上海新虹桥中学高三数学理月考试卷含解析

上海新虹桥中学高三数学理月考试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.复数在复平面内对应的点位于（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限参考答案：A,所以复数在复平面内对应的点位于第一象限.

2.已知定义在上的函数是奇函数且满足，，数列满足，且，（其中为的前项和）。则(

)A．

B．

C．

D．参考答案：C由，可知函数的对称轴为，又函数为奇函数，所以有，所以，即，函数的周期为3.由得，所以当时，，即，所以，所以，因为函数为奇函数，所以，由，可得，所以，选C.3.若变量x，y满足约束条件，则x+2y的最大值是（

）A.

B.0

C.

D.参考答案：C4.已知向量，，若，则等于（

）A.（-2，-1）

B.（2，1）

C.（3，-1）

D.（-3，1）参考答案：A

【知识点】向量的运算;向量共线的充要条件F2解析：因为,则,解得,所以,故选A.【思路点拨】先利用向量共线的充要条件解得,再利用向量的加法进行运算即可.5.设i为虚数单位，则复数的共轭复数（

）A. B.C. D.参考答案：A【分析】利用复数的运算法则，分子分母同时乘以，得出，再利用共轭复数的定义即可得出。【详解】解：，故选：A．【点睛】本题考查了复数的运算法则、共轭复数的定义。若，，，，在进行复数的除法运算时，分子分母同时应乘以分母的共轭复数。6.对于函数,“的图象关于y轴对称”是“=是奇函数”的（）

A．充分而不必要条件

B．必要而不充分条件

C．充要条件

D．既不充分也不必要参考答案：B略7.已知两点A（1，0），B（1，），O为坐标原点，点C在第三象限，且，设=2，则等于

（

）A.-2

B.2

C.-3

D.3参考答案：C略8.若某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是(

)

A．15

B．20

C．30

D．60参考答案：C9.已知函数y=f(x)，y=g(x)的图象如图所示，则函数y=g[|f(x)|]的大致图像是参考答案：D10.如右图所示的程序框图.若两次输入的值分别为和，则两次运行程序输出的值分别为（

）A.，

B.，

C.

D.，参考答案：A二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知函数定义域为R，满足，当时，则______．参考答案：【分析】由题可得函数为周期函数，根据函数周期的性质以及分段函数的解析式，即可求解。【详解】函数定义域为，满足，则为周期函数，由，可得：，，故答案为。【点睛】本题主要考查周期函数以及分段函数的函数值的计算，着重考查运算与求解能力，属于基础题。12.（ax2+）6展开式的常数项为15，则实数a=

．参考答案：±1【考点】二项式系数的性质．【分析】利用通项公式即可得出．【解答】解：Tr+1==x3r﹣6，令3r﹣6=0，解得r=2．∴=15，解得a=±1．故答案为：±1．【点评】本题考查了二项式定理的应用，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．13.对某小区100户居民的月均用水量进行统计，得到样本的频率分布直方图，则估计此样本的众数是______；中位数是______.参考答案：C样本的众数为最高矩形底边中点对应的横坐标，为中位数是频率为时，对应的样本数据，由于，故中位数为14.函数的定义域内可导，若，且当时，，设，则的大小关系为

参考答案：15.计算：____________.参考答案：略16.直线与圆相交于、两点，且,则

．参考答案：017.已知函数f(x)＝(a∈R)．若f[f(－1)]＝1，则a＝____________.参考答案：略三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.（本小题满分12分）已知函数f(x)＝Asin，x∈R，A＞0，0＜φ＜，y＝f(x)的部分图象如图所示，P、Q分别为该图象的最高点和最低点，点P的坐标为(1，A)．(1)求f(x)的最小正周期及φ的值；

(2)若点R的坐标为(1，0)，∠PRQ＝，求A的值．参考答案：(1)由题意得T＝＝6

………….2分因为P(1，A)在y＝Asin的图象上，所以sin＝1.又因为0＜φ＜，所以φ＝

…………6分(2)设点Q的坐标为(x0，－A)．由题意可知x0＋＝，得x0＝4，所以Q(4，－A)．-----------------------8分连接PQ，在△PRQ中，∠PRQ＝，由余弦定理得，解得A2＝3.又A＞0，所以A＝.

