16三角函数中w的取值范围问题-带答案

16三角函数中w的取值范围问题-带答案

1.三角函数中w的取值范围问题将函数f(x)=cos(wx)的图像向右平移π/2，得到函数g(x)的图像。若g(x)在[-1,1]上的值域为[ω/2,ω-1]，则ω的取值范围为(0,48/π]。2.将函数f(x)=cos(ωx)+√3sin(ωx/2)的图象向左平移3ω个单位，得到函数g(x)的图像。若g(x)在[0,4π]上为增函数，则ω的最大值为2。3.若函数f(x)=4sin(ωx)sin2(x/2+4π/3)+cos2(ωx)-1在[-3,2]内有且仅有一个最大值，则ω的取值范围是[1,2)。4.已知函数f(x)=2sin(ωx+φ)+1(ω>0,|φ|≤π/2)，其图象与直线y=3相邻两个交点的距离为π，若f(x)>2对∀x∈(π/4,3π/4)恒成立，则φ的取值范围是(-π/6,π/6)。5.设函数f(x)=sin(ωx+π/2)，其中ω>0。下述四个结论：①f(x)在(0,2π)有且仅有3个极大值点；②f(x)在(0,2π)有且仅有2个极小值点；③f(x)在[0,π/5]单调递增；④ω的取值范围是[π/10,5π/6]。其中所有正确结论的编号是C.○1○2○3。6.若函数f(x)=sin(ωx+π/6)，(ω>0)在(0,18)上存在唯一极值点，且在(2,π)上单调，则ω的取值范围为(π/6,π/2)。7.已知函数f(x)=sin(ωx+φ)，其中ω>0，|φ|<π/2，f(-8)=0，|f(x)|≥|f(8)|，且f(x)在区间(-π,3π/8)上单调递增。则ω的取值范围是[π/3,3π/4]。1.上单调，则下列说法正确的是（）正确答案为B.𝑓(0)=𝑓(4𝜋)。解析：根据周期函数的性质，若函数f(x)为周期函数，则f(x)的周期为T，即f(x+T)=f(x)，其中T>0。因此，对于本题中的函数f(x)=3sin(ωx+φ)，若f(x)为周期函数，则必有：3sin(ω(x+T)+φ)=3sin(ωx+φ)即sin(ωT)=0，因此T=2π/ω。又因为f(x)的周期为4π，因此有4π=2π/ω，即ω=1/2。因此，只有选项B正确。改写：本题考查周期函数的性质，对于函数f(x)=3sin(ωx+φ)，若f(x)为周期函数，则必有sin(ωT)=0，其中T为f(x)的周期。由于f(x)的周期为4π，因此可得ω=1/2，故选项B正确。2.已知函数f(x)=3sin(ωx+φ)(ω>0，0<φ<π)，f(π/8)=√3/2，对任意x∈R恒有f(x)≤|f(3π/8)|，且在区间(5π/3,7π/3)上有且只有一个x1使f(x1)=3，则ω的最大值为正确答案为C.105/4。解析：首先，由已知条件可得：f(π/8)=3sin(πω/8+φ)=√3/2f(3π/8)=3sin(3πω/8+φ)因为f(x)为单调函数，所以|f(x)|也为单调函数。因此有：f(x)≤|f(3π/8)|即3sin(ωx+φ)≤3sin(3πω/8+φ)化简得sin(ωx+φ)≤sin(3πω/8+φ)由于在区间[5π/3,7π/3]上有且只有一个x1使得f(x1)=3，因此可得：ωx1+φ=π/3+2kπ或5π/3+2kπ其中k∈Z。又因为f(π/8)=√3/2，因此有：ωπ/8+φ=π/3+2kπ或5π/3+2kπ解得k=0或k=2，因此有：ω=3π/8φ或15π/8φ因为ω>0，所以有：ω=3π/8φ又因为ω的最大值为2π/T，其中T为f(x)的周期。因为f(x)为周期函数，所以有：3π/8φT=2π解得T=24/5，因此ω的最大值为2π/T=105/4。因此选项C正确。改写：已知函数f(x)=3sin(ωx+φ)(ω>0，0<φ<π)，且f(π/8)=√3/2，对任意x∈R恒有f(x)≤|f(3π/8)|。因为f(x)为单调函数，所以有sin(ωx+φ)≤sin(3πω/8+φ)，且在区间[5π/3,7π/3]上有且只有一个x1使得f(x1)=3。解出x1的取值后，可得ω的取值范围为3π/8φ，15π/8φ，因为ω的最大值为2π/T，其中T为f(x)的周期。解出T后，可得ω的最大值为105/4。因此选项C正确。3.已知f(x)=sinωx-cosωx(ω>3)，若函数f(x)图象的任何一条对称轴与x轴交点的横坐标都不属于区间(2π,3π)，则ω的取值范围是__________．（结果用区间表示）正确答案为(3,4)。解析：因为f(x)为偶函数，所以其图像关于y轴对称。因此，如果f(x)的任意一条对称轴与x轴交点的横坐标不属于区间(2π,3π)，则f(x)的图像必然不会在区间(2π,3π)上与x轴相交。因此，只需求出f(x)在区间(2π,3π)上的最小值即可。因为f(x)为周期函数，所以只需考虑一个周期内的取值即可。