高考数学一轮复习-空间向量及其运算(理)课件

第六节空间向量及其运算（理）一、空间向量的概念名称定义空间向量在空间中，具有

和

的量叫做空间向量，其大小叫做向量的

或单位向量长度或模为

的向量零向量

的向量相等向量方向

且模

的向量大小

方向1模为0相同

相等长度模相反向量

相反且

相等的向量方向模名称定义共线向量如果表示空间向量的有向线段所在的直线或

，则称这些向量叫做共线向量

，a平行于b记作

共面向量平行于同一

的向量叫做共面向量互相平行重合平行向量平面a∥b二、空间向量中的有关定理定理内容共线向量定理定理对于空间任意两个向量a，b(b≠0)，a∥b的充要条件是存在实数λ，使

.推论如图所示，点P在l上的充要条件是：①其中a叫做直线l的方向向量，t∈R，在l上取＝a，则①可化为＝

或＝(1－t)a＝λb定理内容共面向量定理定理如果两个向量a、b

，则向量p与向量a、b共面的充要条件是存在实数对x、y，使

．推论空间一点P位于平面MAB内的充要条件是存在有序实数对x、y，使或对空间任一定点O，有不共线p＝x

a＋y

b定理内容空间向量基本定理定理如果三个向量a、b、c

，那么对任一向量p，存在一个唯一的有序实数组x、y、z，

.我们把{a，b，c}叫做空间的一个

，a、b、c都叫做

．推论设O、A、B、C是不共面的四点，则对空间任一点P，都存在唯一的三个有序实数x、y、z，使.不共面基底基向量p＝x

a＋y

b＋zc三、向量的运算1．空间向量的加法和减法类似于平面向量，我们可以定义空间向量的加法和减法

运算(如图)：2．空间向量的数乘实数λ与空间向量a的乘积

仍然是一个向量，称为

．

当λ＞0时，λa与a方向

；当λ＜0时，λa与a方向

；

λa的长度是a的长度的|λ|倍．数乘相同相反λa四、空间向量的数量积1．空间向量a、b的数量积a·b＝

．|a|·|b|·cos〈a，b〉同向反向a⊥b2．空间向量a、b的夹角〈a，b〉的取值范围是[0，π]．其

中当〈a，b〉＝0时，a和b

；当〈a，b〉＝π时，a

和b

；当〈a，b〉＝时，

.3．空间向量数量积的性质

(1)|a|＝

；

(2)a⊥b⇔

；

(3)cos〈a，b〉＝

．a·b＝0a·b＝b·aa·(b＋c)＝a·b＋a·cλ(a·b)＝(λa)·b＝a·(λb)(λ∈R)4．空间向量数量积的运算律

(1)交换律：

；

(2)分配律：

；

(3)结合律：

．如何利用数量积证明a∥b.提示：a·b=±|a|·|b|1．已知空间四边形OABC中，，点M

在OA上，且OM＝2MA.N为BC中点，则＝(

)解析：显然答案：B2．与向量a＝(1，－3,2)平行的一个向量的坐标是(

)解析：可知性，选C.答案：CB.（-1，-3，2）3．如图所示，在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，M为AC与

BD的交点，若，则下列向量

与相等的向量是(

)答案：A解析：4．已知A(－1，－2,6)，B(1,2，－6)，O为坐标原点，则向量

与的夹角是________．解析：由cosθ＝－1知θ＝π.答案：π5．已知空间四边形OABC，其对角线为OB、AC，M、N分别是

对边OA、BC的中点，点G在线段MN上，且，现

用基底表示向量则x、y、z的值分别为________．解析：答案：用已知向量表示未知向量，一定要结合图形．可从以下角度入手：1．要有基向量意识，把有关向量尽量统一到基向量上来．2．把要表示的向量标在封闭图形中，表示为其他向量的和

