高考数学第二轮复习-专题升级训练26-解答题专项训练(解析几何)专题升级训练卷(附答案)-文

PAGE5-专题升级训练26解答题专项训练(解析几何)1．已知m∈R，直线l：mx－(m2＋1)y＝4m和圆C：x2＋y2－8x＋4y(1)求直线l斜率的取值范围；(2)直线l能否将圆C分割成弧长的比值为eq\f(1,2)的两段圆弧？为什么？2．已知⊙C：x2＋(y－1)2＝5，直线l：mx－y＋1－m＝0.(1)求证：对m∈R，直线l与圆C总有两个不同交点A，B；(2)求弦AB中点M的轨迹方程，并说明其轨迹是什么曲线？3．在平面直角坐标系xOy中，记二次函数f(x)＝x2＋2x＋b(x∈R)与两坐标轴有三个交点，经过三个交点的圆记为C.(1)求实数b的取值范围；(2)求圆C的方程．4．已知椭圆C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)的左焦点为F(－1,0)，离心率为eq\f(\r(2),2).(1)求椭圆C的方程；(2)设过点F且不与坐标轴垂直的直线交椭圆C于A，B两点，线段AB的垂直平分线与x轴交于点G，求点G横坐标的取值范围．5．已知两点A，B分别在直线y＝x和y＝－x上运动，且|AB|＝eq\f(4\r(5),5)，动点P满足2eq\o(OP,\s\up6(→))＝eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(OB,\s\up6(→))(O为坐标原点)，点P的轨迹记为曲线C.(1)求曲线C的方程；(2)过曲线C上任意一点作它的切线l，与椭圆eq\f(x2,4)＋y2＝1交于M，N两点，求证：eq\o(OM,\s\up6(→))·eq\o(ON,\s\up6(→))为定值．6．若λ＞0，点A的坐标为(1,1)，点B在抛物线y＝x2上运动，点Q满足eq\o(BQ,\s\up6(→))＝λeq\o(QA,\s\up6(→))，经过点Q与x轴垂直的直线交抛物线于点M，点P满足eq\o(QM,\s\up6(→))＝λeq\o(MP,\s\up6(→))，求点P的轨迹方程．7．已知平面内一动点P到点F(1,0)的距离与点P到y轴的距离的差等于1.(1)求动点P的轨迹C的方程；(2)过点F作两条斜率存在且互相垂直的直线l1，l2，设l1与轨迹C相交于点A，B，l2与轨迹C相交于点D，E，求eq\o(AD,\s\up6(→))·eq\o(EB,\s\up6(→))的最小值．8．设圆C与两圆(x＋eq\r(5))2＋y2＝4，(x－eq\r(5))2＋y2＝4中的一个内切，另一个外切．(1)求C的圆心轨迹L的方程；(2)已知点Meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3\r(5),5)，\f(4\r(5),5)))，F(eq\r(5)，0)，且P为L上动点，求||MP|－|FP||的最大值及此时点P的坐标．

参考答案1．解：(1)直线l的方程可化为y＝eq\f(m,m2＋1)x－eq\f(4m,m2＋1)，直线l的斜率k＝eq\f(m,m2＋1)，因为|m|≤eq\f(1,2)(m2＋1)，所以|k|＝eq\f(|m|,m2＋1)≤eq\f(1,2)，当且仅当|m|＝1时等号成立．所以斜率k的取值范围是eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，\f(1,2))).(2)不能．由(1)知直线l的方程为y＝k(x－4)，其中|k|≤eq\f(1,2).圆C的圆心为C(4，－2)，半径r＝2.圆心C到直线l的距离d＝eq\f(2,\r(1＋k2)).由|k|≤eq\f(1,2)，得d≥eq\f(4,\r(5))＞1，即d＞eq\f(r,2).从而，若l与圆C相交，则圆C截直线l所得的弦所对的圆心角小于eq\f(2π,3).所以l不能将圆C分割成弧长的比值为eq\f(1,2)的两段圆弧．2．解：(1)圆心C(0,1)，半径r＝eq\r(5)，则圆心到直线l的距离d＝eq\f(|－m|,\r(1＋m2))＜1，∴d＜r.∴对m∈R，直线l与圆C总有两个不同的交点A，B.(2)设中点M(x，y)，因为l：m(x－1)－(y－1)＝0恒过定点(1,1)，∴kAB＝eq\f(y－1,x－1)，又kMC＝eq\f(y－1,x)，kABkMC＝－1，∴eq\f(y－1,x－1)·eq\f(y－1,x)＝－1，整理得：x2＋y2－x－2y＋1＝0，即，表示圆心坐标是eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，1))，半径是eq\f(1,2)的圆．