因为ω>3，所以有：f(x)=sinωx-cosωx≤2当sinωx=1，cosωx=-1时，取到等号，即：ωx=π/2+2kπ或3π/2+2kπ其中k∈Z，因此可得：ω=2π/(3π-2kπ)或2π/(π+2kπ)化简得：ω=2/(3-2k)或2/(1+2k)因为ω>3，所以有：2/(3-2k)>3或2/(1+2k)>3解得：k<-4/5或k<-2/3因此，k的取值范围为(-∞,-4/5)或(-∞,-2/3)，因此ω的取值范围为(3,4)。因此选项为正确答案。改写：因为f(x)为偶函数，所以其图像关于y轴对称。因此，如果f(x)的任意一条对称轴与x轴交点的横坐标不属于区间(2π,3π)，则f(x)的图像必然不会在区间(2π,3π)上与x轴相交。因此，只需求出f(x)在区间(2π,3π)上的最小值即可。因为f(x)为周期函数，所以只需考虑一个周期内的取值即可。解出f(x)的最小值后，可得k的取值范围为(-∞,-4/5)或(-∞,-2/3)，因此ω的取值范围为(3,4)。因此选项为正确答案。4.函数f(x)=cosx的图像向右平移π/2个单位长度，再将各点的横坐标变为原来的1/π个单位长度，得到函数g(x)的图像，若g(x)在[0,1]上的值域为[-1/2,1/2]，则ω范围为（）正确答案为(3/2,5/2)。解析：将f(x)=cosx的图像向右平移π/2个单位长度，得到函数y=cos(x-π/2)，即y=-sinx。将各点的横坐标变为原来的1/π个单位长度，得到函数g(x)=sin(πx/2)。因为g(x)的周期为4，所以只需考虑在[0,1/4]上的取值即可。因为g(x)在[0,1]上的值域为[-1/2,1/2]，所以有：g(0)=-1/2，g(1/4)=1/2因为g(x)为正弦函数，所以有：g(x)=Asin(πx/2)+B其中A为振幅，B为纵坐标平移量。因为g(0)=-1/2，g(1/4)=1/2，所以有：-1/2=Asin(0)+B1/2=Asin(π/2)+B解得A=1，B=-1/2，因此有：g(x)=sin(πx/2)-1/2因为g(x)的周期为4，所以有：sin(πx/2)-1/2=sin(π(x+4)/2)-1/2即：sin(πx/2)=sin(π(x+4)/2)当x=1/4时，取到等号，因此有：π/2=π(x+4)/2+2kπ或π/2=π(5-x)/2+2kπ其中k∈Z。解得：x=-3+4k或x=7-4k因为0≤x≤1/4，所以有：k=0或k=1，因此x=1/4或x=3/4因此，ω的取值范围为(3/2,5/2)。因此选项为正确答案。改写：将f(x)=cosx的图像向右平移π/2个单位长度，得到函数y=-sinx。将各点的横坐标变为原来的1/π个单位长度，得到函数g(x)=sin(πx/2)。因为g(x)的周期为4，所以只需考虑在[0,1/4]上的取值即可。解出g(x)的表达式后，可得当x=1/4时，g(x)取到最大值，因此有sin(πx/2)=sin(π(x+4)/2)，解得x=1/4或x=3/4。因此，ω的取值范围为(3/2,5/2)。因此选项为正确答案。根据题意，已知$f(x)$在$(0,2\pi)$有且仅有3个极大值点和2个极小值点，且$f(x)$在$[0,\pi]$单调递增，求$f(x)$的取值范围。首先，根据$f(x)$在$[0,\pi]$单调递增，可以得到$f(x)$在$(0,\pi)$上没有极值点。而在$(\pi,2\pi)$上，由于$f(x)$有3个极大值点和2个极小值点，因此$f(x)$在$(\pi,2\pi)$上有1个极小值点和2个极大值点。其次，由于$f(x)$在$(0,2\pi)$上有5个极值点，因此$f(x)$在$(0,2\pi)$上有4个区间。根据单调性，这4个区间中至少有1个区间没有极值点。而由于$f(x)$在$[0,\pi]$上单调递增，在$(0,\pi)$和$(\pi,2\pi)$上分别有2个区间，因此至少有1个区间没有极值点的可能性只有在$(\pi,2\pi)$上。综上所述，$f(x)$的取值范围为$(a,b)\cup[c,d]\cup[e,f]$，其中$a,b,c,d,e,f$是$f(x)$的极值点。根据已知条件，可以求出$a,b,c,d,e,f$的值，进而得到$f(x)$的取值范围为$(0,1)\cup(2,3)$。因此，正确结论的编号为$\text{A.}1\text{、}4$。已知函数$f(x)=\sin(\omegax+\phi)$，其中$\omega>0,|\phi|<\frac{\pi}{2}$，$f(-\frac{\pi}{2})=0$，且$f(x)\leq|f(\frac{\pi}{2})|$恒成立，且$f(x)$在区间$(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2})$上单调，则下列说法正确的是（）A.存在$\phi$，使得$f(x)$是偶函数B.$f(\frac{4}{3}\pi)\geq\frac{288}{64}+\frac{3}{2}\pi$C.$\omega$是奇数D.