数媒教学技能大赛

泰勒级数将函数展开成幂级数作者：黄吉碟专业：数字媒体技术学号：140705010010将函数展开成幂级数12泰勒级数上一节主要讨论幂级数的收敛域及和函数。反问题：给定一个函数

f

(

x)

,能否找到一个幂级数，它在某区间上收敛，而其和函数恰是

f

(

x)

.若能找到这样的幂级数，则称函数f(x)在该区间上能展开成幂级数。将函数展开成幂级数(1)nk

=0nf

(

k

)

(

x

)

0

k

!(

x

-

x

)

+

R

(

x)=030

nf

(

n+1)

(x)n+1

.(

x

-

x

)(n

+

1)!n其中

R

(

x)

=ξ是位于x0、x之间的某个值。0000nTaylor公式如果函数f(x)在含有x0的某开区间(a,b)内有直至n+1阶的导数，则对(a

，b)内任一点x，有f

(

x)

=

Pn

(

x)

+

Rn

(

x)f

(n)(x

)n!=

f

(x

)

+

f

¢(x

)(x

-

x

)

++

0

(x

-

x

)n

+

R

(x)40(2)近似表示f

(x)时，nk

=0kf

(

k

)

(

x

)

0

k

!(

x

-

x

)n若以P

(x)=误差为|Rn（x）|

。如果函数

f（x）在含有x0的某开区间（a

，b）内各阶导数都存在，则Pn(x)的项可无限增加,

得一幂级数：0

0

0

0f

(

x

)

+

f

¢(

x

)(

x

-

x

)

+

+

0

(

x-

x )n

+

(3)n!f

(

n)

(

x

)幂级数（3）称为函数f(x)的泰勒级数。f

(

x)

=

Pn

(

x)

+

Rn

(

x)0nk

=0nf

(

k

)

(

x

)

0

k

!(

x

-

x

)

+nR

(

x)=5理：设函数f(x)在点x0的某一邻域U(x0)内具有lim

Rn

(

x)

=

0

(

x

˛

U

(

x0

))nfi

¥将函数展开成幂级数定各阶导数,则f(x)在该邻域内能展开成泰勒级数的充要条件是f(x)的泰勒公式中的余项Rn（x）当nfi

¥时的极限为0，即:60证明函数f(x)在U(x0)上能展开成泰勒级数，即f

(

x)

=

f

(

x0

)

+

f

¢(

x0

)(

x

-

x0

)

+

f

(

n)

(

x

)+

0

(

x

-

x

)n

+(4)n!对一切x

˛

U(x0)成立。0sn

+1

(

x

)

=

f

(

x0

)

+

f

¢(

x0

)(

x

-

x0

)

+

f

(

n)

(

x

)n!+

0

(

x

-

x )n

fi

f

(

x)Rn

(

x)

=

f

(

x)

-

sn+1

(

x)

fi

02!

n!f

(

n)

(0)x

2

+

xn

+

(5)f

¢(0)f

(0)

+

f

¢(0)

x

+级数（5）称为函数f(x)的麦克劳林级数。定理8.7 (唯一性)nn

0a

(

x

-

x

)即

f

(

x)

=如果函数f

(x)在Ud

(x0

)内具有任意阶导数,且在Ud

(x0

)内能展开成(x

-x0

)的幂级数,¥n=0，则展开式唯一，其系数

a

=n!710f

(

x

)

(n

=

0,1,2,)(

n)n在（3）式中若取x0=0,得：n+10(

x

-

x

)

+

nf

(

n)

(

x)

=

n!a

+

(n

+

1)n3

2a令

x

=

x0

,

即得n!810f

(

x

) (n

=

0,1,2,)(

n)a

=n1

20

n

0f

¢(

x)

=

a

+

2a

(

x

-

x

)

+

+

na

(

x

-

x

)n-1

+

逐项求导任意次,得泰勒系数证明0内收敛于f

(x),即nn

0da

(

x

-

x

)

在u

(

x

)¥n=0f

(

x)

=

a

+

a

(

x

-

x

)

