2023年贵州省贵阳市某区中考数学托底试卷（含解析）

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一、选择题（本大题共12小题，共36.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.四个有理数，，，其中最小的是()

A.B.C.D.

2.如图，由图中所示的图案通过平移后得到的图案是()

A.B.C.D.

3.化简的结果是()

A.B.C.D.

4.若一个点的坐标为，则这个点在如图所示的平面直角体系上的位置是()

A.点

B.点

C.点

D.点

5.如图，将两条宽度相同的纸条重叠在一起，使，则等于()

A.

B.

C.

D.

6.若数轴上点，分别表示数，，则，两点之间的距离可表示为()

A.B.C.D.

7.地球上的太平洋、大西洋、印度洋、北冰洋称为四大洋，总面积为万平方公里，其中太平洋占，大西洋占，印度洋占，北冰洋占四大洋面积占比，小明制作了扇形统计图来表示各部分面积所占的百分比，如图所示，在这个统计图中，扇形所代表的是()

A.太平洋B.大西洋C.印度洋D.北冰洋

8.如图，以为圆心，长为半径画弧别交、于、两点，再分别以为、为圆心，以长为半径画弧，两弧交于点，分别连接、，则四边形一定是()

A.梯形B.菱形C.矩形D.正方形

9.一组人平分枚硬币，每人分得若干，若再加上人，平分枚硬币，则第二次每人所得与第一次相同求第二次分硬币的人数设第二次分硬币的人数为人，则可列方程为()

A.B.C.D.

10.长为的细木条用两个铁钉固定在墙上，固定点为点，铁钉的大小忽略不计，当固定点处的铁钉脱落后，细木条顺时针旋转至与原来垂直的方向，点落在点的位置，则点旋转的路径长为()

A.B.C.D.

11.已知函数是正比例函数，且随的增大而增大，那么的取值范围是()

A.B.C.D.

12.如图，，射线在平面内射线绕点从射线的反向延长线的位置出发，逆时针旋转角，已知平分，当与互余时旋转角等于()

A.或B.或C.或D.或

二、填空题（本大题共4小题，共16.0分）

13.如图，托盘天平左边物体的质量为，右边物体的质量为，用不等式表示其数量关系是______．

14.抛掷一枚质地均匀的骰子一次，朝上一面的点数是偶数的概率是______．

15.如图，图中所有四边形都是正方形，三角形是直角三角形，若正方形，的面积分别为，，则正方形的面积是______．

16.已知，为函数为常数，，图象上的两个点，为坐标原点，若，，则______．

三、解答题（本大题共9小题，共98.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17.本小题分

计算：；

化简：．

18.本小题分

北京冬奥会的成功举办掀起了全民“冬奥热”，某校九年级举行了“冬奥知识”竞赛该校九年级共有学生人参加了竞赛，从中随机抽取名学生的竞赛成绩，小明对数据成绩进行整理、描述和分析，下面给出了部分信息：

小明在统计竞赛成绩各分数段人数时，不小心污染了统计表如图，请你帮他计算出成绩为分的人数为______人；

成绩分

人数人

这组数据的中位数为______分；

若成绩为分及以上为优秀，根据以上信息估计，九年级学生中约有多少人成绩达到优秀．

19.本小题分

山西地处黄河中游，是世界上最早最大的农业起源中心之一，是中国面食文化的发祥地，其中的面条文化至今已有两千多年的历史面条在东汉称之为“煮饼”厨师将一定质量的面团做成拉面时，面条的总长度是面条横截面面积的反比例函数，其图象经过，两点如图．

求与之间的函数关系式；

求的值，并解释它的实际意义．

20.本小题分

如图，点是正方形对角线上一点，，，垂足分别为，．

求证：四边形是矩形；

若正方形的周长是，当时，求证：四边形是正方形．

21.本小题分

某书店销售一本科普读物，进价为每本元，若按每本元销售，平均每月能卖出本经市场调研发现，在不亏本的情况下，为减少库存，若每本售价降低元，则平均每月可多卖出本设每本科普读物的售价降低元．

小宇说：“既然降价销售，薄利多销，那么就有可能卖出本”请判断小宇的说法是否正确，并说明理由；

若该书店销售此科普读物想平均每月的销售利润为元，销售经理甲说：“在原售价的基础上降低元，可以完成任务”，销售经理乙说：“在原售价的基础上降低元即可”，请判断甲、乙两人的说法是否正确并指出应采取谁的意见．

22.本小题分

小亮乘车在一段正东方向的高速公路上行驶时，看到远处与高速公路平行的国道上有一座桥，他在处发现桥的起点在点的北偏东的方向上，并测得米，当车前进米到达处时，测得桥的终点在点的北偏东的方向上，求桥的长度精确到米，参考数据：，，，

