北京广渠门中学 高三数学理期末试题含解析

北京广渠门中学高三数学理期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知函数，若正实数a，b，c互不相等，且f（a）=f（b）=f（c），则a?b?c的取值范围为（）A．（e，e2） B．（1，e2） C． D．参考答案：A【考点】3T：函数的值．【分析】图解法，画出函数的图象，根据图象分析可得abc的取值范围．【解答】解：如图，画出函数的图象，设a＜b＜c，则|lna|=|lnb|，即有lna+lnb=0，即有ab=1，当x＞e时，y=2﹣lnx递减，且与x轴交于（e2，0），∴abc=c，且e＜c＜e2，可得abc的取值范围是（e，e2）．故选：A．2.函数在处连续，则a的值为（

）.

A.5

B.3

C.2

D.1参考答案：答案：A3.过点的直线将圆分成两段弧，当其中的劣弧最短时，直线的方程是

（

） A．

B．

C．

D．参考答案：D略4.设集合，则集合等于A、(,-1)

B、(-l，1)

C、D、(1，+)参考答案：C,,所以,所以,选C.5.设函数f（x）=sin（2x+）（x∈[0，]），若方程f（x）=a恰好有三个根，分别为x1，x2，x3（x1＜x2＜x3），则x1+2x2+x3的值为（）A．π B． C． D．参考答案：C【考点】正弦函数的图象．【分析】由x∈[0，]求出2x+的范围，由正弦函数的图象画出函数的大致图象，由函数的图象，以及正弦图象的对称轴求出x1+x2、x2+x3的值，即可求出x1+2x2+x3的值．【解答】解：由题意x∈[0，]，则2x+∈[，]，画出函数的大致图象：由图得，当时，方程f（x）=a恰好有三个根，由2x+=得x=，由2x+=得x=，由图知，点（x1，0）与点（x2，0）关于直线对称，点（x2，0）与点（x3，0）关于直线对称，∴x1+x2=，x2+x3=，即x1+2x2+x3=+=，故选C．6.已知为虚数单位，则＝（

）A．

B．

C．

D．

参考答案：B略7.中央电视台第一套节目午间新闻的播出时间是每天中午12：00到12：30，在某星期天中午的午间新闻中将随机安排播出时长5分钟的有关电信诈骗的新闻报道．若小张于当天12：20打开电视，则他能收看到这条新闻的完整报道的概率是（）A． B． C． D．参考答案：D【考点】几何概型．【分析】他能收看到这条新闻的完整报道，播出时间是12：20到12：25，长度为5；12：00到12：30，长度为30，即可求出他能收看到这条新闻的完整报道的概率，【解答】解：他能收看到这条新闻的完整报道，播出时间是12：20到12：25，长度为5；12：00到12：30，长度为30，∴他能收看到这条新闻的完整报道的概率是=，故选D．8.已知sinα=，则cos（π﹣2α）=（）A．﹣ B．﹣ C． D．参考答案：B【考点】同角三角函数基本关系的运用．【分析】利用诱导公式、二倍角的余弦公式，求得cos（π﹣2α）的值．【解答】解：sinα=，则cos（π﹣2α）=﹣cos2α=﹣（1﹣2sin2α）=2sin2α﹣1=﹣，故选：B．9.设正实数x，y，z满足x2﹣3xy+4y2﹣z=0．则当取得最大值时，的最大值为（）A．0 B．1 C． D．3参考答案：B【考点】基本不等式．【分析】依题意，当取得最大值时x=2y，代入所求关系式f（y）=+﹣，利用配方法即可求得其最大值．【解答】解：∵x2﹣3xy+4y2﹣z=0，∴z=x2﹣3xy+4y2，又x，y，z均为正实数，∴==≤=1（当且仅当x=2y时取“=”），∴=1，此时，x=2y．∴z=x2﹣3xy+4y2=（2y）2﹣3×2y×y+4y2=2y2，∴+﹣=+﹣=﹣+1≤1，当且仅当y=1时取得“=”，满足题意．∴的最大值为1．故选B．10.德国著名数学家狄利克雷在数学领域成就显著，以其名命名的函数被称为狄利克雷函数，其中为实数集,为有理数集，则关于函数有如下四个命题：①；

②函数是偶函数；③任取一个不为零的有理数,对任意的恒成立；④存在三个点，使得为等边三角形.其中真命题的个数是A．1

B．2

C．3

D．4参考答案：C二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.（坐标系与参数方程选做题）在极坐标系中，直线被圆截得的弦长为

