新概念力学习题解黎草稿

已知质点沿x轴作周期性运动，选取某种单位时其坐标x和t的数值关系为x3sintt=0,3,6,9,12s6解：位移

xx(t)x(0)3sin

，速度

vdx

cos

，加速度6

a

t，对于不同的时刻，相应的x、v、a值见下表（长度单位设为米6t0003306009000r=R(costi+sintj解（1）xRcostyRsintx2y2R2

v R(sinticostj a

R(costisintj)2r

方 向圆r求(1)质点轨迹，(2)t=0t=1的位移，(3)t=0t=1解（1）x4t2y2t3xy3)2故x≥0，y≥3,质点轨迹为抛物线的一段（见右图

42r(03jr(14i5jrr(1r(04i2j大小为42

25j5j

4ix轴夹角tg1

4v4v

v

2 2

大小

27ms方向：与x轴夹角tg128站台上一观察者，在火车开动时站在第一节车厢的最前端，第一节车厢在t1=4.0s内从n节车厢从他身旁驶过所需的时间间隔tn为n=7，求tn．v00，加速度为a，每节车厢长为ltt4sll1at21至n节车厢经过观察者所需总时间为t 1at2l

t2 t21

n4(n n7tntntn1 n1)n4(n n7n7t74

6)h／2处相碰?所费时间为 (∵h1gt2).等价地，相当于下球以vh 1gt2

v0t

1gt22

th2

g,v0th,v0t

v0竖直上抛，t0s后在同一地点以同样速率向上抛出另一小球。两球在多高yvt1gt2,tt

yvt1gt2令yyt

/g1 解 v

20y0

0

一物体作匀加速直线运动，走过一段距离s所用的时间为t12s所用的时间为t，试证明，物体的加速度为a2

t1

证明：svt1at 2sv(tt)1a(tt

1

1

)

)(

1at 1at

s(t1t2

a

11

t1 t

t(tt

ttt

v2解：x2

1x1,dx1

x h vdx2

dx1

v

0.

h h

tan=2tan

v2sin2

v22sincos tg1

1sin2cos

12

tg2A、B30、60为发射角同时抛出两个小A、BA的初速为3v2sin2 v23解：

Bv

AB12

1 333

1(vA A

sin2300vB0B

sin2600

vA0

13

)29.8

23 3v0=100m/sh=98m时，驾驶员要把物品投x0 x0解：（1）

yht

,sxgg y1gtgg

22200

2tgs2h

0

(,

)

298v298

v0

yy

yatgcosgy

g

2

0.96m/svagsingvx

g

v0gv

tt

10021002

9.75m/san

g2g2atR(100(10029.8212故t=1sR

.110v2v2 v2v2v2 v20a2a2t

cos

singt,a

v adv

1

(g)2v2v2v

v

v 3

gg2g2vyv

gvvgvv2vy 0 vg0

(v22gy) 1.13一弹性球自静止竖直地落在斜面上的A点，下落高度h=0.20mv0

xyvdx

cos60gsin30t1

x1(vt1gt2vy

cos60gsin30t

2

3gt)3

313

y

(v0t

2 y0t 0ABx (v 0 g 0) 04h40.20 g R1-14at=3.00m/s2，圆的半径R=300m．问经过aR解：45

at,vatt,

R

a2t 此时R

at

t

1-15V测物2 (快3 （不动4 1-15V测物2 (快3 （不动4 解 ABev 由动量守衡得PP

PP2P 9.2222PB

方向:tg

tg15.3330.18030150

9030120质量为M的木块静止在光滑的水平桌面上。质量为m，速率为v0的水平地入射到的动量；(2)在此过程中施于木块的冲量解:(1vmv0Mm)v故v

Mm

v0p

mv

Mm

v0

mv

Mmv0(2)施予木块的动量

木P

0

M

v0T0=1.00kgfm=500g,l=30.0cmmIT0T0mglT0mglFm(Tm(T0

mgv

.Imv0II

[500103(19.85001039.8)30.0102]120.86kgm/习题2- 水平地穿过两个前后并排在光滑水平桌面上的静止木块。木块的质量分别为和m1，设 透过两木块的时间间隔为t1和t2。设在木块中所受阻力为恒力f，求解:当穿出

时,

与

v1

m1当穿出m时

ftm

m

v

ft2

ft2 2 2

2

m1 m70kg200kgm4.0m船) 两边积分得

(mm人)0v船dtm0u人dt(mm人)Sm人S人m人S船

S

704

0人dt0v船dt0u人dt

S人对船

214.(50kg60kg，求乙船质量。解m甲=500kg,m货=60kg,m乙待求.v0=6.0m/s,v乙(m甲m货)v0-mv0=mv0-m乙+m货)v

v0v

6 60300kg乙货v0v乙货

6MvM(相对于船)m的物体分别抛到前后两只船上。求此后三只船的速率。解:设v、v、v分别为前、中、后三船的待求速度.uv同向时为正,反之为负,由水平前Mvm(v中u)(Mm)v中MvM2m)v中m(vum(v中后Mvm(v中u)(Mm)v可推出

v前v

Mm

v

v后v

Mmu的正方向与vv前v

Mm

u,vv,后中后

v

Mm一质量为M的有轨板车上有N个人，各量均为m．开始时板车静止。(1)若所有人(2)Nu，求车子最后速解:(1)设车子的速度为v车,由水平方向的动量守恒得MNm(v车u)0v

