高三立体几何复习讲义：多面体与旋转体

多面体与旋转体一、棱柱1、 由几个多边形围成的封闭的几何体叫做多面体。2、 两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面围成的多面体叫做棱柱。棱柱的互相平行的两个面叫做棱柱的底面，其余各面叫做棱柱的侧面，相邻的两个侧面的公共边叫做棱柱的侧棱，两个底面间的距离叫做棱柱的高。棱柱的基本性质：（1） 棱柱的侧面都是平行四边形。（2） 棱柱的两个底面及平行于底面的截面都是全等的多边形。3、 侧棱与底面不垂直的的棱柱叫做斜棱柱。侧棱与底面垂直的棱柱叫做直棱柱。底面是正多边形的直棱柱叫做正棱柱。性质：（1）直棱柱侧面都是矩形。（2）直棱柱侧棱与高相等。（3）正棱柱的侧面都是全等的矩形。4、 底面是平行四边形的棱柱叫做平行六面体。底面是矩形的直棱柱是长方体。长方体的对角线平方等于三边长的平方和。5、 夹在两个平行平面间的两个几何体，如果被平行于这两个平面的任何平面所截得的两个截面的面积都相等，那么这两个几何体的体积相等。6、V€S-h.棱柱底二、棱锥1、有一个面是多边形，其余各面是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的多面体叫做棱锥。棱锥的这个多边形的面叫做底面，其余各个三角形的面叫做侧面。相邻的两个侧面的公共边叫做棱锥的侧棱。各个侧面的公共顶点叫做棱锥的顶点，顶点到底面的距离叫做棱锥的高。棱锥的基本性质：如果一个棱锥被平行于底面的一个平面所截，那么：（1）侧棱和高被这个平面分成比例线段；（2）截面和底面都是相似多边形；（3） 截面面积与底面面积之比，等于顶点到截面与顶点到底面的距离平方之比。2、如果一个棱锥的底面是正多边形，且顶点在底面的射影是底面的中心，这个棱锥叫做正棱锥。正棱锥的性质：（1）各侧棱相等，各侧面都是全等的等腰三角形。（2）正棱锥的高、斜高和斜高在底面上的射影组成一个直角三角形。正棱锥的高、侧棱和侧棱在底面上的射影也组成一个直角三角形。3、各个面都是全等的等边三角形的三棱锥称为正四面体。正多面体：类型面数棱数顶点数每面边数每顶点棱数正4面体46433正6面体612843正8面体812634正12面体12302053正20面体203012354、V€1S-h棱柱3底三、圆柱、圆锥与球将矩形ABCD（及其内部）绕其一条边AB所在直线旋转一周，所形成的几何体叫做圆柱，AB所在直线叫做圆柱的轴，线段AD和BC旋转而成的圆面叫做圆柱的底面，线段CD旋转而成的曲面叫做圆柱的侧面，CD叫做圆柱侧面的一条母线，圆柱的两个底面间的距离（即AB得长度）叫做圆柱的高。S€2,rh，S€2,rh+2,r2，V=,r2h侧全将直角三角形ABC（及其内部）绕其一条直角边AB所在直线旋转一周，所形成的几何体叫做圆锥，AB所在直线叫做圆锥的轴，点A叫做圆锥的顶点，直角边BC旋转而成的圆面叫做圆锥的底面,斜边AC旋转而成的曲面叫做圆锥的侧面，斜边AC叫做圆锥侧面的一条母线,圆锥的顶点到底面间的距离（即AB的长度）叫做圆锥的高。

