2021年河北省邢台市南宫第一中学高三数学文月考试卷含解析

2021年河北省邢台市南宫第一中学高三数学文月考试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.函数（，）的图象中相邻对称轴的距离为，若角的终边经过点，则的值为（

）A． B． C． D．参考答案：A2.《九章算术》卷第六《均输》中，有问题“今有竹九节，下三节容量四升，上四节容量三升．问中间二节欲均容，各多少？”其中“欲均容”的意思是：使容量变化均匀，即由下往上均匀变细．在这个问题中的中间两节容量和是（

）A.升

B.升

C.升

D.升参考答案：C设竹九节由上往下的容量分别为，由题意可知：，所以问题中的中间两节容量和为．故答案选C．3.将函数的图象沿x轴向右平移个单位，所得图像关于y轴对称，则a的最小值为A．

B．

C．

D．参考答案：B4.圆过点的最短弦所在直线的斜率为（

）A.2

B.-2

C.

D.参考答案：C5.已知函数的图像如左图所示，则函数的图像可能是（

）

参考答案：C由图象可知，所以，函数为递减函数，排除A,B.函数的最小值为，即，所以选C.6.设向量，满足||=||=|+|=1，则|﹣t|（t∈R）的最小值为（）A．2B．C．1D．参考答案：D考点：平面向量数量积的坐标表示、模、夹角．专题：平面向量及应用．分析：由题意易得向量的夹角，进而由二次函数可得|﹣t|2的最小值，开方可得．解答：解：设向量，的夹角为θ，∵||=||=|+|=1，∴=1+1+2×1×1×cosθ=1，解得cosθ=，∴θ=，∴|﹣t|2=+t2=t2+t+1=（t+）2+，当t=时，上式取到最小值，∴|﹣t|的最小值为故选：D点评：本题考查平面向量的模长公式，涉及二次函数的最值，属基础题．7.定义函数,则函数在区间内的所有零点的和为（

）A．

B．

C.

D．参考答案：D8.若变量x，y满足约束条件，则x+2y的最大值是(

)A． B．0 C． D．参考答案：C【考点】简单线性规划．【专题】计算题；不等式的解法及应用．【分析】作出题中不等式组表示的平面区域，得如图的△ABC及其内部，再将目标函数z=x+2y对应的直线进行平移，可得当x=，y=时，x+2y取得最大值为．【解答】解：作出不等式组表示的平面区域，得到如图的△ABC及其内部，其中A（﹣，﹣1），B（，），C（2，﹣1）设z=F（x，y）=x+2y，将直线l：z=x+2y进行平移，当l经过点B时，目标函数z达到最大值∴z最大值=F（，）=故选：C【点评】本题给出二元一次不等式组，求目标函数z的最大值，着重考查了二元一次不等式组表示的平面区域和简单的线性规划等知识，属于基础题．9.已知集合，，则是（

）A．

B．

C．

D．参考答案：D略10.在ΔABC中，∠A=90°，AB=1，AC=2，设点P，Q满足，若则=（

）A.

B.

C.

D.2

参考答案：B二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.对于三次函数，有如下定义：设是函数的导函数，是的导函数。若方程有实数解，则称点为函数的“拐点”.而某同学探究发现，任何一个三次函数都有“拐点”，且“拐点”恰为该三次函数图象的对称中心.对于函数，依据上述结论，可知图象的对称中心为_________，而______________.参考答案：，201812.某书店有11种杂志，2元1本的8种，1元1本的3种.小张用10元钱买杂志（每种至多买一本，10元钱刚好用完），则不同买法的种数是

（用数字作答）．参考答案：答案：266解析：根据题意，可有以下两种情况：①用10元钱买2元1本共有

②用10元钱买2元1本的杂志4本和1元1本的杂志2本共有

故210+56=266.13.已知点和曲线C:，若过点A的任意直线都与曲线C至少有一个交点，则实数a的取值范围是

．参考答案：略14.若函数的定义域为[0，1]，则的定义域为

.参考答案：15.已知sinx=2cosx，则sin2x﹣2sinxcosx+3cos2x=．参考答案：【考点】同角三角函数基本关系的运用．【分析】（1）由于sinx=2cosx，可得tanx=2．利用“弦化切”可得=【解答】解：∵sinx=2cosx，∴tanx=2．那么sin2x﹣2sinxcosx+3cos2x===．故答案为【点评】本题考查了“弦化切”及同角三角函数基本关系式，考查了计算能力，属于基础题．16.底面半径为2cm的圆柱形容器里放有四个半径为1cm的实心铁球，使得四个球两两相切，其中底层两球与容器底面也相切.现往容器里注水，使水面恰好浸没所有铁球，则需要注水