MNm

[MN1)m]v车1m(v车1u)0v车1

M

[MN2)m]v车2m(v车2uMN1)m]v车 v车2v车1 u

uMN1

M

M(N

Mv车Nm(v车NuMm)v车Nv车

v车N1

Mm

u

M

M(N

M

Mm

v车Nv

.即一个接一个地跳(第二种情况)比集体跳,子最后获得更大的动能.u,则结论刚好相反.3-26题一弹以速率v0和仰角0发射，到达弹道的最高点时炸为质量相等的两块(见本题图)，解:弹在最高点时vxv0cos0vy0.1212m(v1v2)mvximvyxjmvximv

1

即

1

v2 0

2mv2sin

2tg

v4vcosv4vcos222100

cos12v0cos900m/s解:F=Ft机枪的动量变化=的动量变化=240mv-Ft240mvt

24010103

一起始质量为M0的火箭以恒定率|dM/dt|=u排出燃烧过的，排料相对于火箭的速的dvPP0mdvv0dM

则 v0dM在发射台附近,m=m0

,F=M0gv0与F方向向下.dv 则有

M0

v0M

g

M

M

100

9.8

735kg/s6040101020/37/3112/30，只有当下一级火箭发动后，才将上一级的外壳甩若把48t放在12t的外壳里组成一级火箭，问火箭最终速率是多少

vdv

mdmv0m0

clnm0v 0v对第一级火箭:vclnm02500

2500ln3 60

2500

1020/

12/

7500ln38239.6m/s(2)v2500

60

2500ln54023.6m/svdm/dt的M(t)，试问：要保持飞船匀速飞行，需要多大的力？解:由动量定理得

M(P

uv

两边求导得M(t

(vu)

F∵要求飞船匀速,dv=0,v与u的方向相反,以v为正向 F(vu)dmF(vu)dm为向前的推力.此式的v、u为绝对值 dm／dt(1)vF(mdm)(vdvmvmdvvdm FmdvvFvdm

Fv

2解xacostybsint,2a

y 1.椭圆

vdxi

jasintibsintadv2acosti2bsintj2r.

mam2

向原点mAA放在光滑的水平桌面上，AmB的B之间发生相对运动。NmBgf解:Bf

rmB

NmBg

mB

对AF

mAaAFmBgaAmAmaAaB时,A,B之间发生相对运动F(mAmBm2a2xN2sin

m

1 解:m2m2a2yN1N2cosm2

m1m

Ncosma2ya

1 运动学关系 aa'

a

1y a a m2gsincos

m2m1sin2

(m1m2

m2m1sin2 ma2xm2

(m1aa2m1m2解:f22N2N2m2g,f11f21FffmaF1 1a 解:(1)fNNmgcos,mgsinfmaaS [

1at2t[

ggcos60(sin60

60sincos2本题图中各悬挂物体的质量分别为：m1=3.0kg,m2=2.0kg,m3=1.0kgm1下降的加速解:m1gT1

m2gT2

T2m3g

a'm2m3(gaT1

'a2'

aa

11m211a'm1(m2m3)4m2m3g3(21)421g

1g0.58m/s m(mm)4m

3(21)42 2在本题图所示装置中，m1m2m2与斜面之间的摩擦系数都为m1>m2，斜面的解:f1N1N1m1gcosf2N2N2m1m2)gm1am1gsinf1maTmgsinfftg3m1m2

ma m1、m2m3，设所有表面都是光滑的，略去绳和滑轮Fm3不升不降。m3gT解: m

Fm3(m

m F(mmm Nm(gcosasinNm(gcosasinTsinNcos解TcosNsin

Tm(gsinacos(2)N=0a解:车子驶慢时,就要往下滑.则有Ncosfsinsincossincoskgcossin1tgkg

v

Nsinfcosm Ncosfsinsincossincoskgcossin1tgkg

Nsinfcosm 质量为m的环套在绳上，ma’M、m为已知。略去绳与滑轮间的摩擦，绳不可伸长。mgfm(a'解f

f

M

(2ga'MgTT解mgmg/2T

(从机内看a3

aAyg/TTmg

3/1/

1/aa

g/2a

vTnmg

m

vTnTtNmgmdv0

mg5001039.8(2)

v v

3(40102N N

Nn

500

50

略去重力时，绳中的张力分布为T(r)

r

r解:rTrl这一段绳子作圆周运动所需的向心力,dr这一段,心力为

dT

2r

l

rdr

r2)2km的物解:N=0f

l

kcosfcosfsinmr

2m(l0l)sin2

kgkl0kgkl0cosNcos解:(1)Nsin

m2 tgy'(2)当y=2R时,取任何值均可.当R<y<2R时N不能提供向心力,故小环会谐动.当gR时,在垂直方向只有重力,无向心力.故小环也会谐动.0gRy'

