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文档简介

三元二次方程F(x,y,z)=0所表示的曲面称之为二次曲面．相应地平面被称为一次曲面．讨论二次曲面性状的截痕法：用坐标面和平行于坐标面的平面与曲面相截，考察其交线（即截痕）的形状，然后加以综合，从而了解曲面的全貌．以下用截痕法和类比的方法讨论这9种二次曲面的标准方程．适当选取直角坐标系，可得到二次曲面的标准方程，除退化的之外，共有9种标准方程。一、椭球面旋转椭球面由椭圆绕轴旋转而成．方程可写为球面方程可写为截痕法椭球面与三个坐标面的交线：椭球面与平面的交线为椭圆椭圆截面的大小随平面位置的变化而变化.同理与平面和的交线也是椭圆.二、单叶双曲面单叶双曲面单叶旋转双曲面单叶双曲面（1）用坐标面与曲面相截截得中心在原点的椭圆.与平面的交线为椭圆.当变动时，这种椭圆的中心都在轴上.（2）用坐标面与曲面相截截得中心在原点的双曲线.实轴与轴相合，虚轴与轴相合.xyoz双曲线的中心都在轴上.与平面的交线为双曲线.实轴与轴平行,虚轴与轴平行.实轴与轴平行,虚轴与轴平行.截痕为一对相交于点的直线.xyoz截痕为一对相交于点的直线.（3）用坐标面，与曲面相截均可得双曲线.xyoz单叶双曲面图形xyoz平面的截痕是两对相交直线.双叶双曲面三、双叶双曲面双叶双曲面xyo四、二次锥面类比法：截痕法：五、椭圆抛物面当a=b时旋转抛物面椭圆抛物面用截痕法讨论：（1）用坐标面与曲面相截截得一点，即坐标原点原点也叫椭圆抛物面的顶点.与平面的交线为椭圆.当变动时，这种椭圆的中心都在轴上.与平面无截痕.（2）用坐标面与曲面相截截得抛物线xyzo与平面的交线为抛物线.它的轴平行于轴顶点（3）用坐标面，与曲面相截均可得抛物线.xyzozxyoxyzo椭圆抛物面的图形如下：六、双曲抛物面xyzoxyzoxyzoxyzoxyzoxyzoxyzoxyzo双曲抛物面也称鞍面xyzo七、二次曲面想一想，下面给出的二次方程表示的几何图形是什么？或退化的二次曲面适当选取直角坐标系，可得到二次曲面的标准方程，除退化的之外，共有9种标准方程。

除以前讲过的椭球面、单叶双曲面、双叶双曲面、二次锥面、椭圆抛物面、双曲抛物面外其余三种二次曲面就是我们所熟悉的三种二次柱面：

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