差的形式，进而寻找这些向量与基向量的关系．3．用基向量表示一个向量时，如果此向量的起点是从基底

的公共点出发的，一般考虑用加法，否则考虑用减法，

如果此向量与一个易求的向量共线，可用数乘．如图所示，在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，设M、N、P分别是AA1、BC、C1D1的中点，试用a，b，c表示以下各向量：将所表示向量置于三角形或多边形中利用三角形法则或多边形法则可求.【解】（1）∵P是C1D1的中点，(2)∵N是BC的中点，(3)∵M是AA1的中点，又1．在例1的条件下，若2，试用a，

b，c表示解：如图：连接AF由已知ABCD是平行四边形，由已知：故=a+c,-a+c.又（a+c），

应用共线向量定理、共面向量定理，可以证明点共线、点共面、线共面．1．证明空间任意三点共线的方法对空间三点P，A，B可通过证明下列结论成立来证明三点

共线（2）对空间任一点O，（3）对空间任一点O，2．证明空间四点共面的方法对空间四点P，M，A，B可通过证明下列结论成立来证明四

点共面（2）对空间任一点O（3）对空间任一点O，或或如图所示，已知ABCD是平行四边形，P点是ABCD所在平面外一点，连接PA、PB、PC、PD.设点E、F、G、H分别为△PAB、△PBC、△PCD、△PDA的重心．(1)试用向量方法证明E、F、G、H四点共面；(2)试判断平面EFGH与平面ABCD的位置关系，并用向量方法证明你的判断．(1)可构造证明(2)只需证明EG∥平面ABC，EF∥平面ABC.【解】

(1)证明：分别延长PE、PF、PG、PH交对边于M、N、Q、R点．因为E、F、G、H分别是所在三角形的重心．所以M、N、Q、R为所在边的中点，顺次连接M、N、Q、R得到的四边形为平行四边形，且有：因为MNQR是一个平行四边形，所以由共面向量定理知E、F、G、四点共面.又所以(2)由(1)得又因为EG⊄平面ABC，所以EG∥平面ABC.因为所以MN∥EF，又因为EF⊄平面ABC，所以EF∥平面ABC.由于EG与EF交于E点，所以平面EFGH与平面ABCD是平行平面．所以2．在以下命题中，不正确的命题个数为(

)(1)已知A、B、C、D是空间任意四点，且＝0.(2)|a|－|b|＝|a＋b|是a、b共线的充要条件．

(3)若a与b共线，则a与b所在直线平行．.(4)对空间任意一点O和不共线的三点A、B、C，若

(其中x、y、z∈R)，则P、A、B、C

四点共面．A．1

B．2C．3D．4解析：

(1)正确；若a，b同向共线，则|a|－|b|＜|a＋b|，故(2)错；由向量平行知(3)不正确．由空间向量共面知(4)不正确，故共有三个命题不正确．答案：C1．方法应用数量积解决问题时一般有两种方法：一是取空间向量

的一组基底，一般来讲该基底最好已知相互之间的夹角及

各向量的模；二是建立空间直角坐标系利用坐标系运算来

解决．后者更为简捷．2．应用类型

(1)证明线线垂直，转化为证a⊥b⇔a·b＝0，若a＝(a1，a2，

a3)，b＝(b1，b2，b3)，则转化为计算a1b1＋a2b2＋a3b3＝0；

(2)在求立体几何中线段的长度时，转化为求a·a＝|a|2，

或利用空间两点间的距离公式．如图，在棱长为a的正方体ABCD－A1B1C1D1中，G为△BC1D的重心．(1)试证A1、G、C三点共线；(2)试证A1C⊥平面BC1D；(3)求点C到平面BC1D的距离．(1)即证

∥.(2)可证·＝0，·＝0.(3)利用＝可求.【解】（1）证明：即A1、G、C三点共线.(2)证明：设则|a|＝|b|＝|c|＝a，且a·b＝b·c＝c·a＝0.又BD∩BC1＝B因此A1C⊥平面BC1D.(3)由(2)知，A1C⊥平面BC1D，则C到平面BC1D的距离为|CG|，由（1）知3．已知一个

60°的二面角的棱上有两点A、B，AC、BD分别

是在这两个面内且垂直于AB的线段．又知AB＝4，AC＝6，

BD＝8，求：(1)CD长；

(2)AB与CD成的角的余弦值．空间向量及其运算.高考中很少单独命题，常以工具性知识与方法在解答题中考查位置关系的证明、判断及空间角的计算.对解决一些探索性问题更有独到之处.2009年全国卷Ⅱ中利用向量法求线段长（转化为坐标值）及线面用的大小突出了空间向量这一工具知识的作用.(2009·全国卷Ⅱ)如图，直三棱柱ABC－A1B1C1中，AB⊥AC，D、E分别为A