Ry

(yR

R2x2)f'2—25f'Mg

Ma

mM(2aa'mgma

解:fc2mv,东边fc2msin

250

9010360

2460

2460

mgFMfmMg。(Mm)mFf'FMmm

f[方法一]：在以匀速v0前进的参照系看，一节车厢停止时的距离s2

at

ft2

Mm

1a't2

1Ff't2Mt

sM时最后一节车厢与列车后端相距ss'sMs/(Mh多大时开始脱离球面。mghmv2/解：N=0

mgcosmv2/

hR/cos(Rh)/Rh至少要多少？mgmv2/2mv2RmgN

h5R/

hmghfsmv2/ 解： h(v2v2)/ 1mghmv21Bh后所获得的速度，mgh

m)v2

2(mm)gh

v[ ]2fmA

mABB113113NMg

Mv2/

cos1(1 3MgR(1cos)Mv2/m1、m2m1的最大速度y0,m1+m2y2m1y1剪断m2后，m1经过其vmax,k(y2y0)(m1m2k(yy)m

2k(y2y0)2k(y1y0

2

m1g(y2y1kmAkmA的物体。当把弹簧的长度求：(1)AkmA（1）1kx21(mm)v2

mAmAmAmA

（2）mv2 kx'2

xx'(1 A

A

kmAmBmAmBx0，当外力撤去后，求：(1)mA、mB所组成的系统的质心加速度的最大值；(2)质心速度的最大值。解：(1)mBfkx0mANA

Nkx,这样，系统(mA+mB+弹簧)F外N

ac

Fmkx0/(mAmB

F0ac（2）当弹簧恢复到原长时，mA静止,mB1mv21kx2

B

k/k/(mAmB)vc

mBv20

即：vc

m

此时

E

1kx21 mA

m

1 p

c

2mA2（弹簧不伸长，不缩短，故其弹性势能为零）2

EcM1 v2A2 2mA2B（1）

kl

l2时，m2方能离地

kl2m2gl2m2g/ 1kl21kl2m

l)F(mm

（2）力F（m1+m2+弹簧）F外Nm1m2)gNk(l0x)m2g。l为弹簧原长。

（以向上为正F刚撤除时，l0xlFF外m1m2)gm1m2)ac当l0xl1时，F0ac

acmax

当l0xl1l2时，N=0F外（m1m2)gacgM的三角形木块静止地放在光滑的水平面上，木块的斜面与地面之MMmNN’所作的功，0．p.1052-17NN

mMg

aMx

mgsinMmsin2

amy

(mM)gsin2Mmsin2h

12

t2

mhcos(mM)sin12Mm为参照系，ms0ANNscos012M

cos2

0,

ANM为参照系，Ms0ANNscos0ANNs

cos2

0,

AN

③以地面为参照系，MsM，msms相

m2Mhgcos2

ANNsMcos(2)(Mm)(Mmsin2)M2(Mm)2tg2A

NsmN(s相sM)Nscos2

AN m2Mghcos2(Mm)(Mmsin2

ANAN④设有两参考系k、k，M和m的位移分别为 、 ，k相对k的位s

sM(sM

sm(smAN

s,N

，且

AN

N

N

NNss

sM,N

s)

sNs

sM

N

N

s)

Ns

(NN)mh后绳子开始被拉紧。求绳子刚被拉紧时MH。mh1mv2mghv 经t（很短）时间后，mMVm:(Tmg)tmv(mv0

M:(Tmg)t绳子被拉紧的tTng,TMg故可忽略mg及Mg

mV MmmH，MH后，mM01MV2

12

mgH

HM2m2 的两个弹簧相连，若在右边弹簧末端施以拉力f，问：(a)若以拉力非常缓慢地拉了—段距l，它作功多少？(b)l后突然不动，拉力作功又如何？解：(a)Fx1x2

k2x2k1x1x1x20fk

k

A

l1 2

2k1AEp弹1Ep弹2

2k1x12k2(b)施力的方式比较复杂，现考虑两个极限情形：第一，如上述（a）的情形：A被分配A最小。第二，A只分配到k2fk2x2速地拉动，此时k及m都来不及变化和运动，故 1kl2。一般地，有1

l2A1kl2

22k 2 质量为M的木块静止在光滑的水平面上。一质量为m的以速率v0水平入射到木块内，并与木块一起运动。已知M=980g,m=20g,v0=800m/s。求(1)木块对作用力的功； 20mv0M

VMmv09802010380016m/

1mV21mV2120103(1628002)

