广东省汕头市谢易初中学高三数学文联考试题含解析

广东省汕头市谢易初中学高三数学文联考试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.设是正实数，以下不等式

（）

①，②，③，④

恒成立的序号为

(A)①、③

(B)①、④

(C)②、③

(D)②、④参考答案：D2.若执行右侧的程序框图，当输入的x的值为4时，输出的y的值为2，则空白判断框中的条件可能为（）A．x＞3 B．x＞4 C．x≤4 D．x≤5参考答案：B【考点】EF：程序框图．【分析】方法一：由题意可知：输出y=2，则由y=log2x输出，需要x＞4，则判断框中的条件是x＞4，方法二：采用排除法，分别进行模拟运算，即可求得答案．【解答】解：方法一：当x=4，输出y=2，则由y=log2x输出，需要x＞4，故选B．方法二：若空白判断框中的条件x＞3，输入x=4，满足4＞3，输出y=4+2=6，不满足，故A错误，若空白判断框中的条件x＞4，输入x=4，满足4=4，不满足x＞3，输出y=y=log24=2，故B正确；若空白判断框中的条件x≤4，输入x=4，满足4=4，满足x≤4，输出y=4+2=6，不满足，故C错误，若空白判断框中的条件x≤5，输入x=4，满足4≤5，满足x≤5，输出y=4+2=6，不满足，故D错误，故选B．3.已知向量，满足，“”是“”的（

）A．必要不充分条件

B．充分不必要条件

C.充要条件

D．既不充分也不必要条件参考答案：B若，则，即.故“”是“”的充分不必要条件.

4.下列函数图象中不正确的是

（

）参考答案：D因为根据函数的定义可知，对于任意的自变量x，都有一个唯一的值与其相对应，那么可知选项A符合，选项B符合，选项C，利用关于x轴对称变换得到符合，选项D，应该是偶函数，所以不成立，故选D5.已知抛物线y2=4x，过其焦点F的直线l与抛物线分别交于A、B两点（A在第一象限内），=3，过AB的中点且垂直于l的直线与x轴交于点G，则三角形ABG的面积为（）A．B．C． D．参考答案：C【考点】抛物线的简单性质．【分析】由抛物线焦点弦的性质及向量的坐标运算，求得直线的倾斜角，求得直线AB的方程，代入抛物线方程，利用求得丨AB丨及中点E，利用点斜式方程，求得G点坐标，利用点到直线的距离公式及三角形的面积公式求得三角形ABG的面积．【解答】解：作出抛物线的准线l：x=﹣1，设A、B在l上的射影分别是C、D，连接AC、BD，过B作BE⊥AC于E．∵=3，则设丨AF丨=3m，丨BF丨=m，由点A、B分别在抛物线上，结合抛物线的定义，得丨AC丨=3m，丨BD丨=m．因此，Rt△ABE中，cos∠BAE==，得∠BAE=60°∴直线AB的倾斜角∠AFx=60°，得直线AB的斜率k=tan60°=．则直线l的方程为：y=（x﹣1），即x﹣y﹣=0，设A（x1，y1），B（x2，y2），则，整理得：3x2﹣10x+3=0，则x1+x2=，x1x2=1，则y1+y2=（x1﹣1）+（x2﹣1）=，=，∴AB中点E（，），则EG的方程的斜率为﹣，则EG的方程：y﹣=﹣（x﹣），当x=0时，则y=，则G（，0），则G到直线l的距离d==，丨AB丨=x1+x2+p=，则S△ABG=×丨AB丨?d=××=，故选C．【点评】本题考查抛物线的简单几何性质，考查直线与抛物线的位置关系，韦达定理，中点坐标公式，焦点弦公式，考查数形结合思想，属于中档题．6.执行如图所示的程序框图，输出的结果为20，则判断框中应填入的条件为

A．a≥5?

B．a≥4?

C．a≥3?

