课件chap 10 2正项级数

第二节第十章正项级数一、正项级数收敛准则二、正项级数审敛法一、正项级数收敛准则¥收敛部分和序列定理1.

正项级数有界.收敛,∴部分和数列有界,

故又已知故有界.若

un

‡

0

,

则称un

为正项级数

.n=1单调递增,收敛,从而也收敛.证:““”

若”设定理2

(比较审敛法)且存在 对一切

有设对一切若强级数 收敛

,

则弱级数若弱级数 发散

,

则强级数 也发散

.都有分别表示弱级数和强级数的部分和,则有是两个正项级数,(常数k

>0),也收敛;证:

因在级数前加、减有限项不改变其敛散性,

故不妨二、正项级数审敛法(1)若强级数(2)若弱级数因此这说明强级数也发散.也收敛.发散,则有收敛,则有因此对一切

有由定理1

可知,弱级数¥而调和级数n=1

n例1.

讨论

p

级数

1

+

1

+

1

+

+

1

+(常数

p

>

0)2

p

3

p

n

p的敛散性.解:

1)

若

p

£

1,

因为对一切‡

1发散.n1

发散,由比较审敛法可知p

级数npnn

pn-11

d

x1

=£npxn-1-1

d

x

=11

1n

p-1

p

-1

(n

-1)

p-1¥

1

1

的部分和考虑强级数

(n

-1)

p-1

-

n

p-1

n=2-s

=n

11p-1

p-1nk

=1k

(k

+1)n

fi

¥故强级数收敛,由比较审敛法知p

级数收敛.时,

1

£

1

,

故n

p

x

p1=1

-p-1

(n

+1)12)若p

>1,因为当1223np-1p-1p-11p-1p-1

1

1

1-+-1

(n

+1)

- +

+调和级数与p级数是两个常用的比较级数.若存在N

˛

N+,对一切n

‡N

,发散.1‡(n

+1)2n

(n

+1)而级数¥1=

k发散k

=2根据比较审敛法可知,

所给级数发散

.例2.证明级数证:因为1nfi

¥

vn两个级数同时收敛或发散;(3)当l

=∞证:据极限定义,设两正项级数定理3.(比较审敛法的极限形式)满足lim

un

=

l,

则有当0<l

<∞时,当l

=0(

l

-

e)

vn

£

un

£

(

l

+

e)

vn由定理2

可知¥

vnn=1(

n

>

N

)即¥由定理2可知,若

vn

发散,n=1由定理2

知¥当0<l

<∞时,同时收敛或同时发散;当l

=0时,若

vn

收敛,n=1当l

=∞时,un

>vn是两个正项级数,(1)

当0

<

l

<

¥

时,

两个级数同时收敛或发散

;n

p2)特别取vn=1

,对正项级数un

,可得如下结论:nfi

¥lim

n

pun

=

l0

<

l

£

¥p

>

1

,

0

£

l

<

¥当l

=0

且

vn收敛时,当l

=¥

且

vn

发散时,也收敛;也发散.un

发散un

收敛注:1)un

,vn均为无穷小时,l

的值反映了它们不同阶的比较.的敛散性.nfi

¥例3.判别级数¥sinn=11n的敛散性.nfi

¥sin

1

～

1n

n根据比较审敛法的极限形式知sin发散.¥n=11n例4.判别级数¥21ln

[1

+n=1nnfi

¥1n2=

lim

n2nfi

¥=11

]2收敛.ln

[1

+¥根据比较审敛法的极限形式知n=1nn

n解:

lim

n

sin

1

=

lim

n

1

=1n2ln(1

+

1

)

～1n2n2解:

lim

n2

ln

[1

+

1定理4

.比值审敛法(D’alembert

判别法)设nfi

¥un为正项级数,

且

lim

un+1

=

r

,

则证:

(1)

当r

<

1

时,<

r

+

e

<1nn+1uu(1)当r

<1

时,级数收敛;(2)当r

>1

或=¥

时,级数发散.+存在N

˛

N

,当n

>N

时,收敛,由比较审敛法可知un

收敛.因此

lim

un

‡

uN

„

0

,

所以级数发散.时(2)

当

r

>1

或

r

=

¥

时,

必存在N

˛

N+

,

uN

„

0,

当n

‡

N>

>

uNnfi

¥unnfi

¥说明:当lim

un+1

=1

时,级数可能收敛也可能发散.例如,p

–级数unlim

un+1nfi

¥1n

p

1

nfi

¥p=

lim

(n+1)=1但p

>1,级数收敛;p

£

1,

级数发散.从而un+1

>

un

>

un-1nfi

¥例5.讨论级数的敛散性.unnfi

¥解:

lim

un+1n

xn-1n=

lim

(n

+1)

x

=

x根据定理4可知:当0

<x

<1时,级数收敛;当x

>1时,级数发散;当x

=1时,

lim

n

un

=r

,

\对任意给定的正数e定理5.根值审敛法(Cauchy判别法)设为正项证明提示:nfi

¥存在N

˛

N+,即r

-

e

<

n

un

<

r

+

e(r

-

e)n

<

un

<

(r

+

e

)n分别利用上述不等式的左,右部分,可推出结论正确.r

<

1

r

+

e

<

1r

>

1

r

-

e

>

1级数,

且

lim

n

un

=

r

,

则nfi

¥时,级数可能收敛也可能发散.例如,p

–级数nnnn

u

=

1

pfi

¥

)fi

1

(n说明:但p

>1,级数收敛;p

£

1,级数发散.例6.证明级数似代替和S

时所产生的误差.解:

n

un

=

n

1

nn由定理5可知该级数收敛

.

令

rn

=

S

-

Sn

,

则所求误差为+

+1

1n(n

+1)n+1

(n

+

2)n+20

<

r

==1(n

+1)n+11n

(n

+1)n=11

-1n+1收敛于S

,

并估计以部分和Sn

近内容小结2.

判别正项级数敛散性的方法与步骤nfi

¥必要条件

lim

un

=

0不满足发

散满足nfi

¥un比值审敛法

lim

un+1

=nfi

¥根值审敛法

limn

un

=

rr

<

1收

敛用它法判别积分判别法比较审敛法r

=

1

不定 部分和极限r

>

1发

散部分和数列{Sn

}有极限1.

un

收敛思考与练习设正项级数¥n=1nu收敛,

能否推出¥n=12nu收敛?u

2提示:

lim

n

nfi

¥

unnfi

¥=

lim

un=

0由比较判敛法可知¥2nu收敛.n=1注意