Ek

MV

00 1mv

)(

如本题图，m1、m2k的弹簧相连，弹簧处于自由伸展状态，一质量为m、水平速率为v0的入射到m1内，弹簧最多压缩了多少？

然后，m,m,m及弹簧系统中，当m(mEcM0 (mm1)v1(mm1m2

mv1(mm)v21(mmm)v21

(mm)(mmm)k

1

eAh1释放，求该球碰撞弹回后能达到的高度。0解：A球与B球碰撞前一刻的速度为vA ，碰撞后两者的速度分别为vA,vB00mvAmvAmvB0

1(1

0,

1(1

vvv

A0A

1mv

h1gt

h1(1e)2

1hB

1mv

h

1gt

h

1(1e)2

24 24

∴A球第一次碰撞后返回的高度是

1(1e)2 mAmB的两个质点，B在水平轨道上静止，AhBAA，B至少发解：AB质点第一次相碰前的速度为vA0mAmBmAmAmBmAmA若要求A点返回，则要求vA0，则mAmBAB

vA0'vA

mB3mA或mAmBmv0M的粒子作完全弹性碰m／M=0m／M=10v与比值m／M的函数关系图。

m m v 2v

r1vr1

vMvm

m

v0

r1两粒子末速v(vm或vM与质量比mMr的函数关系如右图所示(r~010，vmv0vM以2v01 m1u1m2的粒子，碰撞是完全弹性的。现观察到碰撞后粒子具有等值反向的速度。求(1)比值m2／m1；(2)质心的速度；(3)两粒子在质心系中的总动能，用mu2/2的分数来表示；(4)在参考系中m1 动量守恒:m1m2v （1）能量守恒mu22(mv2mv2

vu1/

m2

1 mu （2）vc 11 2 m1 2c1c

m1

u1u

2m1 1mv21mu 1在一项历史性的研究中，．克(JamesChadwidk)于1932年通过快中子与氢核、氮核的弹性碰撞得到中子质量之值。他发现，氢核(原来静止)3.3量和所用中子的初速度分别是什么吗？(1原子1414原子质量单位。mnv0mnvnHmH

v1(1mHmv2/2m 2/2m

2/ n

n H

1(114mHn n 144.71063.3mn HmH mHvH

3.31074.7

1(12

)3.31073.07107m/l

l

l

mn

vH

vH 而

v10%0.47106m/Nmn 14 N

n 144.71063.3 3.31074.7nnmnmn21.72%n又

ln1

mln()1

2

mHnv即

1.159

最后 ·mn(10159

·v(3.070.31)107m/00v

，则v1v250v095v09

28v,

13 2m

2mvm

27

27 0

0 0注意：若设v2v15v09,则v1

m0v02m0静止的粒子。结果，质量为552mvmv0cos2mv

v1

0 0

4 2m0 2mvsin2

28.68末态动能

0 vm00

1

在一次交通事故中(这是以一个真实的案情为依据的)2000kg、向南行驶6000kg、向西行驶的卡车。两辆车连接在一起沿着差（1）P汽P卡m汽v汽m卡v

v汽卡 m卡 v汽卡 m

m汽m120公里，此处v汽120kmh（2）E初

1m 汽

21 7.68104tkm2/h212E末

1

m126卡卡 卡卡

xE初

E初kE E初5/86.0m/s．当它们相遇时，将甲船上的货2-6题求得m乙300kgv06m/sv乙4m/s

记m甲500kgm货60kg则 1m mv

1mv21 mvk

k 甲 货由于v0vEk初Ek，即搬运货物前后，两船和公斤的总动能有变化（减少了a=2m/maN<<1aN情形的有效性。v1

0

0

v2

m0m

mm

v03v23v

0m

v2

20nv0n

m m由于lnb

m

ln1mln1mm

2

mmmm mmmmm

，其中a2m

0a0

ena

，由于

m,aa b1，严格结果vnnav0，故此时近似式（1） aena0vv，但严格结果nav 10个人的质量，以及所有人所消10个人一起跳？EMN 1

2EcM

mmv c k

定 其中：c

N N 又：

1 N

2

Ek

1MV MV车mvi0vkikEk

Ek车

MNm

NEEcM当几个人一起跳车时，各v一样，且vvvcM0E

0 k NEk车一起M当几个人一个一个跳车时，各vi不一样，且

N

viiviicMvii

0，

k车∴10

0,

,xRx xdm

xdl1Rcos

RdRsin m m

m

xc0,圆周质心在圆心上2

2R(半圆弧的质心0xcR一个点的质心在质点上

0，

2R2/

,yRcos,dyRsinyydm

RyRsin2dy3

282 m 282kl(l<2R)A点。分析在不同的参数下这装置平衡点的EpEp重Ep弹，选右图中的EmgR(1cos2)1k2Rcosl22mgRsin21k2Rcosl2p找平衡点dE

mdv

p2Rdp klklsin0或cos 即10, klkl

2kR

2kRpp

2Rcoskl2mgkR

4RmgkRsin①对于

0,E04Rmg1klkR p·当mgkRkl20,即mgkRkl2时p

01·当mgkRkl20,即mgkrkl2时Ep01pp∴在10附近，势能曲线上凹，这时，10p1·当mgkRkl20,即mgkRkl2时E00，0p1kl②对于cos1 kl 2kR 当kRmg0时E0cos1mgkRkl2 mgkRkl2时cos10mgkRkl2cos1p·当kRmg0时E0但cosp ·当kRmg0时,E0,但cos为负值， 2 当mgkRkl2时，Ep有两个稳定平衡点，有一个不稳定平衡点10当mgkRkl2时，Ep只有一个稳定平衡点10mvA、B、JA

