结构力学之位移法

结构力学之位移法第1页，课件共91页，创作于2023年2月基本构件要求:熟练背诵形常数和载常数,并能正确画出相应的弯矩图和剪力图三类基本构件由杆端单位位移引起的杆端弯矩和剪力.三类基本构件在荷载作用下的杆端弯矩和剪力形常数载常数7-1等截面直杆的形常数和载常数第2页，课件共91页，创作于2023年2月结点转角、杆轴弦转角：顺时针为正。符号剪力：以绕隔离体顺时针转动为正。杆端弯矩：绕杆端顺时针为正、绕结点逆时针为正。★★第3页，课件共91页，创作于2023年2月1形常数1AB4i2iAB6i/lAB1AB6i/l6i/lAB12i/l2AB第4页，课件共91页，创作于2023年2月3iAB1AB3i/lAB1AB3i/lAB3i/l2AB第5页，课件共91页，创作于2023年2月1ABiiABABABABA1B第6页，课件共91页，创作于2023年2月2载常数qql2/12ql2/12ql/2ql/2ABABABFPFPl/8l/2l/2FPl/8FP/2FP/2ABABAB第7页，课件共91页，创作于2023年2月lt1t2ABABABqABql2/85ql/83ql/8ABAB第8页，课件共91页，创作于2023年2月FPl/2l/2AB3FPl/16AB11FP/165FP/16ABlt1t2ABABAB第9页，课件共91页，创作于2023年2月qlABql2/3ql2/6ABqlABFPl/2l/2AB3FPl/8FPl/8ABFPAB第10页，课件共91页，创作于2023年2月lFPABFPl/2FPl/2ABFPABt1t2lABABAB第11页，课件共91页，创作于2023年2月1AB1AB1AB1AB1AB第12页，课件共91页，创作于2023年2月FPl/2l/2ABqABqABFPl/2l/2ABqlABFPl/2l/2ABlFPAB第13页，课件共91页，创作于2023年2月7-2位移法基本概念Δ1qΔ1iC例AiBqllΔ1q一、基本概念第14页，课件共91页，创作于2023年2月解③MBA=4iΔ1

MBC=3iΔ1-ql2/8∑MB=0MBA+MBC=07iΔ1-ql2/8=0Δ1=ql2/56i④MAB=2iΔ1=

ql2/28MBA=4iΔ1=ql2/14MBC=-ql2/14

⑤M图ql2/14

ql2/28

5ql2/56

2iΔ14iΔ1ql2/83iΔ1②AB①BCqΔ1Δ1第15页，课件共91页，创作于2023年2月总结

1）将结构化成独立的单跨超静定梁；

2）基本未知量：结点独立位移；

3）基本方程：结构局部隔离体的平衡方程。第16页，课件共91页，创作于2023年2月二、基本未知量的选取2、结构独立线位移：

1、结点角位移数：结构上可动刚结点数即为位移法计算的结点角位移数。(1)梁式杆——不计轴向变形Δ1Δ2Δ3Δ2Δ1Δ3Δ4EI

EI

E1I1=∞

EI

Δ1Δ2第17页，课件共91页，创作于2023年2月(2)桁架杆——不计轴向变形EIEA(3)桁架杆——计轴向变形Δ2Δ1Δ3Δ5Δ4(4)弹性支座EIkΔ1E1A1=∞

EA

EIEIEIEIΔ1Δ2第18页，课件共91页，创作于2023年2月7-3位移法Ⅰ——直接平衡法1无侧移结构【例题】

试做图示刚架的弯矩图。各杆EI相同，i=EI/6。

FP=20kN，q=2kN/m。q3m3m6mFPACB【解】B点转角位移Δ1（1）基本未知量BAΔ1FPBCΔ1q第19页，课件共91页，创作于2023年2月（2）写出杆端弯矩（3）利用隔离体的平衡方程求结点位移。解得取B点为隔离体，建立B点的力矩平衡方程BAΔ1FPBCΔ1qB第20页，课件共91页，创作于2023年2月16.7211.5715.853.21M图（kNm）（4）将结点位移代回杆端弯矩表达式。（5）按照区段叠加法作出弯矩图第21页，课件共91页，创作于2023年2月q=20kN/mA4m4m6m5m4mBCDEF4I05I04I03I03I0【例题】

