2021年安徽省蚌埠市固镇县任桥职业中学高三数学理模拟试题含解析

2021年安徽省蚌埠市固镇县任桥职业中学高三数学理模拟试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.设集合A＝{x|1＜x＜4}，B＝{x|x2－2x－3≤0}，则A∩(RB)＝（

）A．(1，4)

B．(3，4)

C．(1，3)

D．(1，2)参考答案：B略2.用反证法证明命题“若

（a,bR）

则a,b不全为0,其反设正确的是（）

A.a,b至少有一个为0

B.a,b至少有一个不为0C.a,b全部不为0

D.a,b全部为0参考答案：D3.下列函数中，既是奇函数又存在极值的函数是(

)A．

B．

C．

D．参考答案：B

【知识点】利用导数研究函数的极值；函数奇偶性的性质．B4B12解析：由选项可知，A选项单调递增（无极值），C、D选项不是奇函数，只有B选项既为奇函数又存在极值．故选B．【思路点拨】根据奇函数、存在极值的条件，即可得出结论．4.若某程序框图如图所示，则该程序运行后输出的B等于(

)．

(A)7

(B)15

(C)31

(D)63

参考答案：D5.已知角终边与单位圆的交点为，则（

）

A.

B.

C.

D.1参考答案：A6.如图程序框图所示的算法来自于《九章算术》，若输入a的值为16，b的值为24，则执行该程序框图的结果为（）A．6 B．7 C．8 D．9参考答案：C【考点】程序框图．【分析】模拟程序的运行，根据程序流程，依次判断写出a，b的值，可得当a=b=8时，不满足条件a≠b，输出a的值为8，即可得解．【解答】解：模拟程序的运行，可得a=16，b=24满足条件a≠b，不满足条件a＞b，b=24﹣16=8，满足条件a≠b，满足条件a＞b，a=16﹣8=8，不满足条件a≠b，输出a的值为8．故选：C．【点评】本题考查的知识点是循环结构，当循环次数不多时，多采用模拟循环的方法，本题属于基础题．7.设表示不大于实数x的最大整数，函数，若有且只有5个零点，则实数a的取值范围为（）A.(－∞,－e] B.(－∞,－e) C.(－∞,－1] D.(－∞,－1)参考答案：D【分析】首先令，再画出及在上的图象，即可判定x>0时的交点个数，再把x<0时方程整理成，结合单调性即可求出a的取值范围.【详解】当时，令，，由，得，，解得，作出及在上的图象.如图，可知有个交点，其横坐标分别为，，，则当时，函数有1个零点，令，则，，结合题意知，解得，且，解得，函数在区间上单调递增，在区间上单调递减，又因为,故，故当时，，由零点存在性定理可得函数在区间上有一个零点，若函数有5零点，则,故选D.【点睛】本题主要考查了由函数的零点个数求解参数的取值范围，其中解答中正确作出函数图像，把函数的零点问题转化为两个函数的图象的交点问题，结合图象求解是解答关键，着重考查了数形结合思想，以及转化思想的应用，属于中档试题.8.函数的定义域为（

）A.

B.

C.

D.参考答案：C略9.一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A．4π B．6π C．8π D．16π参考答案：A【考点】由三视图求面积、体积．【分析】由题意，直观图是两个垂直相交的圆柱组合体，其体积等于以1为半径的圆为底，3+1为高的圆柱的体积，即可得出结论．【解答】解：由题意，直观图是两个垂直相交的圆柱组合体，其体积等于以1为半径的圆为底，3+1为高的圆柱的体积，即π?12?4=4π，故选A．10.已知函数，若对任意的恒成立，则实数的取值范围是（

）A．

B．

C.

D．参考答案：B∵∴对任意的x∈[1，2]，f′（x）?x+f（x）＞0恒成立?对任意的x∈[1，2]，恒成立，?对任意的x∈[1，2]，2x2﹣2tx+1＞0恒成立，?t＜恒成立，又g（x）=x+在[1，2]上单调递增，∴，∴t＜．故选：B．

二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.设f（x）是定义在R上的函数，且满足f（x+2）=f（x+1）﹣f（x），如果f（1）=lg，f（2）=lg15，则f（2017）=