v,J

mvd1解：（1） JBmd2vJBmvd2sin(2)md2vcosmvd1 JCmd3v（2）M

mg,M

mgd1M

mgMB

2

)

gcos

；

mg

解

f

电子的角动量为h/2，(h为常量，等于6.63×10-34Js)，求其角速度。 Jmrv,Jmvr,vr,J mr2

F沿r方向，为有心力（即向心力，故质点对支柱的角动量守恒（不是对顶点守恒J1J2mr1v1即：r1v1r2v22vr1v,由于r2r r221vl1sin1v,从21 tg2~R/2处时，转台的角速度变为多少，动能改变多少？能量从哪里来？汽车对地速度为V车台解 台

2

(m1、m2(m1m2)，拴在一根不可伸长的绳子的两端，以角速度在

m1m2

l2

m1m2 mlvml 11 1m1m2Jc2Jc1,即l。解：放开m2后，质心的合力为零，故其以匀速

2

线运动J

m1m2l2 mJJ

m 系统绕质心的总角动量为J

l2l2. m v mTm1ml2 12ll 1l1

m1v m1 Tm2ml2 2l21

l2(TTl 2l2

m1

J

6056.51950kgm2/J

J

219503900kgm2/s

前每人用力沿r前JJ2mr

JJ2mrvvr10

56.513m/r 10r

5 5T

60

r

r2mr

2mrvv10 s

r,ds

T

m10v10

r rr rr

v2r3

A 5Tds

5m0

(dr) 2

2v2

r m10v2 mv2 mv2 mv2r2222 r22225160(1326.52)2v0Ob，当O的角动量如何变化？E

1mv2,v

sinv E1mv21

2bk

b2

0

k

2mv0(l

Ek

2mv0

l2)绳子断后，质点将按速度v

0Jmrvsinmvlmv0b质点对0O为有心力场的力心，排斥力与距离平方成反比：f=k/r2(k为一常量)。(1)场的势能；(2)mv0b从远处入射，求它能达到的最近距

(y

0

rfcosds

rf(r)dr

kdrkr 选r处为U的零点

(r)kkJ0

2

)

cosmv0b

1mv21mv2

v

mv2b2

k2m2k2m2v4b200mv0kk k2m2v4b20k2m2v4k2m2v4b20k2m2v4b200

mv月2448小时一圈，M地6×1024kg，地球半径为R地=6400kmM月7×1022kgl=3.8×105km，将月球视为质点。解：选地心O为参考点，地球的自转角动量为J地IC,月球对0点的角动量为J月m月v月l,因地-0（其质心在月地球内，故可认为地心不动

