高考数专题冲刺：集合与函数课时提升训练(13)(含答案)

PAGE集合与函数课时提升训练（13）1、已知集合，若集合，且对任意的，存在，使得（其中），则称集合为集合的一个元基底.（Ⅰ）分别判断下列集合是否为集合的一个二元基底，并说明理由；①，；②，.（Ⅱ）若集合是集合的一个元基底，证明：；（Ⅲ）若集合为集合的一个元基底，求出的最小可能值，并写出当取最小值时的一个基底.2、若集合具有以下性质：①，；②若，则，且时，.则称集合是“好集”.（Ⅰ）分别判断集合，有理数集是否是“好集”，并说明理由；（Ⅱ）设集合是“好集”，求证：若，则；（Ⅲ）对任意的一个“好集”，分别判断下面命题的真假，并说明理由.命题：若，则必有；命题：若，且，则必有；3、若为集合且的子集，且满足两个条件：①；②对任意的，至少存在一个，使或.…则称集合组具有性质.如图，作行列数表，定义数表中的第行第列的数为.（Ⅰ）当时，判断下列两个集合组是否具有性质，如果是请画出所对应的表格，如果不是请说明理由；集合组1：；集合组2：.（Ⅱ）当时，若集合组具有性质，请先画出所对应的行3列的一个数表，再依此表格分别写出集合；（Ⅲ）当时，集合组是具有性质且所含集合个数最小的集合组，求的值及的最小值.（其中表示集合所含元素的个数）4、已知函数在区间上为增函数，且。（1）当时，求的值；（2）当最小时，①求的值；

②若是图象上的两点，且存在实数

使得，证明：。5、（本小题满分14分）对于函数和，若存在常数，对于任意，不等式都成立，则称直线是函数的分界线.已知函数为自然对数的底，为常数）.(Ⅰ)讨论函数的单调性；(Ⅱ)设，试探究函数与函数是否存在“分界线”？若存在，求出分界线方程；若不存在，试说明理由.当时，有，，，易知不是的4元基底，矛盾.当时，均不可能是的4元基底.当时，的一个基底；或{3,7,8,9,10}；或{4,7,8,9,10}等，只要写出一个即可.综上，的最小可能值为5.

2、解：（Ⅰ）集合不是“好集”.理由是：假设集合是“好集”.因为，，所以.这与矛盾.

有理数集是“好集”.因为，,对任意的，有，且时，.所以有理数集是“好集”.（Ⅱ）因为集合是“好集”，所以.若，则，即.所以，即.

（Ⅲ）命题均为真命题.理由如下：

对任意一个“好集”，任取，若中有0或1时，显然.下设均不为0，1.由定义可知：.所以，即.所以.由（Ⅱ）可得：，即.同理可得.若或，则显然.若且，则.所以.所以由（Ⅱ）可得：.所以.综上可知，，即命题为真命题.若，且，则.所以，即命题为真命题.

3、（Ⅰ）解：集合组1具有性质.

所对应的数表为：集合组2不具有性质.

因为存在，有，与对任意的，都至少存在一个，有或矛盾，所以集合组不具有性质.

（Ⅱ

注：表格中的7行可以交换得到不同的表格，它们所对应的集合组也不同）（Ⅲ）设所对应的数表为数表，因为集合组为具有性质的集合组，所以集合组满足条件①和②，由条件①：，可得对任意，都存在有，所以，即第行不全为0，所以由条件①可知数表中任意一行不全为0.

由条件②知，对任意的，都至少存在一个，使或，所以一定是一个1一个0，即第行与第行的第列的两个数一定不同.所以由条件②可得数表中任意两行不完全相同.

因为由所构成的元有序数组共有个，去掉全是的元有序数组，共有个，又因数表中任意两行都不完全相同，所以，所以.又时，由所构成的元有序数组共有个，去掉全是的数组，共个，选择其中的个数组构造行列数表，则数表对应的集合组满足条件①②，即具有性质.所以.

因为等于表格中数字1的个数，所以，要使取得最小值，只需使表中1的个数尽可能少，而时，在数表中，的个数为的行最多行；的个数为的行最多行；的个数为的行最多行；的个数为的行最多行；因为上述共有行，所以还有行各有个，所以此时表格中最少有个.所以的最小值为.

4、解：。（1）当时，由，得或，所以在上为增函数，在，上为减函数，由题意知，且。因为，所以，可知。

（2）①因为，当且仅当时等号成立。由，有，得；由，有，得；故取得最小值时，，。②此时，，，由知，，欲证，先比较与的大小。因为，所以，有，于是，即，另一方面，，因为，所以，从而，即。…14分同理可证，因此。

5、（本小题满分14分）解：（1），

当时，，即，函数在区间上是增函数，在区间上是减函数；当时，，函数是区间上的增函数当时，即，函数在区间上是增函数，在区间上是减函数.（2）若存在，则恒成立，令，则，所以，

因此：恒成立，即恒成立，由得到：，现在只要判断是否恒成立，设，因为：，当时，，，当时，，，所以，即恒成立，所以函数与函数存在“分界线”.

6、D7、C8、B11、

402112、解：（Ⅰ）由，解得或，∴函数的定义域为

当时，∴在定义域上是奇函数。

（Ⅱ）由时，恒成立，∴

∴在成立

令，，由二次函数的性质可