演示实例悬吊式起重机动力学建模

悬吊式起重机动力学建模一、单输入单输出悬吊式起重机动力学建模单输入单输出悬吊式起重机的结构简图如图1所示。起重机系统的输入为小车驱动力F,输出为钢丝.绳的摆角S系统的参数设定参照课本第六章习题1(pp.137),参数取值参照课本第九章9.4.2节的参数取值(pp.220)。图1单输入单输出悬吊式起重机受力分析图1.单输入单输出悬吊式起重机动力学模型根据牛顿第二定律，小车水平方向受力方程：mtx=F—ex—mpax(l)吊绳垂直方向受力方程：P-mpg=mpay(2)小车的力矩平衡方程：niplat—Plsin0=10 (3)其中，吊重的水平方向速度么，吊重的垂直方向速度％,吊重的垂直方向速度％,吊重的水平方向加速度Qx，吊重的垂直方向加速度Qy,吊重的垂直方向加速度％,吊重的切线方向速度R为：d, 、 ・vx=—(%—/sin6)=x—Icos00(4)ax=*•(x—1sin0)=%+Zsin0 —Icos00(5)Vy=—(Zcos。)=—IsinO0(6)，atd2 -oay=—(Zcos。)=—Zcos。必—isin。0(7)at=axcos0(8)

将式(5)、(7)和(8)带入(1)、(2)和(3),得：(mtx=F—ex—mp—IsinG)(9.1)(9)P-^9= 市(Mos。) (9.2)(9)mpl^(x—Isin0)cos0—Plsin0=10(9.3)由(9.2)可得:P=mpP=mp^(Icos。)+nip。(10)G1(16)G1(16)(17)(18)(19)(20)将(10)带入(9.3),得:(11)mpl-^(x—Isin。)cosG— cos。)+mpg^Isin6=16(11)将(5)和⑺带入QI),得:mpl(x+Isin。02—IcosO0)cos0—［nip(-1sin00—Icos。02)+mpg］lsin。=16(12)简化上式，可得:—mplx+(Z+mpl2>)3=sin0(13)则起重机系统的动力学方程为：((mt+mp)x—mplcos。0=F—ex—mplcos。戈+(/+mpZ2)0=—mpglsin。令q=［言］2=［言］2=［言］ (15)则系统动力学模型的矩阵形式为：M］=Fg+IF其中，质量矩阵M，外力矩阵Fg与控制输入矩阵/的具体表达为:mt+mp-mplcos3］ -exM——mplcos6I+mpl2”g——mpglsin0•••■2.单输入单输出悬吊式起重机线性动力学模型将系统(14)在。=0处线性化，可以简化为：((mt+mp)x—mpl6=F—ex—mplx+(/+mpZ2)0=—mpgW则，线性化后的动力学模型矩阵形式为：Dij=G+IF其中，简化后的质量矩阵D和简化后的外力矩阵G的具体表达为:[mt+mp-mpI -ex'D=[-mplI+mpl2\G=\-mpgie3.单输入单输出悬吊式起重机线性动力学模型状态空间表达式

由式(19),将等式两边同乘以质量矩阵的逆矩阵D-1,可得:。=DTG+Z)T/F质量矩阵的逆矩阵D-i的具体表达为：p-i=dudi2L.id22.则n_ir=[Sid12ir-ex1=「由1或-d12mpgie

~[d21d22\[-mpgie\~[~d21cx一d22mpgl0_

z=fed将(23)和(24)带入(21),可得：..=\~dncx-d12mpgWyrdniQ—d2±CX—湖设系统的状态变量为：*x=".0-则Xwi控制系统输入为：U=[F](21)(22)(23)(24)Q5)(26)(27)Q8)■•Xx==[«=(21)(22)(23)(24)Q5)(26)(27)Q8)■•Xx==[«=.e-d11cx-d12mpglQ-d21CX-d22^p9^0 01X=0 00o_也％。1—due-0-d22^npgl-d2ic则因为系统输出为0,「XI+000du.d21.rXi1e0.X0.q+00du^21Y=6=[0100]亍e+[0]F由上式(30)和(31)可得起重机系统的状态空间表达为:X=AX+BuY=CX+Du(29)(30)(31)(32)(33)其中,0 00 00_由0 00 00_由2%。1o-d22mpglC=[01010

01

-due0B

-d2ic0.

0]D=[0]0

0

du

^21(34)(35)二、多输入多输出悬吊式起重机动力学建模多输多单输出悬吊式起重机的结构简图如图2所示。假设起重机吊绳改为刚性链接，即用悬臂架替代吊绳，并在悬臂架和小车连接处增加一个电机，悬臂的重量不计。新起重机系统的输入为小车驱动力F和吊重电机扭矩T,输出为小车位移X、悬臂的摆角0、小车速度比、悬臂的摆角速度0。系统的参数设定和取值不变。Pa.图Pa.图2多输多单输出悬吊式起重机受力分析图((36)(37)(38)1.多输多单输出悬吊式起重机动力学模型新系统中小车的力矩平衡方程：t+mplat—Plsin0=10则新起重机系统的动力学方程为：((mt+mp)x—mplcos。0=F—ex—mplcosOx+(/+ =t—mpglsinO新系统动力学模型的矩阵形式为：Mq=Fg+Input其中，质量矩阵M，夕卜力矩阵Fg与控制输Klnput的具体表达为:

mt+mmt+mp—mplcos6—mplcosOI+mpI2—ex

—mpglsin02.多输入多输出悬吊式起重机线性动力学模型Fg=Input=[；](39)将系统(37)在。=0处线性化，可以简化为：Dij=G+Input (40)其中D和G如式(20)所示。3.多输入多输出悬吊式起重机线性动力学模型状态空间表达式(41)由式(40),将等式两边同乘以质量矩阵的逆矩阵D—i,可得:q=D—G+D^LInput(41)由式(22)和式(23),可得：由式(22)和式(23),可得：••q=-dncx-d12mpgl0-d21cx-d27mpgW\1{d21\dn由2^22-(42)(43)(44)X

.

e

-dncx-di2mP5/0

-d21CX-d22^p9^0000(43)(44)X

.

e

-dncx-di2mP5/0

-d21CX-d22^p9^0000o-di2^iPgi.0一必％。'10-due~d21c010000dllXeX0(46)[:](47)00也^22.设系统的状态变量为:%-6.X0-■•■X.0••X.

••0控制系统输入为:(45)将(42)带入(44),得:输出为小车位移x、悬臂的摆角。、小车速度比、悬臂的摆角速度0,则%-6

.Xerl=0-0I。01%-6

.Xerl=0-0I。010000100irXiro01e.XeL00」(48)由上式(47)和(48)可得