JJ

J

J 2222I I 则

R,

2

108m

m3kg/s2 MM l

月月

GMMl2

M

v

,

2R

T

lll[3.8[3.8108

5M

MG6 MG6

1 7

m

mvLmvL112mv22

1mv22

1I2(动量守恒v2

3m3m

v,

6vL

3m

,vI1 M3mv0,M3mv0,M3mv0,lm解：OC,OBOZI

I

13

BCIBC

2(oA2y2)dyOA2m2

2y2

mdy(l2l

l)m2 2

ml2

5ml6三角架过OZII 1ml225ml23ml (1).I6ml26601031043.6105(2)I

3l)23ml21.81052(3)I2ml2

2m(4

l29l2)m(2l)212ml27.21054(1)O轴的转动惯量；(2)G(1)I1ml21MR2M(ll1

(lMm

R),

(lMm

rl

R)lMRml/2l

ml/2M(lR)ml2m(l M

m

2(MI

ml2ml21MR2Ml2

ml21MR2

(Rl)2

M 或IIMm)r21ml21MR2

[m2

M(l

m

是相等的，例如，取一特征值来验证：M2mR1l

0.45ml2习题4- 在质量为M、半径为R的匀质圆盘上挖出半径为r的两个圆孔，在半径的中点。2

MR2I

2(2r

rr2MR500Nm40s内即可停止。试计算该电机的转动惯量。设摩擦力矩的大小为M摩t1I(00摩 500)tI摩2 摩0

1000.10m25kg50r/s200N的正压力作用在10s内停止。求工具与磨轮之间的摩擦系数。Mr(t0)Ic

1205020MrfrR,fr1000g1.0m100r/min5.0sF．假M(t0)MNR,rIc

mR2,m

1002vBRBA解： AnA2

600转分20rads,

300转分1

AA0

10

1rad/s20.17rad/6B

RA

30208rrad/

RA

30104rrad/B

4

1rrad/s20.067rrad/4-234-间？(2)若皮带与之间的摩擦系数为0.3两旁皮带中的张力各多少？(设皮带与的接触面为半个圆周

10rad/3MtIc(

1100.12

2Ic 2

t

(2)T1T2

T

T

(TT)R

20.3 m1m2，已知IC，绳不打滑，求两边物体的加速度和绳中张力。m1gT1T

gm

(mRm

(mRm22 2222 22

22

g

a

g1T1RT2rIc1

Icm1

m2

Icm1

m2T1

Icm2r(rR)ImR2mr2

T2

Icm1r(rR)ImR2mr2

m2 r

l2

l2l1,m Iml2m

2m(l2l2 I

2 l2l小幅摆动的周期T

g(l2l1 l2l 2l0等值摆长l0

2ll ll

l2 l2T1=0.500sT2=0.600sOIIT1TTI mlT2T

I I (Mm)grcrr

2

4-254-264-T．(1)h=0.50m1.00mT/T0；(2)hT/T0=1？1l1mrc21T

I1mgmgc,IIr

h

h 1ml2 2mg1ml2 2mgl4h T1h T1rR的竖直环形轨道里。求小球到最高点时至少需要v2v解 N 高mg0 R mghmg(2Rr)II

2mr2,高5高

2r，求下降时的加速度和每根绳的张力。mg2T

cmr ca

a

T mgcc2TrIc

cImrc

2(Icmr2（1）fm(aacRfIc

f

1maNmga2g或I Iac

1a,圆筒质心对地面的加速度aaa1

ac

如本题图，质量为m的汽车在水平路面上急刹车，前后轮均停止转动。设两轮的间距N1N2

NLlhNlN(Ll)(

f

f1f

22

lhf

N

mRv0．球与光滑墙壁作完设原来转速为0，v0R0.对A点的角速度动量守恒，故碰0t0,vp0v0R0

v0mg

m

v

c c0 0

3gmgR c

mR2

2

2v0

stt，0 300 3 ，按顺时转动 即

3

)

4v0 2

vv 1v 5 5

v0此时

在 2

前后，已是纯滚动了解：设球心原来速度为v0（向右m，墙体质量为m em mmv0(v0R0当e

m时，0球会向右运动（一边滑动，一边倒着转动） 方法类似上题（4当e

m时，0,球不会返回，它会在摩擦力f

1 v设滚上的高度为h,mgh I2 mR22 mv2h 2c 3

球碰后对A点的角动量守恒，故角速度仍为rmR的半圆轨道上自静止无滑滚mgRr)(1

21I2 222I5 mrI5

2c

底

107vr1071解：低1r

10gRr7

110 由N110

v低v

N

177小球作用于最低点的轨迹的正`压力为

7aacfm(aac),ac

5a,

mg

2mR2 5aaa2a,一边绕质心倒着转动，若2a, FfcFhfRIc

2I I

f F(27

mg解法：hR

(2 ach可以很小，若在h2R5当h0,无滑动的要求给出

2Fmg7

当fmg时，台球只有滑动，没有滚动，此时

Fmg或

2Fmg,7gsin30=g/2，他能逃脱吗？v2

22as100gs(a1g) s t1at210t1gt

0

0 雪球到达A点的速度为v雪mg(s_100)sin301

21I

21mv21I 0

2c0

2cII

mR2, 0

0雪v

Rv

2132557

如果雪球碰上滑雪者，则v

2

2s人带入（2）式得t11.48s12人ba的匀质木箱，放在倾角为的斜面上，两者之间的摩擦系解：当木箱刚好可以翻倒时，N=0f=0,0mgsinbmgcosa0arctga

mgsinN若木箱不能翻倒只能滑动，此时有Nmgcosa

arctg

当b 当b

arctgbaarctgba当b

arctgarctgba习题4- 本题图中墙壁和水平栏杆都是光滑的，细杆斜靠在其间。在什么角度下细杆才能平解；N2sin N2cosN BEmg(lAB)N BEABsin,AB

Rsind(0 2

倾角为m1R的圆柱体。有一细绳绕在此圆柱体的Tm2gfRTRNmgcos

或tg cosf

当圆拄下滚时，（fTm2ga2Rvc,vcaca

c2(msin2m cmgsinTfma

2g0sin 1 111

3m1 (fT)R

mR2121ABA、B处所受的力。NBcosNANl sinNl

l1mg

9609.8N2N2

2.4212解： 2.4212

1.8m,ml2l2l l2

mg

9609.815680NNAml的细棒，用一无摩擦的铰链连结成人字形，支撑于一光滑的30，问细棒滑倒时，铰链碰地的速度多大。 mg2sin30mg2cos2vc2I vc2lsin

1ml

v上v

1lsin

32当铰链落地时，32 设思考题4-20中 系绳处的距离为l．求 M

Tcos

m(lLsin)Tsin

I2绳子与铅垂线所成的夹角由下述方程给出

m

gl

0x方向运动。求(1)初相位；(2)t=0.5s时，物体的位置、速度和加速度；(3)x=-0.6cmx方向运动时，物体的速度和加速度。00（1）x(t)Acos(t0

A

T

2/T.radsx(t)12cos(t当t0

60

12

2x x

3

或3x(t

3

(t

262 v(t)x(t)12sin(t

333

a(t)v(t)

