材料力学第6章弯曲变形

DEPARTMENT

OF

ENGINEERING

MECHANICS

KUST第六章弯曲变形齿轮轴的变形6.1

工程中的弯曲变形问题梁式起重机的变形卡车弹簧片的变形可以较大。6.2

挠曲线的微分方程由于横向力作用在对称面内，因此弯曲变形也发生在此平面内。任意横截面都将绕中性轴产生一转角，变形后梁的轴线变为平面曲线.平面弯曲情况，梁的轴线变形为平面曲线——称作挠曲线.挠曲线的曲率与弯矩之间的关系与纯弯曲时相同，即1

＝

Mr

EI挠曲线y变形后横截面位置的改变称作位移.有三种位移：横截面形心的垂直位移，记作w；截面绕中性轴的旋转角，记作θ；横截面形心的水平位移，通常很小，可忽略不计.挠曲线y挠度w:轴上任一点（横截面形心）在y方向上的位移，记作w(有的书上也记作y,v).沿y正方向为正，反之为负.转角θ:变形后横截面的位置与变形前位置之间的夹角，逆时针方向为正，反之为负，也称作倾角或倾斜角.因此，轴上任一点的位移可用挠度w和转角θ表示.转角也是x轴和挠曲线切线之间的夹角，因此在Oxw坐标系中有如下关系:dxdw

=

tanq挠曲线ydxdw

=

tanq考虑小变形假设，实际上变形很小以至于挠曲线近乎水平，在此条件下:tanq

»qdxdw

=

q显然，θ

是挠曲线的斜率.挠曲线y挠曲线方程:横截面的挠度w是位置x的函数.w＝

w（x)转角方程:

在小变形假设的条件下，转角q很小，可近似为

:q

»

tanq

=

w

=

w

x)这表明挠曲线在某一点的斜率可用该点横截面的转角q表示.3/

21d

2

wdx2r=

dw

2

1

+

dx

1r

(x)

EIZM

(x=经数学推导，可得如下公式：对于纯弯曲状态，曲率方程为：1

=

Mr

EIz对于横力弯曲状态(忽略剪力FQ

),曲率方程为:3/

221dx2=r

dw

1

+

dx

zd

2

w M

(

x)dx2

EI=

–称为挠曲轴近似微分方程.这里正负号根据挠度w的方向而定.

dw

21

+

dx

»

1

21d

2

wr

(x)

dx»

–ZM

(xd

2

wdx2EI»

–根据小变形假设,因此:

于是：

d

2

w

dx

<<

1

dw

2zd

2

w M

(

x)dx2

EI=dx

2d

2

w>

0,

M

>

0dx

2d

2

w<

0,

M

>

0zd

2

w M

(

x)dx2=

-EI在我们选定的坐标系中，挠曲轴微分方程的最终形式为d

2

wEI

=

M

(

x)dx2这里C和D

是积分常数.

它们可由梁的边界条件（位移限制）和连续性条件确定.挠曲线方程转角方程d

2

w6.3

用积分法求弯曲变形对于等截面梁,微分方程可写为:EI

=

M

(

x)dx2对方程积分一次可得dxEI

dw

=

EIq

=

M

(

x)dx

+

C两次积分可得EIw

=

[

M

(

x)dx]dx

+

Cx

+

DAA~~A~A~A~边界条件连续性条件AL

ARq

=qAw

=0wA=0qA

=

0wA=ΔD-弹簧变形wAL=wARwAL=wAR在确定了常数C和D之后，可以很容易地得到梁的转角方程和挠曲线方程，也就能够计算任意横截面的转角和挠度。FA梁的刚度条件w

£

[w]max可从相应的设计规范或手册中查得。q

maxw]许用挠度£

[q]许用转角q]Ox例6-1

写出挠度和转角方程，并计算最大挠度wmax.y2M

(x)

=

-

1

q

(l

-

x)2(0

£

x

£

l

)xM(x)FQ(x)解:

1.

建立

Oxy

坐标系.2.

写出梁的弯矩方程:(

)212M

(x)

=-q l

-

x(0

£

x

£

l

)3.

写出挠曲线微分方程并对其进行积分.a)

挠曲线的近似微分方程为:2d

2

w

1EI

=

M

(

x)

=

-

q(l

-

x)dx2

2对方程进行两次积分可得转角方程EI

dw

=

EIq

=

1

q(l

-

x)3

+

Cdx

6挠曲线方程24EIw

=

-

1

q(l

-

x)4

+

Cx

+

Dx

=

0，w

=

0dxx

=

0，q=

dw

=

0固定端的位移限制:5.挠曲线方程和转角方程为:EI

dw

=

EIq

=

1

q(l

-

x)3

+

Cdx

64.

计算积分常数24EIw

=

-

1

q(l

-

x)4

+

Cx

+

D6C

=

-

1

ql324D

=

1

ql424EIq[(l

-

x)4

+

4l3

x

-

l

4

]w

=

-6EIqq

=

[(l

-

x)3

-

l3

]6.

