2023年安徽省十五校教育集团中考数学模拟试卷（含解析）

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第I卷（选择题）

一、选择题（本大题共8小题，共24.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.设为的小数部分，为的小数部分．则的值为()

A.B.C.D.

2.用小立方块搭成的几何体，从正面和上面看的形状图如图，则组成这样的几何体需要立方块个数为()

A.最多需要块，最少需要块B.最多需要块，最少需要块

C.最多需要块，最少需要块D.最多需要块，最少需要块

3.观察等式：；；；已知按一定规律排列的一组数：，，，，，，若，用含的式子表示这组数据的和是()

A.B.C.D.

4.已知四个正六边形如图摆放在图中，顶点，，，，，在圆上若两个大正六边形的边长均为，则小正六边形的边长是()

A.

B.

C.

D.

5.若实数、满足，则的最小值为()

A.B.C.D.

6.如图，在正方形中，，是边上的一点，：：将沿对折至，连接，则的长是()

A.

B.

C.

D.

7.已知实数，，满足，且，则的值为()

A.B.C.D.

8.如图，在矩形中，，点是边的中点，连接交于点，过点作交于点，则下列结论正确的是()

A.B.

C.D.

第II卷（非选择题）

二、填空题（本大题共10小题，共30.0分）

9.比较大小：______填“”、“”或“”．

10.已知，当分别取，，，，时，所对应值的总和是______．

11.若不等式有解，则实数最小值是______．

12.已知，是一元二次方程的两根，则的值是______．

13.若除以的商是，余式是则的值为______．

14.若关于的分式方程的解是正数，则的取值范围是______．

15.已知实数，，定义运算：，若，则______．

16.如图，点在线段上，且，分别以、为边在线段的同侧作正方形、，连接、，则．

17.比较大小：______；若正数，满足，则______

18.如图，矩形中，，，以为圆心，为半径作，为上一动点，连接，以为直角边作，使，，则点与点的最小距离为______．

三、解答题（本大题共5小题，共40.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

19.本小题分

完成下面两个小题．

计算：．

已知、满足条件，求的最大值．

20.本小题分

已知，求的值．

21.本小题分

如图，内接于，且为的直径的平分线交于点，过点在左侧作交的延长线于点，过点作于点．

求证：；

求证：是的切线；

若，，求线段的长．

22.本小题分

已知函数．

在直角坐标系中作出函数图象；

已知关于的方程有三个解，求的取值范围．

23.本小题分

如图，已知抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，抛物线的对称轴为直线，点是直线上一点．

求抛物线的表达式；

求周长的最小值；

将线段绕点旋转，得到线段，点的对应点为点，当点在抛物线上时，求点的坐标．

答案和解析

1.【答案】

【解析】解：

，

的小数部分；

，

的小数部分，

．

故选B．

首先分别化简所给的两个二次根式，分别求出、对应的小数部分，然后代、化简、运算、求值，即可解决问题．

该题主要考查了二次根式的化简与求值问题；解题的关键是灵活运用二次根式的运算法则来分析、判断、解答．

