩B={x|xA且xB}；余集Ac

={x|xA}.第二十四页，共61页。4.集合的运算规律(1)幂等律：A∪A=A，A∩A=A；(2)交换律：A∪B=B∪A，A∩B=B∩A；(3)结合律：(A∪B)∪C=A∪(B∪C)，(A∩B)∩C=A∩(B∩C)；(4)吸收律：A∪(A∩B)

=A，

A∩(A∪B)

=A；第二十五页，共61页。(5)分配律：(A∪B)∩C=(A∩C)∪(B∩C)；

(A∩B)∪C=(A∪C)∩(B∪C)；(6)0-1律：A∪U=U

，A∩U=A

；

A∪=A

，A∩=

；(7)还原律：(Ac)c=A

；(8)对偶律（摩根律）：(A∪B)c

=Ac∩Bc，(A∩B)c

=Ac∪Bc；

(9)排中律：A∪Ac

=U，A∩Ac

=；U为全集，为空集.第二十六页，共61页。

5.集合的特征函数：集合A的特征函数为注：集合A的特征函数为一个映射：

φA(x)：U→{0,1}第二十七页，共61页。特征函数与集合间的关系如下：第二十八页，共61页。∧表示：“取小”，∨表示：“取大”第二十九页，共61页。二.模糊集合(Fuzzysets)

1.定义设U是论域，称映射A(x)：U→[0,1]确定了一个U上的模糊子集A，映射A(x)称为A的隶属函数，它表示x对A的隶属程度.第三十页，共61页。

注：（1）使A(x)=0.5的点x称为A的过渡点，此点最具模糊性.

（2）当映射A(x)只取0或1时，模糊子集A就是经典子集，而A(x)就是它的特征函数.可见经典集合是模糊集合的特殊情形.第三十一页，共61页。例1设论域U={x1(140),x2(150),x3(160),x4(170),x5(180),x6(190)}

(单位：cm)表示人的身高，那么U上的一个模糊集“高个子”(A)的隶属函数A(x)可定义为：

此即：A(x1)=0,A(x2)=0.2,A(x3)=0.4,A(x4)=0.6,A(x5)=0.8,A(x6)=1第三十二页，共61页。例1中的模糊集A用Zadeh表示法表示如下：Zadeh对模糊集的表示法：A=A(x1)/x1+A(x2)/x2+…+A(xn)/xn第三十三页，共61页。还可用向量表示法：A=(0,0.2,0.4,0.6,0.8,1).第三十四页，共61页。

另外，对例1还可以在U上建立一个“矮个子”、“中等个子”等模糊子集.

从上例可看出：

(1)一个有限论域可以有无限个模糊子集,而经典子集是有限的；

(2)一个模糊子集的隶属函数的确定方法是主观的.

隶属函数是模糊数学中最重要的概念之一，模糊数学方法是在客观的基础上，特别强调主观的方法.第三十五页，共61页。

例2

考虑年龄集U=[0,100]，A=“年老”，A也是一个年龄集，u=20∉A，40呢？…扎德给出了“年老”模糊集的隶属函数:10U50100如：A(70)=(1+1/16)-1

=16/17=0.94第三十六页，共61页。例3B=“年轻”也是年龄集U=[0,100]

的一个模糊子集，Zadeh给出它的隶属函数为：

102550UB（u）如：B(25)=1B(30)=0.5B(40)=0.1B(50)=0.04第三十七页，共61页。2.模糊集的运算（1）相等：A=B

A(x)=

B(x)；（2）包含：AB

A(x)≤B(x)；（3）交：A∩B的隶属函数为

(A∩B)(x)=A(x)∧B(x)；第三十八页，共61页。（4）并：A∪B的隶属函数为：

(A∪B)(x)=A(x)∨B(x)；（5）余：Ac的隶属函数为：Ac

(x)=1-A(x).

图例如下：第三十九页，共61页。第四十页，共61页。例4设U={x1,x2,x3,x4},A和B是U上的两个模糊子集，且：A=0.3/x1+0.5/x2+0.7/x3+0.4/x4B=0.5/x1+1/x2+0.8/x3则：Ac=0.7/x1+0.5/x2+0.3/x3+0.6/x4Bc=0.5/x1+0/x2+0.2/x3+1/x4A∩B=0.3/x1+0.5/x2+0.7/x3A∪B=0.5/x1+1/x2+0.8/x3+0.4/x4第四十一页，共61页。设A，B，C为论域U上的模糊子集，则有：（1）幂等律：A∪A=A，A∩A=A；（2）交换律：A∪B=B∪A，A∩B=B∩A；（3）结合律：(A∪B)∪C=A∪(B∪C)，

(A∩B)∩C=A∩(B∩C)

；（4）吸收律：A∪(A∩B)=A，A∩(A∪B)=A；

（5）分配律：(A∪B)∩C=(A∩C)∪(B∩C)；

(A∩B)∪C=(A∪C)∩(B∪C)；

3.模糊集的运算律第四十二页，共61页。（6）0-1律：A∪U=U，A∩U=A；

A∪

=A，A∩

=

；（7）还原律：(Ac)c=A

；（8）对偶律：(A∪B)c

=Ac∩Bc，

(A∩B)c

=Ac∪Bc。证明：（8）对偶律的证明：对于任意的xU(论域)，

(A∪B)c(x)=1-(A∪B)(x)=1-(A(x)∨B(x))=(1-A(x))∧(1-B(x))=Ac(x)∧Bc(x)

=Ac∩Bc

(x)从而有：(A∪B)c

=Ac∩Bc第四十三页，共61页。注：模糊集的运算性质基本上与经典集合一致，但对于模糊集而言，排中律不成立，即A∪Ac

U，A∩Ac

.如：A=0.3/x1+0.5/x2+0.7/x3+0.4/x4Ac=0.7/x1+0.5/x2+0.3/x3+0.6/x4

A∪Ac=0.7/x1+0.5/x2+0.7/x3+0.6/x4≠U

即：模糊集不再具有“非此即彼”的特点，这正是模糊性带来的本质特征.第四十四页，共61页。

例5

设论域U={x1,x2,x3,x4,x5}(商品集)，在U上定义两个模糊集：A=“商品质量好”，B=“商品质量坏”，并设A

=(0.8,0.55,0,0.3,1)，B

=(0.1,0.21,0.86,0.6,0).则Ac=“商品质量不好”,Bc=“商品质量不坏”.Ac=(0.2,0.45,1,0.7,0).Bc=(0.9,0.79,0.14,0.4,1).可见Ac

B,

Bc

A.

不再具有“非此即彼”的特点第四十五页，共61页。

A={x|A(x)≥}3.-截集：

模糊集的-截集A是一个经典集合，由隶属度不小于的成员构成.

称为阈值或置信水平

第四十六页，共61页。例6

论域U={u1,u2,u3,u4,u5,u6}（学生集），其成绩依次为50,60,70,80,90,95（分），模糊集A=“成绩好的学生”，其隶属度分别为：0.5,0.6,0.7,0.8,0.9,0.95，则A0.9={u5,u6},(90分以上者)

A0.6={u2,u3,u4,u5,u6}.(60分以上者)

第四十七页，共61页。

注：设A,B是论域U上的两个模糊子集，,[0,1]，于是有如下-截集的性质：(1)BA

BA；(2)≤

AA；(3)(A∪B)=A∪B，

(A∩B)=A∩B.

见下图：第四十八页，共61页。A(x)B(x)λAλBλx(1)BA

BA；第四十九页，共61页。A(x)λAλx(2)≤

AAμAμ