．参考答案：

考点：极坐标与直角坐标的互化,直线被圆截得的弦长12.若函数f（x）=sin的最小正周期为π，则ω=．参考答案：2【考点】三角函数的周期性及其求法；正弦函数的图象．【专题】三角函数的图像与性质．【分析】由条件利用诱导公式、二倍角公式化简函数的解析式为f（x）=sinωx，再根据y=Asin（ωx+φ）的周期等于，得出结论．【解答】解：由于函数f（x）=sin=sin?cos=sinωx的最小正周期为π，则=π，∴ω=2，故答案为：2．【点评】本题主要考查诱导公式、二倍角公式的应用，三角函数的周期性及其求法，利用了y=Asin（ωx+φ）的周期等于T=，属于基础题．13.(理)函数图像的顶点是，且成等比数列，则_____．参考答案：1414.在中，角所对的边分别为，且，是的中点，且，，则的最短边的边长为

．参考答案：15.若函数对定义域D内的每一个，都存在唯一的，使得成立，则称为“自倒函数”，给出下列命题：①是自倒函数；②自倒函数可以是奇函数；③自倒函数的值域可以是R；④若都是自倒函数且定义域相同，则也是自倒函数则以上命题正确的是

．(写出所有正确的命题的序号)参考答案：①②因为,所以,因此满足“自倒函数”定义;因为奇函数满足“自倒函数”定义,所以②对;自倒函数不可以为零;因为,都是自倒函数且定义域相同，但不是自倒函数(不唯一),因此命题正确的是①②

16.设是定义在R上的周期为2的函数，当时，，则

。参考答案：117.（坐标系与参数方程选做题）设点的极坐标为，直线过点且与极轴垂直，则直线的极坐标方程为__________________．参考答案：三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.已知函数（1）