．参考答案：﹣1【考点】抽象函数及其应用．【专题】计算题；函数思想；综合法；函数的性质及应用．【分析】由已知条件推导出f（x）是一个周期为6的函数，所以f=f（6×336+0）=f（0），利用已知条件求解即可．【解答】解：（1）f（1）=lg，f（2）=lg15，∴f（3）=f（2）﹣f（1）=lg15﹣（lg3﹣lg2）=lg5+lg2=1，f（4）=f（3）﹣f（2）=1﹣lg15，f（5）=f（4）﹣f（3）=1﹣lg15﹣1=﹣lg15，f（6）=f（5）﹣f（4）=﹣lg15﹣（1﹣lg15）=﹣1，f（7）=f（6）﹣f（5）=﹣1+lg15=lg，∴f（x）是一个周期为6的函数，∴f（2017）=f（6×336+1）=f（0），f（2）=f（1）﹣f（0），∴f（0）=f（1）﹣f（2）=lg﹣lg15=lg=﹣1，故答案为：﹣1．【点评】本题考查抽象函数的应用，函数值的求法，解题时要认真审题，注意函数的周期性和对数性质的灵活运用．12.某学校三个社团的人员分布如下表(每名同学只参加一个社团)：

声乐社排球社武术社高一4530a高二151020学校要对这三个社团的活动效果里等抽样调查，按分层抽样的方法从社团成员中抽取30人，结果声乐社被抽出12人，则a=

。参考答案：略13.（5分）（2012?汕头一模）在△ABC中，如果（a+b+c）?（b+c﹣a）=3bc，则角A等于．参考答案：60°考点：余弦定理．专题：计算题．分析：首先对（a+b+c）?（b+c﹣a）=3bc化简整理得b2+c2+﹣a2=bc代入余弦定理中即可求得cosA，进而求得答案．解答：（a+b+c）?（b+c﹣a）=（b+c）2﹣a2=b2+c2+2bc﹣a2=3bc∴b2+c2+﹣a2=bc∴cosA==∴∠A=60°故答案为60°点评：本题主要考查了余弦定理的应用．解题的关键是求得b2+c2+﹣a2与bc的关系．14.如图,已知树顶A离地面米，树上另一点B离地面米，某人在离地面米的C处看此树，则该人离此树

米时，看A、B的视角最大

参考答案：615.已知集合，，则___

__．参考答案：16.如图3，是圆的直径，、是圆的切线，切点为、，．则

．

参考答案：略17.已知菱形的边长为，，点分别在边上，，.若，则的值为___________.参考答案：2略三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.如图，四棱锥P—ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥底面ABCD，PA=AB=1，AD=，点F是PB的中点，点E在边BC上移动．（1）求三棱锥E－PAD的体积；（2）点E为BC的中点时，试判断EF与平面PAC的位置关系，并说明理由；（3）证明：无论点E在BC边的何处，都有PE⊥AF．参考答案：（1）解：∵PA⊥底面ABCD，∴PA⊥AD，∴三棱锥E－PAD的体积为．…………4分

（2）当点E为BC的中点时，EF与平面PAC平行.∵在△PBC中，E、F分别为BC、PB的中点，∴EF//PC又EF平面PAC，而PC平面PAC∴EF//平面PAC.…9分

（3）证明：∵PA⊥平面ABCD，BE平面ABCD，∴EB⊥PA.又EB⊥AB，AB∩AP=A，AB，AP平面PAB，∴EB⊥平面PAB，又AF平面PAB，∴AF⊥BE.又PA=AB=1，点F是PB的中点，∴AF⊥PB，

又∵PB∩BE=B，PB，BE平面PBE，∴AF⊥平面PBE.∵PE平面PBE，∴AF⊥PE.……14分略19.已知,且.（1）求a的值；（2）证明:存在唯一的极小值点,且.(参考数据:)参考答案：（1）；（2）详见解析.【分析】（1）求出定义域，设，等价于.由，，得求出的导数，求出的值，利用导数验证是的极大值点，从而验证，符合题意；（2）由（1）知，求导得.设，利用二次求导，可以知道在上有唯一零点；又，所以在上有唯一零点.可以判断出是的唯一极小值点.由，得，故，由（1）知.令，，则，可以求出，结论得证.【详解】解：（1）的定义域为.设，则，等价于.因为，，所以而，，得.若，则，当时，，单调递增；当时，，单调递减；所以是的极大值点，故.