2.【答案】

【解析】解：有两种可能；

由主视图可得：这个几何体共有层，

由俯视图可得：第一层正方体的个数为，由主视图可得第二层最少为块，最多的正方体的个数为块，

第三层只有一块，

最多为个小立方块，最少为个小立方块．

故选：．

易得这个几何体共有层，由俯视图可得第一层正方体的个数为，由主视图可得第二层最少为块，最多的正方体的个数为块，第三层只有一块，相加即可．

此题主要考查了由三视图判断几何体，关键是掌握口诀“俯视图打地基，正视图疯狂盖，左视图拆违章”就很容易得到答案．

3.【答案】

【解析】解：由题意，观察规律得知：

因为，

所以

．

故选：．

根据已知条件和，将按一定规律排列的一组数：，，，，，，求和，即可用含的式子表示这组数据的和．

本题考查了规律型数字的变化类、列代数式，解决本题的关键是观察数字的变化寻找规律．

4.【答案】

【解析】解：连接交于，则点是圆心，过点作于，连接，取的中点，连接，，

由对称性可知，，

由正六边形的性质可得，

，

，

由正六边形的性质可知，、、都是正三角形，

，

故选：．

在边长为的大正六边形中，根据正六边形和圆的性质可求出和半径，进而得出小正六边形对应点的距离，再根据正六边形的性质求出半径，即边长即可．

本题考查正多边形和圆，掌握正六边形和圆的性质是解决问题的关键．

5.【答案】

【解析】

【分析】

本题考查因式分解的应用，将通过分析和的取值范围，将原式变形为是解题关键．

由，可得，，，，然后通过因式分解将原式变形为，从而分析其最值．

【解答】

解：，

，，

，，

，

又，，

当，即时，原式有最小值为．

6.【答案】

【解析】解：连接交于点，作于点如图：

，：：．

，．

四边形是正方形．

．

根据折叠性质，，．

．

．

．

．

．

．

．

．

．

．

故选：．

连接交于点，作于点，根据已知可求出、的长度，利用面积法求出，再结合折叠性质，找到长度．结合勾股定理建立等式，即可求出最后即可求解．

本题考查了折叠的性质、正方形的性质、勾股定理，面积法求三角形的高等知识．本题关键在于利用勾股定理建立等式，求出边的长度．

7.【答案】

【解析】解：，

，

即，

，

而，

，

．

故选：．

把两边加上，通分得到，两边除以得到，则，从而得到的值．

本题考查了分式的加减法：同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加减．经过通分，异分母分式的加减就转化为同分母分式的加减．解决问题的关键是从后面的式子变形出．

8.【答案】

【解析】解：在矩形中，，点是边的中点，

，，

∽，

：：，即，故B不符合题意；

，

，

在中，，，

，，则，

，

为等腰直角三角形，即，，

，故A不符合题意；

，

在中，，，，

，

，故C不符合题意；

，，

，即，

，

，即，故D符合题意；

故选：．

根据矩形性质，点是边的中点，判定∽，得到：：，可得不符合题意；结合等腰直角三角形性质得到，再根据等腰直角三角形的判定确定为等腰直角三角形，得，，求出可得选项A不符合题意；求出，在中，利用勾股定理求出，可得选项C不符合题意；根据前面得出，，，求得，再根据，得出，由此得出结论．

本题考查几何综合，涉及到矩形性质、等腰直角三角形的性质与判定、勾股定理求线段长、相似的性质与判定等知识点，根据题意求出各个线段，按照选项判定各个线段之间的关系是解决问题的关键

