13-电路方程的矩阵形式

本章内容佳木斯大学信息电子技术学院第13章电路方程的矩阵形式割集13.1关联矩阵、回路矩阵、割集矩阵13.2回路电流方程的矩阵形式13.3结点电压方程的矩阵形式13.4状态方程13.6割集电压方程的矩阵形式13.5本章学习目的及要求本章主要在图的基本概念的基础上介绍了关联矩阵、回路矩阵和割集矩阵，以及用这些矩阵表示的KCL、KVL方程。由此导出电路方程的矩阵形式，包括回路电流方程、结点电压方程、割集电压方程的矩阵形式。并介绍了状态方程的初步知识。

§

13.1

割集割集Q是连通图G中支路的集合，具有下述性质：1.把Q中全部支路移去(保留支路的两个端点)

，将图分成两个分离部分。2.保留Q

中的一条支路，其余都移去，G还是连通的。一、割集定义①4321②④③56①1②3④③4256Q1:{2,5,4,6}注意：在移去支路时，与其相连的结点并不移去。割集示例：非割集示例：215634215634213456342156215634二、割集判断方法

在图G上作一个高斯面（闭合面），使其包围G的某些结点，而每条支路只能被闭合面切割一次，去掉与闭合面相切割的支路，图G将被分为两部分，那么这组支路集合即为图G的一个割集。在图G上画高斯面（闭合面）Q1、Q2、Q3如下图所示，对应割集Q1、Q2、Q3的支路集合为{1，5，2}、{1，5，3，6}、{2，5，4，6}。注意：同一割集中每一条支路只能被切割一次。1Q1Q2Q323465三、独立割集这种由一条树支及相应的连支构成的割集称为单树支割集或基本割集。215634Q1Q2Q3对于一个具有n个结点，b条支路的连通图G，独立割集的数目等于树支数，为（n－1）。图的矩阵表示是指用矩阵描述图的拓扑性质，即KCL和KVL的矩阵形式。有三种矩阵形式：图的矩阵表示:结点支路关联矩阵

回路支路回路矩阵割集支路

割集矩阵§

13.2关联矩阵、回路矩阵、割集矩阵一、关联矩阵aij

=

1有向支路j

背离

i结点

-1有向支路j指向

i结点

0i结点与j

支路无关1.关联矩阵：Aa={aij}n

b结点数支路数645321①②④③Aa=1234

123456

支结

100-101-110010

0-1100-1

00-11-10设④为参考结点，划去第4行。

-110010A=123

123456

支结

100-101

0-1100-1称A为降阶关联矩阵

(n-1)b

，表征独立结点与支路的关联性质。也称关联矩阵。各行不独立。

2.关联矩阵A描述的基尔霍夫定律的矩阵形式（1）KCL的矩阵形式设:以结点④为参考结点Aib

=-1-1100000-1-101100110n-1个独立方程矩阵形式的KCL:Aib=0（2）KVL的矩阵形式设:矩阵形式1支路j与回路i关联，方向一致。-1支路j

与回路i关联，方向相反。0支路j

不在回路i中。bij=（2）支路排列顺序为先连支后树支。1.约定：（1）回路电流的参考方向取连支电流方向。二.基本回路矩阵：B={bij}lb基本回路数支路数选4、5、6为树支，连支为1、2、3。123B=123456支路回路1001-10

0101-11=[1

Bt]

00101-1BlBt123

654l3l2l3l1（1）KVL的矩阵形式设ulutBf

ub=100-1-100101010010-11l个独立KVL方程矩阵形式的KVL：Bf

ub=02.基本回路矩阵Bf表示的基尔霍夫定律的矩阵形式设：（2）KCL的矩阵形式独立回路电流1２３６５４①②④③231矩阵形式的KCL：Bf

T

il=ib

13-1如图所示，选支路（3，5、6）为树支，求基本回路矩阵。2523613514563基本回路如下：124356例：解：2134561支路j与割集i方向一致。-1支路j

与割集i方向相反。0支路j

不在割集i中。qij=（2）支路排列顺序为先树支后连支。1.约定：（1）割集方向与树支方向相同。三.基本割集矩阵：Q={qij}n-1

b基本割集数支路数选4、5、6为树支，连支为1、2、3。Q1Q2Q3Q=456123支路割集100-1-10

01011-1=[1

Ql]