+

+

a

(

x

-

x

)n

+

0

1

0

n

0\f

(x)的关于（x

-x0

)展开式是f

(x)的泰勒级数.f

(

n)

(0)9其中a0

=

f

(0),a1

=

f

¢(0),a2

=f

¢(0),an

=2!n!即f(x)的关于x

的幂级数就是麦克劳林级数。0若f

(x)能展成x的幂级数(取x=0),即f

(

x)

=nna

x

,¥n=01

直接法：具体步骤如下：求f(x)的各阶导数。求f(x)的各阶导数在x=0（x=x0)处的值。写出f(x)所对应的幂级数，即麦克劳林（或泰勒）级数：f

(0)

+

f¢(0)

x

+102!

n!f

¢(0)

f

(

n)

(0)x

2

+

xn

+

并求出其收敛半径R。函数展开成幂级数的方法和步骤（iv）在（

-R,R）内考察：lim

Rn

(x)是否为零nfi

¥若为零，则在（

-R,R）内有nx

+f

(n)(0)n!2!f

¢(0)f

(

x)

=

f

(0)

+

f

¢(0)

x

+

x

+2将f

(x)=e

x展开成x的幂级数f

(

n)(

x)

=

e

x

(n

=

1,2)

f

(

n)

(0)

=

1(n

=

1,2)得

f(x)

的麦克劳林级数：1

+

x

+

1

x

2

+

1

xn

+

2!

n!它的收敛半径为R

=+¥11例1解n+1n(n

+

1)!|

R

(

x)

|=

xex对任何有限的x,

ξ (ξ是位于

0、x之间的某个值)(n

+

1)!|

x

|n+1£

e|x|

因为级数¥n=0|

x

|n+1(n

+

1)!=

0nfi

¥

(n

+

1)!收敛，所以lim|

x

|n+1(n

+

1)!|

x

|n+1

lim

e|

x|nfi

¥x

˛

(-¥,

¥

)nfi

¥

=0

即lim

Rn

(x)=0得展开式：x

˛

(-¥,+¥)12=

1

+

x

+

1

x

2

+

1

xn

+

2!

n!e

x将f

(x)=e

x展开成x的幂级数例1将f

(x)=sin

x展开成x的幂级数(n

=

1,2)2f

(

n)

(

x)

=

sin(

x

+

n

p

)得f(x)的麦克劳林级数：+

-

+

(-1)x

2n-1n-1

(2n

-

1)!3!

5!x

3

x

5x

-

+它的收敛半径为R=+¥对任何有限的x,ξ(ξ是位于0、x之间的某个值）。n+1]

2

(n

+

1)!(n

+

1)psin[x

+n|

R

(

x)

|=x|x

|n+113(n

+

1)!£

fi

0例2解+

(2n

-

1)!3!

5!x

3

x

5x

2n-1n-1

得展开式：sin

x

=

x

-

+

-

+

(-1)x

˛

(-¥,+¥)注（1）注意区别：（2）直接法的缺点：计算量大，余项的研究往往很困难。f(x)的泰勒级数任意阶可导的函数都有此级数f

(0)

+

f

¢(0)

x

+2!

n!f

¢(0)

f

(

n)

(0)x2

+

xn

+将函数展开成x的幂级数214n2!

n

!f

¢(0)

f

(

n

)

(0)f

(

x

)

=

f

(0)

+

f

¢(0)

x

+

x+

x

+

+3!

5!sin

x

=

x

-

+

-

+

(-1)n-1

(2n

-1)!x

˛

(-¥,+¥)2

间接法：（理论依据：展开式的唯一性）方法（i）利用一些已知函数的幂级数展开式。（ii）利用幂级数的运算（四则，逐项求导，逐项积分）（iii）变量代换。例3

将f

(

x)

=

cos

x展开成x的幂级数x3

x5

x2n-1上式两端对x求导（右端逐项求导）得解+

x

˛

(-¥,+¥)152!