D．a≥2?参考答案：B7.在△ABC中，“A＞60°”是“”的（）A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件参考答案：B【考点】充要条件；正弦函数的单调性．【分析】结合三角形的内角范围及三角函数的性质，我们判断出“A＞60°”?“”与“”?“A＞60°”的真假，再结合充要条件的定义，即可得到答案．【解答】解：若“A＞60°”成立，则A可能大于120°，此时“”不一定成立，即“A＞60°”?“”为假命题；在△ABC中，若“”，则60°＜A＜120°，即“A＞60°”一定成立，即“”?“A＞60°”为真命题；故“A＞60°”是“”的必要而不充分条件故选B【点评】本题考查的知识是充要条件及正弦函数的单调性，其中判断出“A＞60°”?“”与“”?“A＞60°”的真假，是解答本题的关键．8.已知x>0、y>0，x、a、b、y成等差数列，x、c、d、y成等比数列，则的最小值是（） A．0

B．1

C．2

D．4参考答案：D略9.在△ABC中，内角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，若bsinA﹣acosB=0，且b2=ac，则的值为(

) A． B． C．2 D．4参考答案：C考点：正弦定理；三角函数中的恒等变换应用；余弦定理．专题：解三角形．分析：先由条件利用正弦定理求得角B，再由余弦定理列出关于a，c的关系式，然后进行合理的变形，求得的值．解答： 解：△ABC中，由bsinA﹣a?cosB=0，利用正弦定理得sinBsinA﹣sinAcosB=0，∴tanB=，故B=．由余弦定理得b2=a2+c2﹣2ac?cosB=a2+c2﹣ac，即b2=（a+c）2﹣3ac，又b2=ac，所以4b2=（a+c）2，求得=2，故选：C．点评：本题考查正弦定理、余弦定理得应用．解题先由正弦定理求得角B，再由余弦定理列出关于a，c的关系式，然后进行合理的变形，求得的值，属于中档题．10.如图，有一直角墙角，两边的长度足够长，在处有一棵树与两墙的距离分别是米、4米，不考虑树的粗细．现在想用米长的篱笆，借助墙角围成一个矩形的花圃．设此矩形花圃的面积为平方米，的最大值为，若将这棵树围在花圃内，则函数的图象大致是（

）

参考答案：C二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.设数列的前项和为，且，为等差数列，则的通项公式____________.参考答案：12.若，，，则

.参考答案：13.等差数列的前n项和为,,,当取最小值时,n等于.参考答案：614.已知函数，（，.若,且函数的图像关于点对称，并在处取得最小值，则正实数的值构成的集合是

.参考答案：15.（本小题满分13分）已知函数.（Ⅰ）当为何值时，无极值；（Ⅱ）试确定实数的值，使的极小值为.参考答案：（1）（2）

略16.已知函数的定义域为部分对应值如下表，为的导函数，函数的图象如右图所示：

-2

04

1-11

若两正数满足，则的取值范围是_____________.参考答案：略17.某个线性方程组的增广矩阵是，此方程组的解记为，则行列式的值是_.参考答案：三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.设函数f（x）=﹣a2lnx+x2﹣ax（a∈R）．（1）试讨论函数f（x）的单调性；（2）如果a＞0且关于x的方程f（x）=m有两解x1，x2（x1＜x2），证明x1+x2＞2a．参考答案：【分析】（1）求出函数的导数，通过讨论a的范围求出函数的单调区间即可；（2）得，把=代入（*）式，令，得只需证．令（0＜t＜1），根据函数的单调性证明即可．【解答】解：（1）由f（x）=﹣a2lnx+x2﹣ax，可知=．因为函数f（x）的定义域为（0，+∞），所以，①若a＞0，则当x∈（0，a）时，f'（x）＜0，函数f（x）单调递减，当x∈（a，+∞）时，f'（x）＞0，函数f（x）单调递增；②若a=0，则当f'（x）=2x＞0在x∈（0，+∞）内恒成立，函数f（x）单调递增；③若a＜0，则当时，f'（x）＜0，函数f（x）单调递减，当时，f'（x）＞0，函数f（x）单调递增．（2）要证x1+x2＞2a，只需证．设g（x）=f'（x）=﹣，因为，所以g（x）=f'（x）为单调递增函数．所以只需证，即证，只需证．（*）又，，所以两式相减，并整理，得．把=代入（*）式，得只需证，可化为．令，得只需证．令（0＜t＜1），则=，所以φ（t）在其定义域上为增函数，所以φ（t）＜φ（1）=0．综上得原不等式成立．【点评】本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及不等式的证明，考查转化思想以及换元思想，是一道综合题．19.某高校在2013年自主招生考试成绩中随机抽取100名学生的笔试成绩，按成绩分组：第1组[75，80)，第2组[80，85)，第3组[85，90)，第4组[90，95)，第5组[95，100]得到的频率分布直方图如图所示．(1)分别求第3，4，5组的频率；(2)若该校决定在笔试成绩较高的第3，4，5组中用分层抽样抽取6名学生进入第二轮面试。(ⅰ)已知学生甲和学生乙的成绩均在第三组，求学生甲和学生乙恰有一人进入第二轮面试的概率；(ⅱ)学校决定在这已抽取到的6名学生中随机抽取2名学生接受考官L的面试，设第4组中有名学生被考官L面试，求的分布列和数学期望.参考答案：解：(1)