S=€rl,S=€rl+兀r2,V=—€r2h侧全3将圆心为0的半圆（及其内部）绕起直径AB所在的直线旋转一周，所形成的几何体叫做球，半圆的圆弧所形成的曲面叫做球面，易知，点O到球面上任意点的距离都相等，把点O称为球心，把原半圆的半径和直径分别称为球的半径和球的直径。平面上的两点之间线段最短，该线段的长度就是两点之间的距离，类似地，要定义球面上两点之间的距离，也应该在球面上找到联结两点的最短路径，该路径的长度就是球面上亮点之间的距离。可以证明，在联结球面上亮点的路径中，通过该两点的大圆劣弧最短，因此该弧的长度就是这两点的球面距离。S=4€r2，表一、选择题1、 正四棱锥的侧棱长为2•訂，侧棱与底面所成的角为60。,则该棱锥的体积为（）A．3 B．6 C．9 D．18[3【解：如图，PO=PCsin60。=2^3' =3；2OC=PCcos60。=2.31=再，2S=BDOC=2OC2=6,AC…V =1S-PO=6.P„ABCD3AC故选B】2、 已知三棱柱ABC-ABC的侧棱与底面边长都相等，A1111在底面ABC内的射影为AABC的中心，则AB1与底面ABC所成角的正弦值等于（）A．B．~TC．<33A．B．~TC．<33D．【解：B,由题意知三棱锥名-ABC为正四面体，设棱长为a,则甲=J3a，棱柱的高AO=\：a2—AO2=1a（即点AO=\：a2—AO2=1a（即点B1到底面ABC的距离），故AB1与“小 AOJ2底面ABC所成角的正弦值为诂_= .】AB313、已知正四棱柱的对角线的长为.6，且对角线与底面所成角的余弦值为€，则该正四棱柱的体积等于（A)3 (B)2(C)4 (D)6【答案选（B）：由题意，＜a2+a2+h2=62a<3cosU= =一伍34、设M、N是球O的半径OP上的两点，且NP=MN=OM分别过N、M、O作垂直于OP的面截球得三个圆，则这三个圆的面积之比为:A)3:5:6B)3:6:8A)3:5:6B)3:6:8C)5:7:9D)5:8:9其中AB:AD:AA€2:1:*3，则两A,B点的球面距离为（）iTOC\o"1-5"\h\z兀 兀 兀 2兀A. B. C. D.\o"CurrentDocument"4 3 2 3【解：设AB€2a,AD=a,AA^=\.''3a,则有（2R）2€AC2€AB2„AD2„AA2=8a2,_ 兀•…R=耳2a,即有AO€BO=*2a,T而AB=2a?…ZAOB=—,7、两相同的正四棱锥组成如图1所示的几何体，可放棱长为1的正方体内，使正四棱锥的底面ABCD与正方体的某一个平面平行，且各■顶点均在正方体的面上，则这样的几何体体积的可能值有（A）1个 （B）2个（C）3个 （D）无穷多个解：由于两个正四棱锥相同，所以所求几何体的中心在正四棱锥底面正方形ABCD中心，由对称性知正四棱锥的高为正方体棱长的一半，影响几何体体积的只能是正四棱锥底面正方形ABCD的面积，问题转化为边长为1的正方形的内接正方形有多少种，所以选D.】8、设地球半径为R，北纬30。圈上有A,B两地，它们的经度相差1200，则这两地间的纬度线的长为( )2€R⑴丁B)€2€R⑴丁B)€RD)€R【解：r=Rcos30°= R，2•••AB两地的纬线长为2兀r二上社3 3o提示：这里要求掌握经度和纬度这两个概念。】二、填空题9、下面是关于三棱锥的四个命题：底面是等边三角形，侧面与底面所成的二面角都相等的三棱锥是正三棱锥.底面是等边三角形，侧面都是等腰三角形的三棱锥是正三棱锥.底面是等边三角形，侧面的面积都相等的三棱锥是正三棱锥.侧棱与底面所成的角相等，且侧面与底面所成的二面角都相等的三棱锥是正三棱锥.TOC\o"1-5"\h\z其中，真命题的编号是 ■(写出所有真命 P题的编号) 、【解：正确的命题为①④， "的反例：△ABC为正三角形，侧面中AB二AP二AC,PB二PC壬AP，满足侧面都是等腰三角形，但不是正三棱锥。的反例：AABC为正三角形，三个侧面的高相等，所以满足侧面积都相等，但顶点P在底面的射影0落在△ABC外，是厶ABC的旁心，而不是中心，所以P-ABC是斜三棱锥。】10、平面内的一个四边形为平行四边形的充要条件有多个，如两组对边分别平行，类似地，写出空间中的一个四棱柱为平行六面体的两个充要条件充要条件①两组相对侧面分别平行；一组相对侧面平行且全等；充要条件②对角线交于一点；底面是平行四边形；