cm3.参考答案：略17.下面给出的四个命题中：①以抛物线的焦点为圆心，且过坐标原点的圆的方程为；②若，则直线与直线相互垂直；③命题“，使得”的否定是“，都有”；④将函数的图象向右平移个单位，得到函数的图象。其中是真命题的有___________（将你认为正确的序号都填上）．参考答案：①②③.试题分析：①抛物线是焦点为，圆的半径为，所以圆的方程为，正确；②当时，两直线方程为和，两直线垂直，所以正确；③根据特称命题的否定是全称命题可知其正确；④函数向右平移，得到的函数为，所以不正确.所以正确的命题有①②③.故应填①②③.考点：特称命题；命题的否定；函数的图像变换；抛物线的简单性质.三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.（本小题满分12分）如图，直角梯形与等腰直角三角形所在的平面互相垂直．∥，，，．（1）求证：；（2）求直线与平面所成角的正弦值；（3）线段上是否存在点，使//平面？若存在，求出；若不存在，说明理由．

参考答案：解：（1）证明：取中点，连结，．因为，所以．

因为四边形为直角梯形，，，所以四边形为正方形，所以．

所以平面．

所以．

………………4分（2）解法1：因为平面平面，且所以BC⊥平面则即为直线与平面所成的角设BC=a，则AB=2a，，所以则直角三角形CBE中，即直线与平面所成角的正弦值为．

………………8分解法2：因为平面平面，且，所以平面，所以．由两两垂直，建立如图所示的空间直角坐标系．因为三角形为等腰直角三角形，所以，设，则．所以，平面的一个法向量为．设直线与平面所成的角为，所以，

即直线与平面所成角的正弦值为．

………8分（3）解：存在点，且时，有//平面．

证明如下：由，，所以．设平面的法向量为，则有所以

取，得．因为，且平面，所以//平面．即点满足时，有//平面．

………………12分本试题主要是考查了空间几何中点，线，面的位置关系的运用。（1）取中点，连结，．因为，所以．同时得到．

根据平面．

得到（2）因为平面平面，且所以BC⊥平面，则即为直线与平面所成的角（3）假设存在点，且时，有//平面，建立直角坐标系来证明。19.已知等差数列{an}的前3项分别为1，a，b，公比不为1的等比数列{bn}的前3项分别为4，2a+2，3b+1．（1）求数列{an}与{bn}的通项公式；（2）设，求数列{cn}的前n项和Sn．参考答案：（1），．（2）．试题分析：（1）由题意可求得，从而可得到等差数列的公差和等比数列的公比，从而可求得数列的通项公式。（2）由（1）可得，从而利用裂项相消法求和。试题解析：（1）由题意，得解得（舍去）或所以等差数列的公差为，故，等比数列的公比为，故.（2）由（1）得，所以.20.已知各项均为正数的数列的前项和为，若.（1）求数列的通项公式；（2）令，求数列的前项和.参考答案：（1）由题意，因为，所以当时，，当时，所以，即数列的通项公式为.（2），所以数列是以2为首项，4为公比的等比数列所以即数列的前项和为21.（本小题满分14分）已知函数f(x)=1nx－ax2－bx(a,b∈R).(I)当a=b时，求f(x)的最大值；（II）令F（x）＝f(x)+ax2+bx+。若以F（x）图象上任意一点P（x0,y0）为切点的切线的斜率k≤恒成立，试确定实数a的取值范围；（III）若当a=0,b=－1时，函数h(x)=2mf(x)－x2有唯一零点，试求正数m的值。参考答案：

22.（本小题满分12分）已知数列{an}的前n项和为Sn，且满足Sn+n=2an(n∈N*).（I）证明：数列{an+1}为等比数列，并求数列{an}的通项公式；（II）数列{bn}满足bn=an·log2(an+1)(n∈N*)，其前n项和为Tn，试求满足的最小正整数n．参考答案：（I）解析：当，解得………1分，①

当②①