9.【答案】

【解析】解：，，

，

．

故答案为．

根据，即可求解．

本题考查了锐角三角函数值的增减性：当角度在间变化时，

正弦值随着角度的增大或减小而增大或减小；

余弦值随着角度的增大或减小而减小或增大；

正切值随着角度的增大或减小而增大或减小．

也考查了不等式的传递性．

10.【答案】

【解析】

【分析】

本题考查了算术平方根，数式规律问题，注意分与两种情况求解．

直接把已知数据代入进而得出变化规律即可得出答案．

【解答】

解：当时，

原式，

当时，原式；

当时，原式；

当时，原式；

当时，原式，

当分别取，，，，时，所对应值的总和是：

．

故答案为：．

11.【答案】

【解析】解：当，原不等式变为：，解得，

，解得；

当，原不等式变为：，解得，

，解得；

当，原不等式变为：，解得，

，解得；

综上所述，实数最小值是，

故答案为：．

分类讨论：当或或，分别去绝对值解的不等式，然后根据对应的取值范围得到的不等式或不等式组，确定的范围，最后确定的最小值．

本题考查了解含绝对值的一元一次不等式的解法：讨论的取值范围，然后去绝对值．也考查了不等式和不等式组的解法以及分类讨论思想的运用．

12.【答案】

【解析】解：由题意可知：，，

，

原式

，

故答案为：．

根据根与系数的关系即可求出答案．

本题考查一元二次方程，解题的关键是熟练运用各根与系数的关系，本题属于基础题型．

13.【答案】

【解析】解：根据题意得：

，

整理得：，

，，

则原式．

故答案为：．

根据被除式除式商余式，列出关系式，化简后利用多项式相等的条件求出与的值，代入原式计算即可得到结果．

此题考查了实数的运算，整式的除法，熟练掌握运算法则是解本题的关键．

14.【答案】且

【解析】解：原方程去分母，得：，

解得：，

分式方程的解为正数，且，

，且，

解得：且，

故答案为：且．

解分式方程，然后根据分式方程解的情况确定的取值范围．

本题主要考查了解分式方程及利用分式方程的解确定待定字母的取值范围，理解解分式方程的步骤及方程的解的概念是解题基础．

15.【答案】或或

【解析】解：，

，

则或或，

解得或或，

故答案为：或或．

根据知，据此可得或或，从而得出答案．

本题主要考查实数的运算，解题的关键是掌握的任何次幂都等于、的偶数次幂等于、非零数的零指数幂等于．

16.【答案】

【解析】

【分析】

本题考查正方形和锐角三角函数，解题的关键是熟练运用正方形的性质以及锐角三角函数的定义，本题属于基础题型．

连接，根据正方形的性质以及锐角三角函数的定义即可求出答案．

【解答】

解：连接，

在正方形、中，，

，

设，，

，，

，

故答案为：．

17.【答案】

【解析】解：，，

；

，

，

，

，

，

，，是正数，

，

，

故答案为：，．

通过幂的运算求解．

本题考查了幂的乘方和积的乘方，掌握幂的运算法则是解题的关键．

18.【答案】

【解析】解：如图，取的中点，连接．

，，

，

，，

，

，

，

，

四边形是矩形，

，

，

∽，

：：：，

，

，

点的运动轨迹是以为圆心为半径的圆，

，

，

，

的最小值为．

故答案为：．

如图，取的中点，连接，，，由∽，推出：：：，因为，可得，推出点的运动轨迹是以为圆心为半径的圆，再利用两点之间线段最短即可解决问题．

本题考查了矩形，圆，相似三角形的判定和性质，两点之间线段最短等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造相似三角形解决问题，属于中考填空题中的压轴题．

19.【答案】解：原式

．

由题意得，．

又，，

，．

，当且仅当，中有一个为，另一个为时，等号成立．

的最大值为．

【解析】依据题意，将被开方数提取公因式后计算即可得解；

依据题意，，再结合，，从而可以得解．

本题主要考查了配方法的应用及实数的运算，解题时要熟练掌握并灵活运用．

20.【答案】解：，

由等比性质可得：，

当时，，

当时，，

，

或．

【解析】根据等比性质得出，再分两种情况进行讨论，当时和时，分别求出的值，然后代入要求的式子进行计算即可得出答案．

此题考查了比例的性质，熟练掌握比例的性质是解题的关键．

21.【答案】证明：，，

，

．

证明：连接，

的平分线交于点，

，

，，

，

，

，

是的半径，且，

是的切线．

解：是的直径，，，

，

，，

于点，

，

，

，

，

，

，

，

，，

，

，，

，

，

∽，

，

，

线段的长是．

【解析】由，，得，所以；

连接，由，且，，得，由，得，即可证明是的切线；

由是的直径，得，所以，，由于点，得，所以，则，由，得，则，所以，由，，得，再证明∽，得，即可求得．

此题重点考查圆周角定理、平行线的判定、切线的判定定理、勾股定理、锐角三角函数与解直角三角形、相似三角形的判定与性质等知识，此题综合性强，难度较大．

22.【答案】解：时，；时，；时，；时，；

图象如下：

设，其图象经过，

当直线过时，如下图虚线，直线与的图象有两个交点，将代入得，即时，有两个解，

当时，如下图实线，此时直线与的图象有三个交点，即有三个解，

时，直线与的图象只有一个交点，即只有一个解，

时，直线与的图象也只有一个交点，即只有一个解，

有三个解，的范围是，

故答案为：．

【解析】分段求出函数解析式，再描点画出图象即可，

数形结合求出临界点时的值，再观察得出的范围；

本题考查分段去绝对值作函数图象及根据函数图象求方程解的个数，其中数形结合找临界点是关键．

23.【答案】解：由题意可知：，

解得：，

抛物线的解析式为：．

，

．

的周长为：，是定值，

当最小时，的周长最小．

如图所示，点、关于对称轴对称，连接交于点，则点为所求的点．

，

周长的最小值是：．

，，，

，．

周长的最小值是：；

如图，当点在直线左侧时，

抛物线与轴交于，两点，

对称轴为直线，

将线段绕点旋转，得到线段，