计算最大挠度wmax.由挠曲线方程可知，wmax

位于梁的自由端.当x

=l时，(顺时针方向)24EIw

=

-

q

[(l

-

x)4

+

4l3

x

-

l

4

]6EIq[(l

-

x)3

-

l3

]q

=ql

4wB

=-8EI

(向下)8EIql

4=wmax

=

wBB6EIql3maxq

=

q

=ql3qB

=

-

6EIy积分方法计算梁的位移的主要步骤:选择适当的坐标系;写出弯矩方程M(x);建立挠曲线近似微分方程:对方程进行积分，根据梁的边界条件和连续性条件确定积分常数，写出挠曲线方程和转角方程;计算梁的位移的最大值.d

2

wEI

=

M

(

x)dx2FaaaEICABxyFM

x)=

-Fx0

£

x

£

a)解:坐标系如图所示,应该指出的是，当梁受非连续性载荷作用时，梁的弯矩方程应分段给出.例6-2:

悬臂梁如图所示，用积分法计算A点的挠度wA和转角qA.对于AC段有:xx近似微分方程为积分两次可得a

£

x

£

2a)对于CB段有M

x)=

-Fx

+

FadxEI

=

M

(

x)

=

-Fx

12

d

2

w

1212dwEIFx

+

C=

-

dx

11

13116Fx

+

C

x

+

DEIw

=

-xFaaaFEICABxxy近似微分方程积分常数C1、D1和C2、D2根据梁的边界条件和连续性条件确定.积分两次可得dxEI

=

M

(

x)

=

-Fx

+

Fa

22

d

2

w

22=

-

1

Fx2

+

Fax

+

C

dx

2EI

dw

2

22321216Fax

+

C x

+

DFx

+EIw

=

-位移边界条件:当x=2a时2

2w

=

w

=

0连续性条件:当x=a时w1

=

w2；w1

=

w2于是有FaaaEICABxxyF

x

2

223Fa3C

=

0

D

=

-222Fa

+

FaFa

+

C1

=

--

12333132312121616FaFa

-Fa

++

D1

=

-Fa

+

C

a-因此最后(向下)(逆时针方向)1C

=

Fa23176FaD

=

-dxdwFx2

Fa212EI

EI+q=

1

=

-EI

6EI7Fa3Fx3

Fa2

x-w1

=

-

6EI

+7Fa3wA

=

w1

x=0

=

-

6EIFa2qA

=q1

x=0

=

EI2C

=

03223FaD

=

-dxdw2EI

EIFx2

Faxq2

=

2

=

-

+Fx3

Fax2

2Fa3w2

=

-

6EI

+

2EI

-

3EI0

£

x

£

a)AC段:a

£

x

£

2a)CB段：各段之间的连续性条件对于确定积分常数是必须的；需注意梁上各段变量x的范围。(1)

如果梁被分成两段，将有4个积分常数，积分常数的数量是分段数的两倍；注意i

表示任意单独载荷.w=Σwiθ=Σθi6.4

用叠加法求弯曲变形在一些工程手册中，将梁在某些简单载荷作用下的变形列表表示，此表称为变形表。叠加法：当梁上同时作用几个载荷时，可分别求出每个载荷单独引起的变形，把所得变形叠加即为这些载荷共同作用引起的变形。例6-3

对于如下简支梁，请计算挠度wC

和转角θB

，q、l和EI为已知。wC

=

wC1

+

wC

2

+

wC

3qB

=qB1

+qB

2

+qB3解:1.有三个载荷作用的梁可以被看作是各载荷单独作用时的三个梁的叠加。因此www2.查变形表可得ql3qB1

=

24EI5ql

4wC1

=

-

384EIwwwql

4wC

2

=

-

48EIql

4wC

3

=

16EIql3qB

2

=

16EIql3qB3

=

-

3EI3.

将以上结果叠加，可以得到截面C的挠度和截面B的转角。11ql4wC

=

wCi

=

384EI11ql3qB

=

qBi

=

-

48EIAlaBBCFABFAB例6-4

外伸梁受载荷如图所示，试用叠加法计算外伸端C截面的挠度。解:

将梁按支座形式分成两段，研究每一段的变形时将另一段视作刚体。AB段：BC段视作刚体。Cw2qBFaB3EI=

FalqFa2lw1

=

qBa

=

3EIFa3BC

段：AB段视作刚体。w2

=

3EI3EIFa2wB

=

w1

+

w2

=

(l

+

a)Cw1F逐段分析求和法：ABBCFl

a对于变形表中没有的形式（如外伸梁等），将其分解成已有的形式（如简支梁、悬臂梁）。分段进行分析。当以某一段为研究对象时，其余各段均视为刚体。求解静不定问题的一般内容建立并解平衡方程变形协调关系方程力-位移关系方程6.5

简单超静定梁3-3=04-3=1lMAABFAyFAxq超静定梁ABFBMAFAyFAxq已知：梁的EI

,q

和l.