--------------------------------12分19.如图，四棱锥S-ABCD中，SD⊥平面ABCD，，，，，，M是BC中点，N是线段SA上的点.（1）若N是SA中点，求证：MN∥平面SDC；（2）设MN与平面SAD所成角为，求最大值.参考答案：（1）见证明；（2）【分析】解法1：（1）建立空间直角坐标系，求出的坐标表示，再证明出平面的法向量是，只要证明出就可以证明平面；（2）设，则，.可以求出，根据和二次函数开口方向，对称轴，可以求出最大值.解法2：（1）取中点为，连结，，可得，可以证明出平面，同理可以证明出平面.也就可以证明平面平面，因此平面；（2）同解法1；解法3：（1）同解法2；（2）由，可知.可以证明出，也就能证明出平面，则.可以求出.的最小值为到距离等于，所以的最大值.【详解】解法1：（1）以为坐标原点，射线为轴的正半轴，建立如图所示的直角坐标系，设.则，，，，，所以，，.因平面，所以，又，所以平面，平面一个法向量为.因为，平面，所以平面.（2），设，则，.平面的一个法向量为，所以.因为，所以当，即时，取得最大值.解法2：（1）取中点为，连结，，则，因为平面，所以平面，同理平面.所以平面平面，因此平面.（2）以为坐标原点，射线为轴的正半轴，建立如图所示的直角坐标系，设，则，，，，，所以，，.设，则，.平面的一个法向量为，所以.因为，所以当，即时，取得最大值.解法3：（1）同解法2.（2）因为，所以.因为平面，所以，.所以平面，则.设，则，，.的最小值为到距离等于，所以的最大值.【点睛】本题考查了证明线面平行，以及线面角的正弦值最大值问题，通过本题的详解可以知道利用常规的立体几何方法和向量方法都能很好地解决问题,20.（12分）如图，BC为圆O的直径，D为圆周上异于B、C的一点，AB垂直于圆O所在的平面，BE⊥AC于点E，BF⊥AD于点F．（Ⅰ）求证：BF⊥平面ACD；（Ⅱ）若AB=BC=2，∠CBD=45°，求四面体BDEF的体积．参考答案：考点： 直线与平面垂直的判定；棱柱、棱锥、棱台的体积．专题： 空间位置关系与距离．分析： 对第（Ⅰ）问，由于BF⊥AD，要证BF⊥平面ACD，只需证BF⊥CD，故只需CD⊥平面ABD，由于CD⊥BD，只需CD⊥AB，由AB⊥平面BDC；对第（Ⅱ）问，四面体BDEF即三棱锥E﹣BDF，由CD⊥平面ABD及E为AC的中点知，三棱锥E﹣BDF的高等于，在Rt△ABD中，根据BF⊥AD，设法求出S△BDF，即得四面体BDEF的体积．解答： 解：（Ⅰ）证明：∵BC为圆O的直径，∴CD⊥BD，∵AB⊥圆0所在的平面BCD，且CD?平面BCD，∴AB⊥CD，又AB∩BD=B，∴CD⊥平面ABD，∵BF?平面ABD，∴CD⊥BF，又∵BF⊥AD，且AD∩CD=D，∴BF⊥平面ACD．（Ⅱ）∵AB=BC=2，∠CBD=45°，∴BD=CD=，∵BE⊥AC，∴E为AC的中点，又由（Ⅰ）知，CD⊥平面ABD，∴E到平面BDF的距离d==．在Rt△ABD中，有AD=，∵BF⊥AD，由射影定理得BD2=DF?AD，则DF=，从而，∴，∴四面体BDEF的体积==．点评： 1．本题考查了线面垂直的定义与性质与判定，关键是掌握线面垂直与线线垂直的相互转化：“线线垂直”可由定义来实现，“线面垂直”可由判定定理来实现．2．考查了三棱锥体积的计算，求解时，应寻找适当的底面与高，使面积和高便于求解，面积可根据三角形形状求解，高可转化为距离的计算．21.二次函数满足，且.(1）求的解析式；(2）若不等式在区间上恒成立，求实数的取值范围.参考答案：（1）由，可设故由题意得，，解得；故(2）由题意得，

即对恒成立，令，又在上递减，故，故

22.如图，在几何体ABCDE中，四边形ABCD是矩形，AB⊥平面BCE，BE⊥CE，AB=BE=EC=2，G，F分别是线段BE，DC的中点．（I）求证：GF∥平面ADE；（II）求GF与平面ABE所成角的正切值．参考答案：【考点】MI：直线与平面所成的角；LS：直线与平面平行的判定．【分析】（Ⅰ）取AE的中点H，连接HG，HD，由G是BE的中点，F是CD中点，推导出四边形HGFD是平行四边形，从而GF∥DH，由此能证明GF∥平面ADE．（II）过B作BQ∥EC，以D为原点，BE、BQ、BA所在直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出GF与平面ABE所成角的正切值．【解答】证明：（Ⅰ）如图，取AE的中点H，连接HG，HD，又G是BE的中点，∴GH∥AB，且GH=AB，又F是CD中点，∴DF=CD，由四边形ABCD是矩形得，AB∥CD，AB=CD，∴GH∥DF，且GH=DF．∴四边形HGFD是平行四边形，∴GF∥DH，又DH?平面ADE，GF?平面ADE，∴GF∥平面ADE．解：（II）如图，在平面