3．解：(1)令x＝0，得抛物线与y轴交点是(0，b)；函数f(x)＝x2＋2x＋b与坐标轴有三个交点，由题意b≠0且Δ＞0，解得b＜1且b≠0.(2)设所求圆的一般方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，令y＝0得x2＋Dx＋F＝0，这与x2＋2x＋b＝0是同一个方程，故D＝2，F＝b.令x＝0得y2＋Ey＋F＝0，此方程有一个根为b，代入得出E＝－b－1.所以圆C的方程为x2＋y2＋2x－(b＋1)y＋b＝0.4．解：(1)由题意可知：c＝1，a2＝b2＋c2，e＝eq\f(c,a)＝eq\f(\r(2),2)，解得a＝eq\r(2)，b＝1.故椭圆C的方程为eq\f(x2,2)＋y2＝1.(2)设直线AB的方程为y＝k(x＋1)(k≠0)，联立，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝kx＋1，,\f(x2,2)＋y2＝1，))整理得(1＋2k2)x2＋4k2x＋2k2－2＝0.∵直线AB过椭圆的左焦点F，∴方程有两个不等实根．记A(x1，y1)，B(x2，y2)，AB的中点N(x0，y0)，则x1＋x2＝eq\f(－4k2,1＋2k2)，x0＝eq\f(x1＋x2,2)，y0＝eq\f(y1＋y2,2)，垂直平分线NG的方程为y－y0＝－eq\f(1,k)(x－x0)．令y＝0，得x＝x0＋ky0＝－eq\f(2k2,2k2＋1)＋eq\f(k2,2k2＋1)＝－eq\f(k2,2k2＋1)＝－eq\f(1,2)＋eq\f(1,4k2＋2).∵k≠0，∴－eq\f(1,2)＜x＜0.∴点G横坐标的取值范围为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，0)).5．解：(1)方法一：设P(x，y)，A(x1，x1)，B(x2，－x2)．∵2eq\o(OP,\s\up6(→))＝eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(OB,\s\up6(→))，∴P是线段AB的中点，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝\f(x1＋x2,2)，,y＝\f(x1－x2,2).))∵|AB|＝eq\f(4\r(5),5)，∴(x1－x2)2＋(x1＋x2)2＝eq\f(16,5)，∴(2y)2＋(2x)2＝eq\f(16,5).∴化简得点P的轨迹C的方程为x2＋y2＝eq\f(4,5).方法二：∵2eq\o(OP,\s\up6(→))＝eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(OB,\s\up6(→))，∴P为线段AB的中点．∵A，B分别在直线y＝x和y＝－x上，∴∠AOB＝90°.又|AB|＝eq\f(4\r(5),5)，∴|OP|＝eq\f(2\r(5),5).∴点P在以原点为圆心，eq\f(2\r(5),5)为半径的圆上．∴点P的轨迹C的方程为x2＋y2＝eq\f(4,5).(2)证明：当直线l的斜率存在时，设l：y＝kx＋m，∵l与C相切，∴eq\f(|m|,\r(1＋k2))＝eq\f(2\r(5),5)，∴m2＝eq\f(4,5)(1＋k2)．联立eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝kx＋m，,x2＋4y2＝4，))∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1＋4k2x2＋8mkx＋4m2－4＝0，,1＋4k2y2－2my＋m2－4k2＝0.))设M(x1，y1)，N(x2，y2)，则x1x2＝eq\f(4m2－4,1＋4k2)，y1y2＝eq\f(m2－4k2,1＋4k2).∴eq\o(OM,\s\up6(→))·eq\o(ON,\s\up6(→))＝x1x2＋y1y2＝eq\f(5m2－4k2－4,1＋4k2).