试做图示刚架的弯矩图。各杆E相同。B点顺时针转角位移Δ1（1）基本未知量C点顺时针转角位移Δ2解第22页，课件共91页，创作于2023年2月（2）写出杆端弯矩设EI0=1q=20kN/mA4m4m6m5m4mBCDEF4I05I04I03I03I0第23页，课件共91页，创作于2023年2月q=20kN/mA4m4m6m5m4mBCDEF4I05I04I03I03I0第24页，课件共91页，创作于2023年2月（3）建立隔离体平衡方程，求基本未知量解（a）和（b），得第25页，课件共91页，创作于2023年2月（4）求杆端弯矩3.443.546.91.74.899.824.514.7M图(kNm)（5）按照区段叠加法作出弯矩图第26页，课件共91页，创作于2023年2月2有侧移结构C、B点水平位移Δ1【解】（1）基本未知量（2）杆端弯矩由杆端弯矩求得杆端剪力试做图示刚架的弯矩图。各杆E相同。AE1A=∞lBCDqii【例题】第27页，课件共91页，创作于2023年2月（3）建立隔离体平衡方程，求基本未知量FQCAFQDB（4）求杆端弯矩M图★有侧移的题一定用到由弯矩求剪力（5）按照区段叠加法作出弯矩图第28页，课件共91页，创作于2023年2月C、D点水平位移Δ2【解】（1）基本未知量（2）杆端弯矩试做图示刚架的弯矩图。各杆EI相同，i=EI/4。【例题】D点的转角位移Δ1A4mBCD20kN/m4m2m30kN30kNABCD20kN/m60kNm30kN第29页，课件共91页，创作于2023年2月由杆端弯矩求得杆端剪力（3）建立隔离体平衡方程，求基本未知量FQCAFQDB30第30页，课件共91页，创作于2023年2月（4）求杆端弯矩（5）按照区段叠加法作出弯矩图M图(kNm)第31页，课件共91页，创作于2023年2月§7-4位移法Ⅱ——典型方程法一、超静定结构计算的总原则:

欲求超静定结构先取一个基本结构,然后让基本结构在受力方面和变形方面与原结构完全一样。

力法的特点：基本未知量——多余未知力；基本结构——静定结构；基本方程——位移条件（变形协调条件）

位移法的特点：基本未知量——

基本结构——

基本方程——

独立结点位移平衡条件？一组单跨超静定梁第32页，课件共91页，创作于2023年2月基本结构

为了使原结构变成独立的单跨超静定梁，在原结构结点上加上附加约束（刚臂、支链杆），使其变成固定端或铰支端。这样，原结构就变成了若干个单跨超静定梁的组合体——基本结构。第33页，课件共91页，创作于2023年2月Ah=4mCq=3kN/mi2iBDil=8m★★如果基本体系与原结构发生相同的结点位移，则附加约束上的约束反力一定等于零。q=3kN/mF1≡0Δ1Δ2基本体系F2≡0基本结构二、选择基本体系第34页，课件共91页，创作于2023年2月k11k212i4i6i图（1）Δ1=1单独作用时，附加约束的反力k11、k21。k11=10ik21=-6i/h=-1.5i★附加刚臂上的约束力以顺时针为正。

★附加链杆上的约束力以读者规定的方向为正6i/hk21k114i6i三、建立基本方程第35页，课件共91页，创作于2023年2月k12k226i/h6i/h3i/h图（2）Δ2=1单独作用时，附加约束的反力k12、k22。k12=-6i/h=-3i/2k22=15i/h2=15i/1612i/h23i/l2k22k126i/h第36页，课件共91页，创作于2023年2月F1PF2P（3）荷载单独作用时，附加约束的反力F1P、F2P。MP图F1P=qh2/12=4qh/2F2P=-qh/2=-6F2PF1Pqh2/12qh2/12qh2/12第37页，课件共91页，创作于2023年2月将三种情况下的附加约束反力叠加，得位移法方程为位移法方程的物理意义★★

基本结构在荷载和结点位移作用下，附加约束反力等于零将求得的系数和自由项代入方程，得系数自由项第38页，课件共91页，创作于2023年2月将三种情况下的弯矩图叠加M图(kNm)4.4213.625.69四、计算结点位移五、绘制弯矩图第39页，课件共91页，创作于2023年2月典型方程法的解题步骤（1）选择基本结构（2）建立位移法方程（3）求系数和自由项，解方程，求基本未知量（4）利用叠加原理，作弯矩图第40页，课件共91页，创作于2023年2月k111+k122+