第三组的频率为0.065=0.3；第四组的频率为0.045=0.2；第五组的频率为0.025=0.1.

……3分(2)(ⅰ)设“学生甲和学生乙恰有一人进入第二轮面试”为事件A,第三组应有3人进入面试则:

P(A)=

……6分(ⅱ)第四组应有2人进入面试，则随机变量可能的取值为0,1,2.

…………7分且，则随机变量的分布列为:X012P

……10

略20.（本题满分14分）等边三角形的边长为,点、分别是边、上的点,且满足(如图甲).将△沿折起到△的位置,使二面角成直二面角,连结、(如图乙).(1)求证:平面；（2)在线段上是否存在点,使直线与平面所成的角为?若存在,求出的长,若不存在,请说明理由.参考答案：证明:(1)因为等边△的边长为3,且,所以,.…1分在△中,,由余弦定理得.…3分因为,所以.折叠后有.……4分因为二面角是直二面角,所以平面平面.又平面平面,平面,,所以平面.…………………7分(2)解法1:假设在线段上存在点,使直线与平面所成的角为.………8分如图1,作于点,连结、.……9分由(1)有平面,而平面,所以.………10分又,所以平面.所以是直线与平面所成的角.………11分设,则,.在△中,,所以.在△中,,.

由,得.解得,满足,符合题意.…………………13分所以在线段上存在点,使直线与平面所成的角为,此时.………………………14分解法2:由(1)的证明,可知,平面.以为坐标原点,以射线、、分别为轴、轴、轴的正半轴,建立空间直角坐标系如图2…………8分设,则,,.所以,,.所以.…………9分因为平面,所以平面的一个法向量为.ks5u因为直线与平面所成的角为,所以,解得.………………12分即,满足,符合题意.…………13分所以在线段上存在点,使直线与平面所成的角为,此时.……………………14分21.已知函数f（x）=log3（ax+b）的图象经过点A（2，1）和B（5，2），记an=3f（n），n∈N*（1）求数列{an}的通项公式；（2）设，Tn=b1+b2+…bn，若Tn＜m（m∈Z），求m的最小值；（3）求使不等式≥对一切n∈N*，均成立的最大实数p．参考答案：考点：数列与函数的综合；数列与不等式的综合．专题：计算题．分析：（1）先由函数f（x）=log3（ax+b）的图象经过点A（2，1）和B（5，2），求出a，b，进而求得函数f（x）的解析式，即可求出数列{an}的通项公式；（2）用错位相减法求出Tn的表达式即可求出对应的m的最小值；（3）先把原不等式转化为恒成立，再利用函数的单调性求不等式右边的最小值即可求出最大实数p．解答： 解：（1）由题意得，解得，∴f（x）=log3（2x﹣1）（2）由（1）得，∴①②①﹣②得=，∴，设，则由得随n的增大而减小，Tn随n的增大而增大．∴当n→+∞时，Tn→3又Tn＜m（m∈Z）恒成立，∴mmin=3（3）由题意得恒成立记，则∵F（n）＞0，