0010-11QtQlQ1:{1,2,4}Q2:{1,2,3,5}Q3:{2,3,6}123

6542.基本割集矩阵Qf描述的基尔霍夫定律的矩阵形式矩阵形式的KCL：100-1-10010101001-1-1

-1Qf

ib=矩阵形式的KCL：Qf

ib=0

（1）KCL的矩阵形式1２３６５４Q1Q3Q2取（3，5，6）为树，（2）KVL的矩阵形式电路中的（n-1）个树支电压可用（n-1）阶列向量表示，即1２３６５４Q1Q3Q2连支电压可以用树支电压表示。注意小结QfQfib=0QfT

ut=ubABfKCLAib=0BfT

il=ibKVLATun=ubBfub=0取回路电流（连支电流）为未知变量。回路方程矩阵形式

支路电压与支路电流的关系代入上面方程，整理后得§

13.3回路电流方程的矩阵形式Zk+-+-回路矩阵方程（回路电压源相量）Zl（回路阻抗阵）电路中电感之间有耦合，规定每个支路必须仅有一个阻抗。

jωM*+-+-*++--Z不是对角阵列写回路电流方程矩阵形式的步骤如下：根据已知电路，画出有向图，写出回路矩阵B；写出支路阻抗矩阵Z，电源列向量3.求出回路阻抗矩阵4.列出回路方程；；。13-2电路及其有向图如图所示，选树（4，5，6）。（1）试写出基本回路矩阵和支路阻抗矩阵Z以及列向量;（2）试求回路阻抗矩阵Zl

；（3）写出矩阵形式的回路方程。123456

（1）

G4+-123564l3l1l2例：解：电压源和电流源列向量分别为:(2)回路阻抗为:123564l3l1l2G4+-

(3)矩阵形式的回路方程:§13.4结点电压方程的矩阵形式(4)在复合支路中允许存在受控电流源，但不允许存在受控电压源；且不允许存在无伴电压源支路。

(1)支路电压和支路电流取关联方向；(3)

表示第k条支路的阻抗(或导纳)，且规定它只能是单一的电阻、电感或电容，而不能是它们的组合。一、复合支路在结点电压方程的矩阵形式中，采用复合支路（假设电路为正弦电流电路，变量用相量形式），规定：分别表示第k条支路的独立电压源和独立电流源；(2)复合支路只是定义了一条支路最多可以包含的不同元件数及连接方法，但允许缺少某些元件。Zk

(Yk)+-+-(b)含受控源复合支路

(a)无受控源复合支路

+-Zk

(Yk)+--+二、支路方程的矩阵形式

分三种不同情况进行分析。

电路中不含互感和受控源

Zk(Yk)+-+-电路中电感之间有耦合jωM*+-+-*+-+-电路中有受控电源Zk(Yk)+-+-Zk(Yk)+-+-考虑b个支路时：若：三、结点电压方程的矩阵形式KCL支路方程：KVLKCL：KVL：结点导纳矩阵独立电源引起的注入结点的电流列向量四、结点分析法的一般步骤1.画有向图2.写出关联矩阵A3.写支路导纳矩阵Y5.用矩阵乘法求得结点方程4.写列向量13-3电路如图（a），图中元件的下标代表支路编号，图（b）是它的有向图。写出结点电压方程的矩阵形式。uS1③+-R3+-u3R6R4R5R1②①i4346512①②③（1）写出关联矩阵A：（2）电压源和电流源列向量分别为:

0

0

0

0]T

0

0

0

0

0]T

A=0

0

0

1

1

-1

1-1

0

-1

0

0

0

1

1

0

0

1

例：解：uS1③+-R3+-u3R6R4R5R1②①i4346512①②③（3）用矩阵相乘求出结点导纳阵,列出结点方程。

结点电压方程的矩阵形式为uS1③+-R3+-u3R6R4R5R1②①i4§

13.5

割集电压方程的矩阵形式割集电压是指由割集划分的两分离部分之间的一种假想电压。以割集电压为电路独立变量的分析法称为割集电压法。复合支路用导纳表示的支路方程：Zk

(Yk)+-+-割集矩阵方程割集电压法是结点电压法的推广。13-4电路如图所示，试用运算形式写出该电路割集电压方程的矩阵形式。（设电感电容的初始条件为零）（1）作出电路的有向图，如图（b）所示，选支路1、2、3为树支。（3）由于电源中不含受控源，所以支路导纳矩阵为一对角阵L4R1R1C5L3C6R2L3（a）152436（b）123456例：解：（2）由图（b）可写出基本割集矩阵（4）将上式关系代入割集电压方程得:电压源和电流源列向量分别为:§

13.6

状态方程一、网络的状态与状态变量网络状态指能和激励一道唯一的确定网络现时和未来的行为的最少的一组信息量。状态变量是电路的一组独立的动态变量，它们在任何时刻的值组成了该时刻的状态，如独立的电容电压，电感电流就是电路的状态变量。注意：这里讲的最少的网络变量是互相独立的。因此：1）当一个网络中存在纯电容（感）回路；2）网络中与独立电压源并联的电容元件；3）网络中与独立电流源串联的电感元件。，不含以下情况的网络称为常态网络。

以上几种情况中非独立的和不能作为状态变量，下面着重讨论不含以上几种情况的常态网络。由e(0)=20sin30°=10V可求出电路如图,已知:R=3,13-5,。,应用举例

例：解：RLCe(t)+-uciLicuo+-状态方程的特点：（1）

联立的一阶微分方程组；（2）

左端为状态变量的一阶导数；（3）

右端含状态变量和输入量。二、状态方程借助于状态变量，建立一组联系状态变量和激励函数的一阶微分方程组,称为状态方程。只要知道状态变量在某一时刻的值,再知道输入激励e(t)，就可以确定后电路的全部性状(响应)。在每个状态方程中只含有一个状态变量的一阶导数。其中，x称为状态向量，v称为输入向量。在一般情况下，设电路具有n个状态变量，m个独立源，上式中的和x为n阶向量，A为n×n方阵，B为n×m矩阵。状态方程的标准形式如下：1.对只接有一个电容的结点列写KCL方程。

2.对只包含一个电感的回路列KVL方程。

3.消去非状态变量。

4.整理成标准形式，并写出矩阵形式的状态方程。

对于

KCL和KVL方程中出现的非状态变量，只有将它们表示为状态变量后，才能得到状态方程的标准形式。直观编写法的缺点：（1）编写方程不系统，不利于计算机计算。（2）对复杂网络的非状态变量的消除很麻烦。三、状态方程的列写列写电路状态方程的两种：直观法和系统法。前者适用于简单电路，后者适用于复杂电路。（一）直观法对于简单的网络，用直观法比较容易，列写状态方程的步骤为：13-6列写下图所示电路的状态方程。为状态变量，则设

、整理得状态方程写成矩阵形式，，iL+-LC+-uCiCu0+-例：解：13-7求下图所示电路的状态方程。+-R1uS+-uCR2L1L2iSi2iCCiR2i1，从以上方程中消去非状态变量，得：

iC=-

(i1+i2)

iR2=iS+i2

uL1=uC

-(i1+i2

)R1+uS设

为状态变量，则、、例：解：iRiCuL1整理成矩阵形式如下：+-R1uS+-uCR2L1L2iSi2iCCiR2i1，

状态方程系统列写法的步骤：1.选择一个树，也称为特有树，它包含电容和电压源，

而不包含电容和电流源。

2.对包含电容的单树支割集列写KCL方程。

3.对包含电感的单连支割集列写KVL方程。

4.列写其他必要的方程，消去非状态变量。

5.整理并写出矩阵形式。（二）系统法：对于比较复杂的电路，仅靠观察法列写状态方程有时是很困难的，有必要寻求一种系统的编写方法。简单的说，系统编写法就是寻求一个适当的树，使其包含全部电容而不包含电感。对含电容的单树支割集用KCL可列写一组含有的方程。对于含电感的用KVL可列写出一组含有的方程。这些方程中含有一个导数项，若再加上其他约束方程，便可求得标准状态方程。单连支回路运13-8对图（a）所示，以为状态变量，列出电路的状态方程。（1）方法1