综上，.（2）由（1）知，.设，则，，令，得.当时，，单增；当时，，单减；又因为，，，所以在上有唯一零点；又，所以在上有唯一零点.于是当时，，时，，时，.因为，所以是的唯一极小值点.由，得，故，由（1）知.令，，则，当时，，所以在上单调递减，.所以，结论得证.【点睛】本题考查了利用导数研究函数极值问题，关键是通过构造新函数，通过对新函数进行求导，研究它的单调性，得到新函数的最值情况，从而证明出本题.20.已知数列{an}，从中选取第i1项、第i2项、…、第im项(i1<i2<…<im)，若，则称新数列为{an}的长度为m的递增子列．规定：数列{an}的任意一项都是{an}的长度为1的递增子列．（Ⅰ）写出数列1，8，3，7，5，6，9的一个长度为4的递增子列；（Ⅱ）已知数列{an}的长度为p的递增子列的末项的最小值为，长度为q的递增子列的末项的最小值为.若p<q，求证：<；（Ⅲ）设无穷数列{an}的各项均为正整数，且任意两项均不相等.若{an}的长度为s的递增子列末项的最小值为2s–1，且长度为s末项为2s–1的递增子列恰有2s-1个（s=1，2，…），求数列{an}的通项公式．参考答案：(Ⅰ)1,3,5,6.(Ⅱ)见解析；(Ⅲ)见解析.【分析】(Ⅰ)由题意结合新定义的知识给出一个满足题意的递增子列即可；(Ⅱ)利用数列的性质和递增子列的定义证明题中的结论即可；(Ⅲ)观察所要求解数列的特征给出一个满足题意的通项公式，然后证明通项公式满足题中所有的条件即可.【详解】(Ⅰ)满足题意的一个长度为4的递增子列为：1,3,5,6.(Ⅱ)对于每一个长度为的递增子列，都能从其中找到若干个长度为的递增子列，此时，设所有长度为的子列的末项分别为：，所有长度为的子列的末项分别为：，则，注意到长度为的子列可能无法进一步找到长度为的子列，故，据此可得：(Ⅲ)满足题意的一个数列的通项公式可以是，下面说明此数列满足题意.很明显数列为无穷数列，且各项均为正整数，任意两项均不相等.长度为的递增子列末项的最小值为2s-1，下面用数学归纳法证明长度为s末项为2s-1的递增子列恰有个：当时命题显然成立，假设当时命题成立，即长度为k末项为2k-1的递增子列恰有个，则当时，对于时得到的每一个子列，可构造：和两个满足题意的递增子列，则长度为k+1末项为2k+1的递增子列恰有个，综上可得，数列是一个满足题意的数列的通项公式.注：当时，所有满足题意的数列为：，当时，数列对应的两个递增子列为：和.【点睛】“新定义”主要是指即时定义新概念、新公式、新定理、新法则、新运算五种，然后根据此新定义去解决问题，有时还需要用类比的方法去理解新的定义，这样有助于对新定义的透彻理解.但是，透过现象看本质，它们考查的还是基础数学知识，所以说“新题”不一定是“难题”，掌握好三基，以不变应万变才是制胜法宝.

21.设函数f（x）=sin2x+2sinxcosx+3cos2x（Ⅰ）若x∈R，求函数f（x）的最小正周期（Ⅱ）在△ABC中，a，b，c分别是内角A、B、C的对边，若bsinA=accosB，求f（B）的值．参考答案：考点：三角函数中的恒等变换应用；三角函数的周期性及其求法；余弦定理．专题：三角函数的求值；三角函数的图像与性质；解三角形．分析：（Ⅰ）首先通过三角恒等变换，把函数关系式变形成正弦型函数，进一步利用公式求出函数的最小正周期．（Ⅱ）利用正弦定理，首先求出角B的值，进一步利用函数的关系式求出结果．解答： 解：（Ⅰ）f（x）=sin2x+2sinxcosx+3cos2x=sin2x+2cos2x+1=sin2x+cos2x+2=，所以函数的最小正周期为：；（Ⅱ）在△ABC中，a，b，c分别是内角A、B、C的对边，若bsinA=acosB，利用正弦定理得：，所以：，整理得：，由于：0＜B＜π，则：B=；f（B）===．点评：本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换，正弦型函数的性质周期性的应用，正弦定理得应用，及相关的运算问题．属于基础题型．22.（本题满分12分）

已知数列的前项和为，向量,,满足条件,且.（I）求数列的通项公式；（II）设函数，数列满足条件，(i)求数列的通项公式；(ii)设，求数列的前和.参