4!(2n)!cos

x

=

1

-

+x

2

x

4

x

2n-

+

(-1)n

将f

(x)=ln(1

+x)展开成x的幂级数1

+

xf

¢(

x)

=

[ln(

1

+

x)]¢=1将上式从0到x逐项积分：例4解11

-

x=

1

+

x

+

x2

+

x3

+

+

xn

+(|

x

|<

1)11

+

x=

1

-

x

+

x2

-

x3

+

+

(-1)n

xn

+(|

x

|<

1)ln(1

+

x)

=

x

-2

316x2

x3xn+1+

-

+

(-1)n

+易知收敛域为(-1,1]n

+

1注：逐项积分逐项微分不改变收敛区间，但可能改变区间端点的收敛情况。将f

(x)=arctan

x展开成x的幂级数1

+

x21f

¢(

x)

=

[arctan

x]¢=(|

x

|<

1)=

1

-

x

2

+

x

4

-

+

(-1)n

x

2n

+

将上式从0到x

逐项积分：例5解+

(|

x

|£

1)3

5 2n

+

1x

3

x

5

x

2n+1narctan

x

=

x

-

+ -

+

(-1)1171

-

x=

1

+

x

+

x2

+

x3

+

+

xn

+(|

x

|<

1)18(-1

<

x

-

1

£

1)解=

(

x

-

1)

-2

3(

x

-

1)2

(

x

-

1)3(

x

-

1)n+1n

+

1+

-

+

(-1)n

+x

ln

x

=

(1

+

(

x

-

1))ln(1

+

(

x

-

1))nn例6

将f

(

x)

=

x

ln

x在x0

=

1处展开成幂级数¥分析：展开成f

(x)=a

(x

-1)

类型n=1ln

x

=

ln(1

+

(

x

-

1))(

x

-

1)2(

x

-

1)3=

(1

+

(

x

-

1))[(

x

-

1)

-23n

+

1(

x

-

1)n+1+

(-1)n

+]+-19-

n

-

1(-1)n-2++

((-1)n-1(

x

-

1)3-(

x

-

1)2x

ln

x

=

(

x

-

1)

+n)(

x

-

1)

+

n62=n

-

1

n(n

-

1)(-1)n-2

（-

1）n+n(-1)n-1n当n

‡

2时，(

x

-

1)

的系数为(0

<

x

£

2)(

x

-

1)n(n

-

1)(-1)nx

ln

x

=

(

x

-

1)

+¥n=2nx

ln

x(

x

-

1)2(

x

-

1)3(

x

-

1)n+1=

(1

+

(

x

-

1))[(

x

-

1)

-23n

+

1+

(-1)n

+]+-20注 应熟记下列函数的幂级数展开式：1

-

x1=

1

+

x

+

x2

+

+

xn

+

|

x

|<

1=

1

-

x

+

x

2

-

x

3

+

+

(-1)n

xn

+

(|

x

|<

1)11

+

x¥n=0xn+1n

+

1nln(1

+

x)

=

(-1)+

(-1

<

x

£

1)m为任意实数。2

3

n

+

1xn+1x

2

x

3=

x

-

+

-

+

(-1)n2!(1

+

x)m

=

1

+

mx

+

m(m

-

1)

x2

++

m(m

-

1)(m

-

n

+

1)

xn

+|

x

|<

1n!¥n=0x

2n(2n)!ncos

x

=

(-1)+

(-¥

<

x

<

+¥)(2n)!2!

4!=

1

-

+x

2n-

+

(-1)n

x

2

x

4x2n-1n=1¥n-1

(2n

-

1)!sin

x

=

(-1)11=

1

+

x

+x

˛

(-¥

,

+¥

)2!n!x2

+xnxn

+¥n=0

n!e

x

=

x2n-121+

(-¥

<

x

<

+¥

)3!

5!x3

x5(2n

-

1)!-

+

(-1)n-1

=

x

-

+展开成x

-1的幂级数例7

将f

(

x)

=x2

+

4

x

+

31(

x

+

1)(

x

+

3)1x

2

+

4

x

+

31因为f

(x)==11-=4228(1

+

x

-

1)12(1

+

x) 2(3

+

x)124(1

+

x

-

1)-=解分析：展开成f

(x)=nna

(x

-1)

类型¥n=1+

+n

(

x

-

1)n-

+

(-1)=

4