－直观法uS3L2iS1iL2C3i1R1+-R5+-uC3i5C4+-uC434651①②③④27

⑤（a）（b）消去，得：例：解：然后整理成矩阵形式。代入上式：可见，与前面所列方程完全相同，以下步骤省略。含电容单树支割集的KCL：uS3L2iS1iL2C3i1R1+-R5+-uC3i5C4+-uC434651①②③④27

⑤（a）（b）（2）方法2－系统法：选图（b）中支路1、3、4、6

为树支，含电感单连支回路的KVL：小结：看看记记一、割集割集Q是连通图G中支路的集合，具有下述性质：1.把Q中全部支路移去(保留支路的两个端点)

，将图分成两个分离部分。2.保留Q

中的一条支路，其余都移去，G还是连通的。

3.这种由一条树支及相应的连支构成的割集称为单树支割集或基本割集。对于一个具有n个结点，b条支路的连通图G，独立割集的数目等于树支数，为（n－1）。

215634Q1Q2Q3二、关联矩阵、回路矩阵、割集矩阵aij

=

1有向支路j

背离

i结点

-1有向支路j指向

i结点

0i结点与j

支路无关1.关联矩阵：Aa={aij}n

b结点数支路数645321①②④③Aa=1234

123456

支结

100-101-110010

0-1100-1

00-11-10设④为参考结点，划去第4行。

-110010A=123

123456

支结

100-101

0-1100-1称A为降阶关联矩阵

(n-1)b

，表征独立结点与支路的关联性质。

各行不独立。

1支路j与回路i关联，方向一致。-1支路j

与回路i关联，方向相反。0支路j

不在回路i中。bij=（2）支路排列顺序为先连支后树支。约定：（1）回路电流的参考方向取连支电流方向。2.基本回路矩阵：B={bij}lb基本回路数支路数选4、5、6为树支，连支为1、2、3。123B=123456支路回路1001-10

0101-11=[1

Bt]

00101-1BlBt123

654l3l2l3l11支路j与割集i方向一致。-1支路j

与割集i方向相反。0支路j

不在割集i中。qij=（2）支路排列顺序为先树支后连支。约定:（1）割集方向与树支方向相同。3.基本割集矩阵：Q={qij}n-1

b基本割集数支路数选4、5、6为树支，连支为1、2、3。Q1Q2Q3Q=456123支路割集100-1-10

01011-1=[1

Ql]

0010-11QtQlQ1:{1,2,4}Q2:{1,2,3,5}Q3:{2,3,6}123

654小结QfQfib=0QfT

ut=ubABfKCLAib=0BfT

il=ibKVLATun=ubBfub=03.对于一个含有n个节点b条支路的电路，电路的关联矩阵A是（）阶矩阵，用A表示的KCL矩阵为（），用A表示的KVL矩阵为（）。电路的回路矩阵B是（）阶矩阵，用B表示的KCL矩阵为（），用B表示的KVL矩.阵为（）。1.连通图G的一个割集包含G的全部结点但不包含回路。（）2.连通图G的一个割集，是图G的一个支路的集合，把这些支路全部移去，图G将分离为3个部分。（）三、回路分析法列写回路电流方程矩阵形式的步骤如下：根据已知电路，画出有向图，写出回路矩阵B；写出支路阻抗矩阵Z，电源列向量3.求出回路阻抗矩阵4.列出回路方程；；。四、结点分析法1.画有向图2.写出关联矩阵A3.写支路导纳矩阵Y5.用矩阵乘法求得结点方程4.写列向量(1)选定一个树，写出五、割集分析法(2)求出(3)列出割集方程2.对于结点数为n,支路数为b的有向图，可作出（n-1）个独立割集。该有向图的基本回路矩阵的行数为（b-n+1）。1.在列写基本回路矩阵和基本割集矩阵时，基本回路方向与树支方向一致，基本割集方向与连支方向一致.（）╳3.某电路的拓扑图如图所示，若选支路集{1，2，5，8}