求的最小正周期和最小值；（2） 若不等式对任意恒成立，求实数m的取值范围参考答案：略19.在平面直角坐标系xOy中，椭圆的离心率为,直线被椭圆C截得的线段长为.（1）求椭圆C的方程；（2）过原点的直线与椭圆C交于A、B两点（A、B不是椭圆C的顶点），点D在椭圆C上，且，直线BD与x轴y轴分别交于M、N两点.①设直线BD、AM斜率分别为，证明存在常数使得，并求出的值；②求面积的最大值.参考答案：(1).(2)①证明见解析，；②.试题分析：（1）首先由题意得到，即.将代入可得，由，可得.得解.（2）（ⅰ）注意从确定的表达式入手，探求使成立的.设，则，得到，根据直线BD的方程为，令，得，即.得到.由，作出结论.（ⅱ）直线BD的方程，从确定的面积表达式入手，应用基本不等式得解.试题解析：（1）由题意知，可得.椭圆C的方程可化简为.将代入可得，因此，可得.因此，所以椭圆C的方程为.（2）（ⅰ）设，则，因为直线AB的斜率，又，所以直线AD的斜率，设直线AD的方程为，由题意知，由，可得.所以，因此，由题意知，所以，所以直线BD的方程为，令，得，即.可得.所以，即.因此存在常数使得结论成立.（ⅱ）直线BD的方程，令，得，即，由（ⅰ）知，可得的面积，因为，当且仅当时等号成立，此时S取得最大值，所以的面积的最大值为.20.（16分）若数列{an}满足条件：存在正整数k，使得an+k+an﹣k=2an对一切n∈N*，n＞k都成立，则称数列{an}为k级等差数列．（1）已知数列{an}为2级等差数列，且前四项分别为2，0，4，3，求a8+a9的值；（2）若an=2n+sinωn（ω为常数），且{an}是3级等差数列，求ω所有可能值的集合，并求ω取最小正值时数列{an}的前3n项和S3n；（3）若{an}既是2级等差数列{an}，也是3级等差数列，证明：{an}是等差数列．参考答案：【考点】等差数列的性质；数列递推式．【专题】等差数列与等比数列．【分析】（1）由新定义结合已知求出a8、a9的值，则a8+a9的值可求；（2）由an=2n+sinωn，且{an}是3级等差数列，列式得到2sinωn=2sinωncos3ω（n∈N*），求得sinωn=0，或cos3ω=1．进一步求出ω的取值集合，求出ω的最小正值后求出，得到a3n﹣2+a3n﹣1+a3n=6（3n﹣1），然后利用分组求和求得S3n；（3）由{an}为2级等差数列，即an+2+an﹣2=2an，得到{a2n﹣1}，{a2n}均成等差数列，分别设出等差数列{a2n﹣1}，{a2n}的公差为d1，d2．由{an}为3级等差数列，即an+3+an﹣3=2an，得到{a3n﹣2}成等差数列，设公差为D．由a1，a7既是{a2n﹣1}中的项，也是{a3n﹣2}中的项，a4，a10既是中{a2n}的项，也是{a3n﹣2}中的项列式得到a2n=a1+（2n﹣1）d（n∈N*）．从而说明{an}是等差数列．【解答】（1）解：a8=a2+3（a4﹣a2）=0+3×（3﹣0）=9，a9=a1+4×（a3﹣a1）=2+4×2=10，∴a8+a9=19；（2）∵{an}是3级等差数列，an+3+an﹣3=2an，2（2n+sinωn）=2（n+3）+sin（ωn+3ω）+2（n﹣3）+sin（ωn﹣3ω）（n∈N*），∴2sinωn=sin（ωn+3ω）+sin（ωn﹣3ω）=2sinωncos3ω（n∈N*），∴sinωn=0，或cos3ω=1．sinωn=0对n∈N*恒成立时，ω=kπ（k∈Z）．cos3ω=1时，3ω=2kπ（k∈Z），∴，∴．∴ω最小正值等于，此时，由于（n∈N*），∴a3n﹣2+a3n﹣1+a3n=6（3n﹣1）（n∈N*）.=9n2+3n（n∈N*）；（3）证明：若{an}为2级等差数列，即an+2+an﹣2=2an，则{a2n﹣1}，{a2n}均成等差数列，设等差数列{a2n﹣1}，{a2n}的公差分别为d1，d2．{an}为3级等差数列，即an+3+an﹣3=2an，则{a3n﹣2}成等差数列，设公差为D，a1，a7既是{a2n﹣1}中的项，也是{a3n﹣2}中的项，a7﹣a1=3d1=2D．a4，a10既是中{a2n}的项，也是{a3n﹣2}中的项，a10﹣a4=3d2=2D∴3d1=3d2=2D．设d1=d2=2d，则D=3d．∴a2n﹣1=a1+（n﹣1）d1=a1+（2n﹣2）d（n∈N*），a2n=a2+（n﹣1）d2=a2+（2n﹣2）d，（n∈N*）．又a4=a1+D=a1+3d，a4=a2+d2=a2+2d，∴a2=a1+d，∴a2n=a1+（2n﹣1）d（n∈N*）．综合得：an=a1+（n﹣1）d，∴{an}为等差数列．【点评】本题考查了数列递推式，考查了等差数列的性质，是新定义题，关键是对k级等差数列概念的理解，考查了学生的逻辑思维能力和推理论证能力，是有一定难度题目．21.（12分）设数列{an}的前n项和为sn，点（n，）（n∈N*）均在函数y=x+1的图象上．（1）求数列{an}的通项公式；（2）若{bn}为正项等比数列，且b1=1，b1b2b3=8，求{bn}的通项公式和前n项和Gn；（3）求{an?bn}的前n项和Tn．参考答案：【考点】：等差数列与等比数列的综合；数列的求和．【专题】：计算题；等差数列与等比数列．【分析】：（1）由数列{an}的前n项和为Sn，点（n，）（n∈N*）均在函数y=x+1的图象上，知，，由此能求出数列{an}的通项公式．（2）由=8，知b2=2，由b1=1，知q=2，从而能求出{bn}的通项公式和前n项和Gn．（3）由an=2n，，知an?bn=2n?2n﹣1=n?2n，由此能求出{an?bn}的前n项和Tn．解：（1）∵数列{an}的前n项和为Sn，点（n，）（n∈N*）均在函数y=x+1的图象上，∴，，当n≥2时，an=Sn﹣Sn﹣1=（n2+n）﹣[（n﹣1）2+（n﹣1）]=2n，当n=1时，a1=S1=2，∴an=2n．（2）∵=8，∴b2=2，∵b1=1，∴q==2，∴=2n﹣1，∴Gn===2n﹣1．（3）∵an=2n，，∴an?bn=2n?2n﹣1=n?2n，Tn=1×21+2×2