3t0.5

(0

122

5)6

v(0

12sin(2

5)618.8 a(0

1222

5)632102.6 s(3)612cos(t5)cos(t5)1cos(22)t

3

332.6cm

122cos(5)6259.2sx=cos(t+)，试作出初相位0、/3、/2、-/3x-t解：当0时 x当时3当时2

xcos(t)3xcos(t)2

tt'3tt'1xsin2当时3

xcos(t)3

tt'3解：

1(t

Acos(2t

)Acos2T

Acos(2t

A T

3

A t'T

tt'3

Acos(2t

A T

3

A T

',tt'3s．求(1)振幅和周期；(2)t=0时所受的作用力；(3)解

mA

2T22

5.rad

s150sin(5ts2

s

f

0.25150E1m2A210.255262 U解:设进入U形管的液体质量为 为,管的截面积为s,液体总长L总2L2h (PP)s

a 运动方程为{PA[POg(Lhy)]}ss(LhLPg(Lhy)sPss(Lh s(2L2hl)asL总amamy my2gsyommm2Lm2Lg2L2hT

解

1kx21

x21(kk)x

U''

k 2 2

dEpdEpk1mmU0TmU0

mk1mk1

解：mgkx

x

mxmg

x)

即x

x kmkm

xAcos(t

x(t0)x0Acos0

0v vg55 (g55

0Asin

A

x0m

25

14rads

v

7 x855cos(14t)cos(14t)1cos2(14t1cos2(14t

v(x3cm)Asin(14t)145(0.8)56cmkmkm n

m

m3

'mmg4mg

45 l=100cmm=10.0g，开始时处在平衡位置。(1)若给(2)Ft是向左的，则初相位为多少（1）

0)

Ft10.0gl gl设

),

vl'l0sin(t0 00cos

由vv0l0sin

v0

13.19101（2）Ft向左，则初相位为 解：考虑最简单的情形，重物原先不被托盘，它从高h处落到盘底时的速度为

，与托盘发生完全弹性碰撞后的速度为

Mmo

M

M

Mgk

mgk

xM

MmgxM

kM(Mm)x(Mm)gk(xxMmo)kMmM作简谐振动，圆频率

,xAcos(t0x(t0)xmoAcos

振幅A11 (M vM初相位0

0(M0若单摆的振幅为0mg(1+2)0gl 解：设0cos(t0)则0sin(t0 gl2Tmgcosm2l

Tmgcosml22sin2(t

)mgcosml2gsin2(t0mg[cos2

0 T的单摆挂在小车里，车从斜面上无摩擦地滑下，单摆的周lglglg

ml

ftmgcossinmggcosl

Tggl

T0,

解：[受力分析法

31mgsin3ml

mgg gllggllg 周期为T

EU31mgl(1cos)

U'mgl令0U

''mglmU0lgU0U有极小值也是最小值，故体系是在mU0lgU0dd dx

mgll2

mg

U

T

m的相同圆柱。将此系统加以左右扰动后，圆柱上下都只滚不滑。这系统作简谐振动吗?周期是多少?解：[受力分析法 ff

r12

3mr3m

1mr1m上上

f下）rIc

II

1mr2Mx2kx2

2kx3mx(M3m)x2kx上MM3m/

M3m/周期是TM3m/E1kx21kx21(2k)x

即相当于劲度系数为2kk c2动能c2

M2

2

mv2c12c1

I2

1(M3m)

M

3m

vcr M3m/

2T

M3mM3m/2l（1） 对o2点，Mg(lx)

lx

Nlx

Mxff(NN)(lxlx)Mg

l lxgxl

（2）

Mx

f2

Mgxl

xgxl竖直悬挂的弹簧振子，若弹簧本身质量不可忽略，试推导其周期Mm/kT2 Mm/k ，广州，中山大学 考题分析（三）——近似处理，大学物理，19833281本题以文献[2]MMx（.2右图中的平衡位置为原点向下为正x，则弹簧+2

物体的动能为

1M

.Oxy

v(y)l0l

'

（xy无关2(y

(

l

ll''x

(l

ll' 1'x)3 则 平方的平均值为v2 1

0 v2dy

0 y2dy

k弹簧

2(y

m6三个质量为m的质点和三个劲度系数为k的弹簧串联在一起，在光滑的水平圆周 m 1

ksdt

1a1

m 2

sacsin(t),

1a2 dt

m m

m 3ksks2ks dt m1 m1由：1

1

2

m（1）10a1a2m

要求AA

n,p

Aaaa

（Ⅰ）

对2

0,

12-a3121对3a1232323（Ⅱ）

,a2a3231212sin,a231212

2cos

1sin,a12 12616

12cos12

1sin6616

3:

cos,

sin

cos,

sin

2，4255 a1

a1当4

（Ⅱ） 对

:

对

22

a1a2a30故此时2,3的简正模类似：两质点（13）2或(12)31(b。但此处的三个质点均不同步。当如变为质点

3)