又m2＝eq\f(4,5)(1＋k2)，∴eq\o(OM,\s\up6(→))·eq\o(ON,\s\up6(→))＝0，当直线l的斜率不存在时，l的方程为x＝±eq\f(2\r(5),5)，代入椭圆方程得Meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2\r(5),5)，\f(2\r(5),5)))，Neq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2\r(5),5)，－\f(2\r(5),5)))或Meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(2\r(5),5)，\f(2\r(5),5)))，Neq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(2\r(5),5)，－\f(2\r(5),5)))，此时，eq\o(OM,\s\up6(→))·eq\o(ON,\s\up6(→))＝eq\f(4,5)－eq\f(4,5)＝0.综上所述，eq\o(OM,\s\up6(→))·eq\o(ON,\s\up6(→))为定值0.6．解：由eq\o(QM,\s\up6(→))＝λeq\o(MP,\s\up6(→))知Q，M，P三点在同一条垂直于x轴的直线上，故可设P(x，y)，Q(x，y0)，M(x，x2)，则x2－y0＝λ(y－x2)．即y0＝(1＋λ)x2－λy.①再设B(x1，y1)，由eq\o(BQ,\s\up6(→))＝λeq\o(QA,\s\up6(→))，即(x－x1，y0－y1)＝λ(1－x,1－y0)，解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x1＝1＋λx－λ，,y1＝1＋λy0－λ.))②将①式代入②式，消去y0，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x1＝1＋λx－λ，,y1＝1＋λ2x2－λ1＋λy－λ.))③又点B在抛物线y＝x2上，所以y1＝xeq\o\al(2,1)，再将③式代入y1＝xeq\o\al(2,1)，得(1＋λ)2x2－λ(1＋λ)y－λ＝[(1＋λ)x－λ]2.(1＋λ)2x2－λ(1＋λ)y－λ＝(1＋λ)2x2－2λ(1＋λ)x＋λ2.2λ(1＋λ)x－λ(1＋λ)y－λ(1＋λ)＝0.因为λ＞0，两边同时除以λ(1＋λ)，得2x－y－1＝0.故所求点P的轨迹方程为y＝2x－1.7．解：(1)设动点P的坐标为(x，y)，由题意得eq\r(x－12＋y2)－|x|＝1.化简得y2＝2x＋2|x|，当x≥0时，y2＝4x；当x＜0时，y＝0.所以动点P的轨迹C的方程为y2＝4x(x≥0)和y＝0(x＜0)．(2)由题意知，直线l1的斜率存在且不为0，设为k，则l1的方程为y＝k(x－1)．由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝kx－1，,y2＝4x，))得k2x2－(2k2＋4)x＋k2＝0.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1，x2是上述方程的两个实根，于是x1＋x2＝2＋eq\f(4,k2)，x1x2＝1.因为l1⊥l2，所以l2的斜率为－eq\f(1,k).设D(x3，y3)，E(x4，y4)，则同理可得x3＋x4＝2＋4k2，x3x4＝1.eq\o(AD,\s\up6(→))·eq\o(EB,\s\up6(→))＝(eq\o(AF,\s\up6(→))＋eq\o(FD,\s\up6(→)))·(eq\o(EF,\s\up6(→))＋eq\o(FB,\s\up6(→)))＝eq\o(AF,\s\up6(→))·eq\o(EF,\s\up6(→))＋eq\o(AF,\s\up6(→))·eq\o(FB,\s\up6(→))＋eq\o(FD,\s\up6(→))·eq\o(EF,\s\up6(→))＋eq\o(FD,\s\up6(→))·eq\o(FB,\s\up6(→))＝|eq\o(AF,\s\up6(→))|·|eq\o(FB,\s\up6(→))|＋|eq\o(FD,\s\up6(→))|·|eq\o(EF,\s\up6(→))|＝(x1＋1)(x2＋1)＋(x3＋1)(x4＋1)＝1＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2＋\f(4,k2)))＋1＋1＋(2＋4k2)＋1＝8＋4eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(k2＋\f(1,k2)))≥8＋4×2eq\r(k2·\f(1,k2))＝16，故当且仅当k2＝eq\f(1,k2)，即k＝±1时，eq\o(AD,\s\up6(→))·eq\