··········+k1nn+F1P=0

k211+k222+··········+k2nn+F2P=0

··································kn11+kn22+

··········+knnn+FnP=0

121=1k11k21k12k222=1k11×0+k21

×1

k21=k12=k12

×1+k22

×0kij=kji具有n个独立结点位移的超静定结构：反力互等定理第41页，课件共91页，创作于2023年2月7-5无侧移刚架的计算k11=6i例1q

il

ilqΔ1Δ1=13i3i①基本体系解k11Δ1+F1P=0②位移法方程③求系数、解方程k113i3i第42页，课件共91页，创作于2023年2月F1Pql2/8MP图ql2/8F1P=-

ql2/8Δ1=-F1P/k11=ql2/48iM图ql2/163ql2/32⑤第43页，课件共91页，创作于2023年2月思考题:图示结构是否可把C处的转角φC也作为基本未知量计算？①基本体系解②位移法方程k11Δ1+k12Δ2

+F1P=0k21Δ1+k22Δ2

+F2P=0③求系数、解方程k11=8i

k12=k21=2ik22=4iΔ1Δ2Δ1=14i4i2i2iΔ2=14i2iqllABC第44页，课件共91页，创作于2023年2月④ql2/14ql2/28位移法的基本结构不唯一!!ql2/12ql2/12F1P=-ql2/12F2P=ql2/12Δ1=3l2/14iΔ2=3l2/14i

第45页，课件共91页，创作于2023年2月例2EI=常数

①基本体系解②位移法方程k11Δ1+F1P=0③求系数、解方程k11=11ik114i3i4iΔ1=13i4i2i4i2iA

B

D

E

C

q

l

l

l

△1第46页，课件共91页，创作于2023年2月F1P=

ql2/24Δ1=-F1P/k11=-ql2/264iF1Pql2/12ql2/85/4413/1325/661/661/132⑤ql2/8ql2/12ql2/12第47页，课件共91页，创作于2023年2月例3EI=常数i=EI/l

①基本体系解②位移法方程k11Δ1+F1P=0③求系数、解方程k11=5ik11i4iΔ1l

l

MΔ1=1i4i2ii第48页，课件共91页，创作于2023年2月MΔ1=-F1P/k11=M/5i⑤F1P=-

MF1PM4M/5M/5

M/52M/5只有结点集中力偶作用时，MP图=0，F1P≠0第49页，课件共91页，创作于2023年2月例4EI=常数,i=EI/4

①基本体系解②位移法方程k11Δ1+k12Δ2

+F1P=0k21Δ1+k22Δ2

+F2P=0③求系数、解方程k11=12ik118i4i20kN/m

4m2m2m

4m

2EI

2EI

EI

EI

40kN

10kNm

Δ1=14i2i8i4ik21=4ik214iΔ2Δ1第50页，课件共91页，创作于2023年2月Δ2=18i6i4i2i4i26.730k12=4ik124ik22=18ik218i6i4iF2P=-3.3F2P26.730F1P=-36.7F1P26.710第51页，课件共91页，创作于2023年2月Δ1=3.2/iΔ2=-0.54/i④结点集中力偶对MP图没有影响；对FiP有影响。13.33.3336.62.21.135.2第52页，课件共91页，创作于2023年2月已知弹簧刚度K=12EI/l，试求梁的弯矩图。qEIEIll基本结构解（1）选择基本结构（2）建立位移法方程7-6

有侧移刚架的计算例1（有弹性支座时的计算）第53页，课件共91页，创作于2023年2月k11图（3）求系数和自由项，解方程Kk11F1PF1P图将系数和自由项代入方程，求得第54页，课件共91页，创作于2023年2月（4）作弯矩图讨论第55页，课件共91页，创作于2023年2月例2①基本体系解②位移法方程k11Δ1+F1P=0l

l

i

i

Pi

i

EA=∞

Δ1Δ1=13i/l3i/l3i/l3i/l③求系数、解方程k113i/l23i/l2k11=12i/l23i/l23i/l2第56页，课件共91页，创作于2023年2月PΔ1F1PF1P=-PPΔ1=Pl2/12i只有结点集中力作用时，