23.本小题分

如图，为的直径，为上的点，是的中点，交的延长线于点．

填空：______选填“”“”或“”；

判断与的位置关系，并说明理由；

已知，，求点到的距离．

24.本小题分

三个同学在研究一个二次函数为常数且的图象，小明说：抛物线的对称轴在轴左侧；小亮说：抛物线与轴的交点在正半轴上；小颖说：抛物线与轴没有交点．

请在如图所示的平面直角坐标系中画出此二次函数的草图；

抛物线上有两点，，请比较，的大小；

已知此抛物线始终经过一个定点，请求出此定点的坐标．

25.本小题分

在中，，点在线段上，，交于点，过点作，垂足为，交的延长线于点．

如果，

如图，当点与点重合时，求证：；

如图，当点在线段上，且不与点、点重合时，问：中的“”仍成立吗？请说明你的理由；

如果，如图，已知为常数，当点在线段上，且不与点、点重合时，请探究的值用含的式子表示，并写出你的探究过程．

答案和解析

1.【答案】

【解析】解：，

四个有理数，，，其中最小的是．

故选：．

有理数大小比较的法则：正数都大于；负数都小于；正数大于一切负数；两个负数，绝对值大的其值反而小，据此判断即可．

此题主要考查了有理数大小比较的方法，解答此题的关键是要明确：正数都大于；负数都小于；正数大于一切负数；两个负数，绝对值大的其值反而小．

2.【答案】

【解析】解：、由图中所示的图案通过旋转而成，故本选项错误；

B、由图中所示的图案通过翻折而成，故本选项错误

C、由图中所示的图案通过旋转而成，故本选项错误；

D、由图中所示的图案通过平移而成，故本选项正确．

故选：．

根据图形平移的性质对各选项进行逐一分析即可．

本题考查的是生活中的平移现象，熟知图形平移变换的性质是解答此题的关键

3.【答案】

【解析】解：原式

．

故选：．

原式利用同分母分式的加法法则计算，即可得到结果．

此题考查了分式的加减法，熟练掌握运算法则是解本题的关键．

4.【答案】

【解析】解：一个点的坐标为，则这个点在如图所示的平面直角坐标系上的位置可能是点，

故选：．

根据的坐标信息可得点在第二象限，从而可得答案．

本题考查的是平面直角坐标系内点的坐标特点，根据点的坐标确定点所在的象限是解本题的关键．

5.【答案】

【解析】解：由题意可知，，，

四边形是平行四边形，

，

故选：．

由题意可知，，则四边形是平行四边形，再由平行四边形性质即可得出结论．

本题考查了平行四边形的判定与性质，证明四边形为平行四边形是解题的关键．

6.【答案】

【解析】解：、两点之间的距离可表示为：．

故选：．

根据数轴上两点间距离的定义进行解答即可．

本题考查了有理数的加减混合运算，熟知数轴上两点间的距离公式是解答此题的关键．

7.【答案】

【解析】解：四大洋总面积为万平方公里，其中太平洋占，大西洋占，印度洋占，北冰洋占四大洋面积占比，

太平洋占总面积的百分比最大，

在这个统计图中，扇形所代表的是太平洋．

故选：．

根据由太平洋占总面积的百分比最大可得答案．

本题主要考查扇形统计图，解题的关键是掌握通过扇形统计图可以很清楚地表示出各部分数量同总数之间的关系．

8.【答案】

【解析】解：由题意可得：，

则四边形是菱形．

故选：．

利用菱形的判定方法可以判定四边形是菱形．

此题主要考查了基本作图以及菱形的判定，正确掌握菱形的判定方法是解题关键．

9.【答案】

【解析】解：第二次比第一次多人分硬币，且第二次分硬币的人数为人，

第一次分硬币的人数为人．

根据题意得：．

故选：．

根据两次分硬币人数间的关系，可得出第一次分硬币的人数为人，根据第二次每人所得与第一次相同，即可得出关于的分式方程，此题得解．

本题考查了由实际问题抽象出分式方程，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．

10.【答案】

【解析】解：点移动的路径长为：，

故选：．

根据弧长公式进行计算便可．

本题考查了弧长公式，关键是熟记弧长公式：．

11.【答案】

【解析】解：根据正比例函数图象的性质，知：当随自变量的增大而增大，

即，．

故选：．

根据正比例函数图象的性质可知．

本题考查了正比例函数图象的性质：它是经过原点的一条直线．当时，图象经过一、三象限，随的增大而增大；当时，图象经过二、四象限，随的增大而减小．

12.【答案】

【解析】解：如图，当在外部时，

由题意可得，，

是的平分线，

，

，

，

；

当在内部时，

由题意可得，，

是的平分线，

，

，

，

；

综上，或，

故选：．

分在外部或在内部两种情况进行分类讨论，结合已知条件及余角的定义，利用角的和差进行计算即可．

本题考查余角和角平分线的定义，结合题意，分在外部或在内部两种情况分类讨论并画出对应图形是解题的关键．

13.【答案】

【解析】解：根据题意得：．

故答案为：．

由托盘天平左边物体的质量大于右边物体的质量，可得出．

本题考查了由实际问题抽象出一元一次不等式，根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式是解题的关键．