写出你认为正确的两个充要条件）仏（09上海高考题）已知三个球的半径RR2,R3满足R+2R2€3R3，则它们的表面积S,S,S满足的等量关系是1 2 3【解：因为叫+2R2€3R3，即：JR2+2典=3典，两边同乘上陌有£4兀R+2J4兀R2=3紳R，所以有■込+2辽=3^S^.】12、若一条直线与一个正四棱柱各个面所成的角都为a，则cosa二【解：不妨认为一个正四棱柱为正方体，与正方体的所有面成角相等对角线与该正方体所成角•故对角线与该正方体所成角•故cosa=.】13、圆柱的侧面展开图是边长为2兀和3兀的矩形，则圆柱的体积为 。【解：（1）若底面周长为2兀，则圆柱高为3兀，圆柱的体积为3,2；9（2）若底面周长为3,，则圆柱高为2,，圆柱的体积为，2；14、若圆锥的全面积是底面积的三倍，则它的侧面展开图的圆心角是 【解：如图，设底面半径为r,侧面母线为a,则底面积为兀r2,侧面积为€ra，所以表面积S=€r2+兀ra=€r(r,a),又€r(r+a)=3,则a=2r,所以侧面展开图的圆心角为€r22€r2€r=丁=€。a 2r15、已知半径为2的半球内有一内接正六棱锥P-ABCDEF，则此正六棱锥的侧面积是 ．【解：显然正六棱锥P-ABCDEF的底面的外接圆是球的一个大圆，于是可求得底面边长为2,又正六棱锥P-ABCDEF的高依题意可得为2,依此可求得6J7】16、 (2010春考题)在右图所示的斜截圆柱中,已知圆柱底面的直径为40cm，母线长最短50cm，最长80cm,则斜截圆柱的侧面面积S= cm2。【解：2600€；】17、 若三棱柱的一个侧面是边长为2的正方形，另外两个侧面都是有一个内角为60°的菱形，则该棱柱的体积为 【解：如图，依题意可知，A]-ABC为棱长为2的正四面体，过点A1作AB的高，与AB交于D,„AD—'AA=、：3,i2i„AO二Iaid二攀„AOPiA2-AO2二晋,„V—SAO—-ABADAO—-x2x、.I…—2、辽abci2ii2 3

】218、有两个相同的直三棱柱，高为一，底面三角形的三边长分别为3a,4a,5a(a€0)。用它a们拼成一个三棱柱或四棱柱，在所有可能的情形中，表面积最小的是一个四棱柱，则a的取值范围是 。对角线对角线AC与BD相交于放在一起，有一种情况表面积为12a2+48。最小的是一个四棱柱，这说明1524a2+28<12a2+48,12a2<20,0<a<——】3三、解答题：19、在四棱锥P—ABCD中，底面是边长为2的菱形，ZDAB=60。,点0,P0丄平面ABCD,PB与平面ABCD所成的角为60„.求四棱锥P—ABCD的体积；若E是PB的中点，求异面直线DE与PA所成角的大小(结果用反三角函数值表示)．【解(1)在四棱锥P-ABCD中，由P0丄平面ABCD，得ZPB0是PB与平面ABCD所成的角，ZPB0=60°.在RtAA0B中B0=ABsin30°=1,由P0丄B0,于是,P0二BOtg60°二込,而底面菱形的面积为2爲.

四棱锥P-ABCD的体积V二1X2叮3Xv'3=2.(2)取AB的中点F,连接EF、DF.由E是PB的中点，得EF〃PA,•••ZFED是异面直线DE与PA所成角(或它的补角),在RtAAOB中A0二ABcos30°二込=OP,于是，在等腰RtA^A在正AABD和正△PBD中，DE二DF二、;3,-EF6下2_4<2cosZFED二 一二一DE&3 4Ic•••异面直线DE与PA所成角的大小是arccos「•】20、地球上北纬30。圈上有两地，它们的经度相差120。,设地球的半径为R,求A、B两地间的球面距离．3【解：BO€AO€AOcos30。=R,二AB2€AO2„二AB2€AO2„BO2一2AO・BO・cos120。i i i i€3R2„3R2-2•空R•込R，（- :9AB=3R,29R2+R2——R2AO2+BO2-AB2r十R4R则cos…AOB€ € 4——'小f小 2R,R€-12AO，BO即…AOB=即…AOB=兀-arccos—,8•••A、B两地间的球面距离为(兀-arccos1)R.】821、分别以直角三角形的斜边、两直角边所在直线为轴。旋转这个直角三角形所得的三个旋转体的体积为V,V,V求证：12111€„-V2V2V212

【证明：如图，€A=90,,ah=be.bc:.h=-a„——…2„—…V2=—h2BD+—h2CD=—h2a13 3 J13丿兀2b4e49a2„1…2 —2b4e2V2=-—b2e113丿9，„1…2 —2b2e4V2=_—e2b213丿9，1199+=+V2V2 —2b4e2 —2b2e4129„e2+b2… 9a2 1兀2Jb4e4丿 兀2b4e4 V2】22、如图所示，一只小蚂蚁正从圆锥底面上的点A沿圆锥体的表面匀速爬行一周，又绕回到点A.已知该圆锥体的底面半径为r,母线长为3r，试问小蚂蚁沿怎样的路径如何爬行，才能最快到达点A?并求出该路径的长.TOC\o"1-5"\h\z＜ 2兀•r 2兀【解：设€AVA1=＜，即-—=-一3，＜=，1 2— 2—•3r 32—AA2=VA2+VA2-2VA•VAcos——i i 1 32—=(3r)2+(3r)2—2•3r•3r•cos =27r2，即AA=3*'3r，\o"CurrentDocum