作相对扭动。当取值

0,2

,

2

33.0cm10s1.0cm

Aet1

t1

1ln31ln

t

ln

10ln10

440Hz4.0s1/5Q值ss解：

2v2440880rad

声强I10I5A20I5A

c2AAet

AAet'

t't4s

1(Ab)2e2(t't) ln51ln

Q10

6.87

2ln5/kmk和阻尼因数km解：m

v0

02v0km252

s249.3N

（劲度系数0.02 T

2424

0.01/s

2200.0224弹簧振子的固有频率为2.0Hz，现施以振幅为100dyn谐变力，使发生0.0224 220F解：v0 220F

02v04

F

Amax

2m2m 220

5

kg5s5s

FF100dyn103gsgs=

Acos(t4

x2

3Acos(t34

x

A2(和振动的振幅A2(

3A 3 和振动的初相位72 区

xAsinyB

x（2）yAsinx解

yB

1.为一正椭圆xAcos(t yB

2

x

即0.2xA x(2)yBcos(t),

yB

1,

2

,0 t

30A

45

60

t

30

45

602223

(1)

2

,22

(2)

2y

3B

2B

y0,B

2B

10较v标256Hz,标2v标512radst20s较

202s

设,标标

513

设,较较

511

解：纵

N横纵

NN纵纵N纵(a)

4

63

3 (d

4

6

(f

3 已知平面简谐波在t=0时刻的波形如本题图所示，x方向t=T/4、T/2、3T/4u-xx=0、x1、x2、x3u-t (1)u(x,t)Acos[2txT2 T2 ux,t0ASin

TACos T

ux,44

3T

ux,t

2

ux,t

4

u0,

T

,x

ux ,t

,x

ux ,t2

,x

ux

,t

,x 本题图为t=0时刻平面简谐波的波形，波朝负x方向，波速为v=330m/s。试写出u(x,t)的表达式。解：uxtACos[2T

x)

20.1

A=0.001m

2v23303300rad/

k

10/ ux,t0

x

x

x/ACos

0 ASin

ACos 2 2 x)]=0.001Cos(3300t10x

设有一维简谐波u(x,t)2.0cos2 x，式中x、u的单位为cm，t的 30 sx=10cm解：ux,t2.0Cos[2 x]ACos[2

x 30

对比之 振幅 cv100303000cm

v1T

x=10cmux10cmx

2t2,此时的初相位为

'22.0Cos 3

写出振幅为A、频率为v、波速为c、朝正x方向的一维简谐波的表达式2vuxtACos[tx]ACos[2v(txc c cv1cv1

33016.5m

2cv2cv

20

1.65102率范围(c=3×108m/s)。解：对紫光1

7.51014对红光: ∴可见光的频率范围为:7.51014 3.951014k有两个角频率1(k)和2(k)m>>m’1(k)

sinmm

声频支 2(k)

AA光频支m′相比，m几乎不动。d解:m nk(u

u)

u

)k(u

u'

d

num' udt

u'n1)k(u'n1

)

un

~j(tnka设nn~~(x设nn

,t)Aej(tkxn)

jt(n1ka

,(t)A'ejtkxn1)(A'

令2k,'2k(3)、(4)式代入(1)、(2)

~22coska~'

0) 2 ka

2 0ka0

A(222)A'

k ha11(k){k(m

)

)2k2

]22

k ha1

2(k){k(m

)

)2k2

]221(k)

k[1m1

1(11

114m'cos2kam2ka讨论:当m>>m’时

k m

mm

m

2

ka

ka k m

m

)22

(声频率2

ka2(k)

k m

m

m

2

ka将(9)式代入(5)(4)式,AA

,即m、m’的振动同相位,将(10)式代入(5)(6)式(22k(

2cos2

~m'

ka.m,m’的振动反相位,m’相比,m

A' 动A0AOA、角频率O5/4O点两边合解:d5 d25/45 u(x0,t)Acos(t) u(x,t)Acos[(tx)

u(x,t)Acos[(tx)

.(以O点为x轴原点无半波相位突变u

c

O点左边u

2Asin(t

sinx.t波腹位置:x2x(n1)n=0,1,2…x(n1x,3,5 2 波节位置x2xnx0,1,2xn,x0,

2Asin[(tc

)

2

Acos[(tx)2d]Acos[(tx)] O点左边u

2Acos(t

cosx.是驻波c波腹位置x2xnxnn0,1,2x0,, 波节位置:x2x(n1x(n1

0,1,2x,3, 2 2x

O点右边uu'u2Acos[(tu2cos[(txc

0.是一振幅加倍的行波.如设00在固定端有入射简谐波的表达式为u(xt)Acos2txx=0T4 T4

u(x,t)Acos[2(tx)

因在x=0 u(x,t)Acos[2(tx) 设入射波为u(xt)Acos2

xx=0解:O点为原点,向右为x轴正向,则 Acos[2(

x)

Acos[2(

x)

c2002m u甲(x0,t0Acosu(x20,t0)Acos(210

)Acos

Acos

u Acos[2(tx)]Acos[2(

是驻波2Asin

tT

x2Asin

tsinxABnxnxx=0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,17,18,19,2021个点在同一直线上相向的两列同频同幅的波甲波在A