14.【答案】

【解析】解：骰子的六个面上分别刻有到的点数，朝上一面的点数是偶数的有个，

掷得朝上一面的点数是偶数的概率为：．

故答案为：．

由骰子的六个面上分别刻有到的点数，朝上一面的点数是偶数的有个，利用概率公式直接求解即可求得答案．

此题考查了概率公式的应用．注意掌握概率所求情况数与总情况数之比．

15.【答案】

【解析】解：根据勾股定理的几何意义，可知

，

故答案为：．

根据勾股定理的几何意义解答即可．

本题考查了勾股定理，熟悉勾股定理的几何意义是解题的关键．

16.【答案】

【解析】解：连接，过点作于点，过点作轴于，过点作轴于，

，，，

与关于直线对称，

，

又点，在反比例函数图象上的点，

直线为反比例函数的对称轴，

，

，

在中，，，

，，

点的坐标为，

．

故答案为：．

连接，过点作于点，过点作轴于，过点作轴于，则直线为反比例函数的对称轴，据此可得，然后可在中求出，，进而可求出的值．

此题主要考查了反比例函数的图象及性质，解答此题的关键是理解对于，当时，是它的对称轴，当时，是它的对称轴．

17.【答案】解：

；

．

【解析】先算乘方，再算除法，最后算加法即可；

先去括号，再合并同类项即可．

本题考查了整式的加减，整式加减的实质就是去括号、合并同类项．去括号时，要注意两个方面：一是括号外的数字因数要乘括号内的每一项；二是当括号外是“”时，去括号后括号内的各项都要改变符号．也考查了有理数的混合运算．

18.【答案】

【解析】解：人，

故答案为：；

将这名学生的成绩从小到大排列后，处在中间位置的两个数的平均数为分，即中位数是，

故答案为：；

名，

答：九年级名学生中约有人成绩达到优秀．

根据各组频数之和为进行计算即可；

根据中位数的定义，将这名学生的成绩从小到大排列，处在第、位的两个数的平均数即可；

根据频率进行计算即可．

本题考查中位数，理解中位数的意义是正确解答的前提．

19.【答案】解：设与之间的函数表达式为：，

将代入可得：，

，

，

与之间的函数表达式为：；

将代入，

，

，

实际意义：当面条的横截面积为时，面条长度为．

【解析】直接利用待定系数法得出反比例函数解析式即可；

利用中所求进而得出的值，得出其实际意义．

此题主要考查了反比例函数的应用，正确得出理解与代表的意义是解题关键．

20.【答案】证明：四边形为正方形，

，．

，，

，．

又，

四边形是矩形；

正方形的周长是，

．

四边形为正方形，

为等腰直角三角形，

，

四边形的周长．

，，

，

四边形是正方形．

【解析】由正方形的性质可得出、，根据、可得出，，再结合，即可证出四边形是矩形；

由正方形的周长可求出正方形的边长，根据正方形的性质可得出为等腰直角三角形，进而可得出，再根据矩形的周长公式即可求出周长；然后求得，即可证得四边形是正方形．

本题考查了正方形的判定与性质、矩形的判定与性质、平行线的判定、等腰直角三角形的性质以及矩形的周长，解题的关键是熟练掌握正方形的判定定理．

21.【答案】解：小宇的说法不正确，

理由是：解方程，

解得，

元，

元元，

亏本，

小宇的说法不正确．

甲、乙两人的说法都正确，

对于销售经理甲，当售价降低元时，

销售量为本，

销售利润为元；

对于销售经理乙，当售价降低元时，

销售量为本，

销售利润为元，

两人的说法都正确，

由于增加销售量可以减少库存，

应采取销售经理甲的意见．

【解析】根据已知的方程可求出具体降价金额，从而可求出售价，将售价与进价比较即可求解；

分别对两种降价求出售价，从而可求出每件所获得利润，求出这两种总利润进行比较即可．

本题考查了一元一次方程中的销售问题，掌握利润、售价、进价之间的关系是解题的关键．

22.【答案】解：过作于，过作于，

，，

，米，

，米，

米，

，

米，

米，

答：桥的长度约为米．

【解析】过作于，过作于，根据矩形的性质得到，，解直角三角形即可得到结论．

此题考查了解直角三角形的应用方向角问题，解一般三角形的问题一般可以转化为解直角三角形的问题，解决的方法就是作高线．

23.【答案】

【解析】解：连接，

，

，

是的中点，

，

，

，

，

，

，

．

故答案为：；

与相切．理由如下：

由知，

，

，

是的半径，

是的切线；

过点作，垂足为，连接，，

由得：，

平分，

，，

，

四边形内接于，

，

，

，

，

≌，

，

，，

≌，

，

设，则，

，

，

，

，

，

，

是的直径，

，

，

∽，

，

，

，

即点到的距离为．

根据圆周角和弧的关系及等腰三角形的性质证明，即可解答；

要证明是的切线，求出即可，根据已知，即可证得结论；

由可得平分，所以想到过点作，垂足为，进而证明≌，可得，易证≌，可得，进而求出，，证得∽，根据相似三角形的性质即可求得答案．

本题考查了切线的判定，圆周角定理，圆周角和弧的关系，