MP图=0，F1P≠0④Pl/4Pl/4Pl/4Pl/4第57页，课件共91页，创作于2023年2月例3①基本体系解②位移法方程k11Δ1+k12Δ2

+F1P=0k21Δ1+k22Δ2

+F2P=0③求系数、解方程4m

2i

2i

i

2m

2m

20kN/m

Δ1Δ23i

Δ1=14i

4i

8i

k11=19ik113i8i8ik21=012i/212i/2k21第58页，课件共91页，创作于2023年2月Δ1Δ2=112i/2

12i/2

12i/2

k22=12i6i6ik12=0k1212i/2

12i/2

k22Δ110

10

10

Δ2F1P=0F2P=-60F1P303010

10

F2P第59页，课件共91页，创作于2023年2月Δ1=0

Δ2=5/i④40

40

20

第60页，课件共91页，创作于2023年2月例4各杆EI=常数i=EI/l①基本体系解②位移法方程k11Δ1+k12Δ2

+F1P=0k21Δ1+k22Δ2

+F2P=0③求系数、解方程Δ1Δ2k21=06i/lk216i/l2i

2i

Δ1=1Δ24i

4i

3i

k11=11i3i4i4ik11l

l

l

M第61页，课件共91页，创作于2023年2月Δ2=1Δ16i/l6i/l3i/l3i/l6i/lk22=30i/l212i/l2k2112i/l23i/l23i/l2F2P=0F2PΔ2Δ1MF1P=-MF1PMk12k12=06i/l6i/l第62页，课件共91页，创作于2023年2月Δ1=M/11iΔ2=0④2M/11

4M/11

4M/11

3M/11

第63页，课件共91页，创作于2023年2月例5

①基本体系解②位移法方程k11Δ1+k12Δ2

+F1P=0k21Δ1+k22Δ2

+F2P=0③求系数、解方程l

l

l

P

P

EI→∞

EI→∞

i

i

i

i

Δ1Δ2Δ26i/l6i/l6i/lΔ1=16i/lk11=24i/l212i/l212i/l2k11k21=-24i/l2k2112i/l212i/l2第64页，课件共91页，创作于2023年2月k12=-24i/l212i/l212i/l2k12k22=48i/l2k2212i/l212i/l212i/l212i/l26i/l6i/l6i/lΔ16i/lΔ2=16i/l6i/lΔ1Δ2PPF1P=-PF2P=-PPP第65页，课件共91页，创作于2023年2月Pl/2Pl/2PlPlΔ1=3Pl2/24iΔ2=Pl2/12i④第66页，课件共91页，创作于2023年2月k216i/l6i/lk21=04i4i3ik11=11i①基本体系解③求系数、解方程②位移法方程k11Δ1+k12Δ2

+F1P=0k21Δ1+k22Δ2

+F2P=0Δ2lllΔ1=13i4i4iΔ2Δ1lllqq例6第67页，课件共91页，创作于2023年2月F1P=-ql2/8F1Pql2/12ql2/12ql2/8F2PF2P=-qlql/2ql/2k12=06i/l6i/lk12k2212i/l2k22=30i/l212i/l23i/l23i/l2Δ2Δ1ql2/12ql2/12ql2/12ql2/8Δ2=1Δ16i/l6i/l6i/l第68页，课件共91页，创作于2023年2月Δ1=ql2/88iΔ2=ql3/30i

④101ql2/330107ql2/66047ql2/66043ql2/1654ql2/44ql2/10ql2/10第69页，课件共91页，创作于2023年2月7-7对称结构的计算（取半边结构同力法）PPMMQN对称结构在对称荷载作用下变形是对称的，其内力图的特点是：对称结构在反对称荷载作用下变形是反对称的，其内力图的特点是：利用这些特点，可以取结构的一半简化计算。NQ第70页，课件共91页，创作于2023年2月一、单数跨(1)对称荷载Δ1F1Pk11iBE2iAB4iABMPM1k11Δ1+F1P=0(2)反对称荷载PPABCDEΔ1Δ2Δ3ABEl/2P反弯点ABΔ3Δ1ABEl/2q第71页，课件共91页，创作于2023年2月二、偶数跨(1)对称荷载qqCCM=Q=0PPIN=0PP反弯点P无限短跨+PP(2)反对称荷载第72页，课件共91页，创作于2023年2月①取半边结构，基本体系解②位移法方程k11Δ1+F1P=0qllqΔ1半边结构2i2i例1第73页，课件共91页，创作于2023年2月F1P=-ql2/12F1Pql2/12k11=4i2ik112i③求系数、解方程Δ1=ql2/48iΔ1ql2/12ql2/24Δ1=12i2i第74页，课件共91页，创作于2023年2月④ql2/24ql2/24ql2/24ql2/24第75页，课件共91页，创作于2023年2月Δ1q

i2

2i1

①基本体系:取半边结构解②位移法方程k11Δ1+F1P=0例2l

l

q

i1

i2

i2

ABC第76页，课件共91页，创作于2023年2月③求系数、解方程k11=4i1+2i2k112i1

4i2Δ1=ql2/12(4i2+2i1)F1P=-ql2/12k11ql2/12

Δ1=14i22i22i1

BΔ1ql2/12

ql2/24

BA第77页，课件共91页，创作于2023年2月讨论：ql2/8ql2/24ql2/12ql2/12第78页，课件共91页，创作于2023年2月ql2/8ql2/12ql2/12错在哪里？第79页，课件共91页，创作于202