$\omega$的最大值为3解析：因为$f(x)\leq|f(\frac{\pi}{2})|$恒成立，所以$x=-\frac{\pi}{2}$时，$f(x)=f(\frac{\pi}{2})$，B正确。$-\frac{\pi}{2}$是$f(x)$的对称轴，又因为$\frac{3}{2}\pi=\frac{8}{3}\cdot\frac{\pi}{2}$，所以由零点及最值的性质知：$\begin{cases}\omegax+\phi=k_1\pi\\\frac{\pi}{2}+\phi=k_2\pi\end{cases}$，其中$k_1,k_2\in\mathbb{Z}$。解得：$\omega=\frac{2}{\pi}(k_2-k_1)$，因为$k_1,k_2\in\mathbb{Z}$，所以$k_2-k_1\in\mathbb{Z}$，所以$\omega$为奇数，C正确。又因为$f(x)$在区间$(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2})$上单调，所以区间长度$\frac{\pi}{2}-(-\frac{\pi}{2})=\pi\leq2$，所以$\omega\geq\frac{4}{\pi}$，所以$\omega\leq8$，所以$\omega$可能取的值为1，3，5，7。若$\omega=1$，可解得$f(x)=\sin(x+\frac{\pi}{2})$，$x\in(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2})$时，$x+\frac{\pi}{2}\in(-\frac{\pi}{2}+\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}+\frac{\pi}{2})$，所以$f(x)$在区间$(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2})$上单调递增，符合题意。若$\omega=3$，可解得$f(x)=\sin(3x-\frac{19}{24}\pi)$，$x\in(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2})$时，$3x-\frac{19}{24}\pi\in(-\frac{\pi}{2}+\frac{19}{24}\pi,\frac{\pi}{2}+\frac{19}{24}\pi)$，所以$f(x)$在区间$(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2})$上单调递增，符合题意。若$\omega=5$，可解得$f(x)=\sin(5x-\frac{\pi}{3})$，$x\in(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2})$时，$5x-\frac{\pi}{3}\in(-\frac{\pi}{2}+\frac{\pi}{3},\frac{\pi}{2}+\frac{\pi}{3})$，所以$f(x)$在区间$(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2})$上先单调递减，再单调递增，不符合题意，舍去。若$\omega=7$，可解得$f(x)=\sin(7x-\frac{8}{3}\pi)$，$x\in(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2})$时，$7x-\frac{8}{3}\pi\in(-\frac{\pi}{2}+\frac{8}{3}\pi,\frac{\pi}{2}+\frac{8}{3}\pi)$，所以$f(x)$在区间$(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2})$上先单调递减，再单调递增，不符合题意，舍去。所以D正确。由解题过程及正弦函数余弦函数的奇偶性及诱导公式可知，A错误。已知函数$f(x)=3\sin(\omegax+\varphi)(\omega>0,\varphi<\pi)$，且$f(-3)=0$，对任意$x\in\mathbb{R}$，恒有$f(x)\leq|f(3)|$，且在区间$(5,15)$上有且只有一个$x_1$使得$f(x_1)=3$，则$\omega$的最大值为多少？解析：根据题意可得$\omega$的表达式为$\omega=\dfrac{3(k_2-k_1)\pi}{8}$，其中$k_1,k_2\in\mathbb{Z}$，且$k=k_2-k_1,k'=k_1+k_2$，又因为$f(x)$在$(5,15)$上有且只有一个最大值，且要求$\omega$最大，则区间$(5,15)$包含的周期应该最多，因此$-\dfrac{5\pi}{2}\leq\omega\leq\dfrac{30\pi}{8}$，即$0<\omega\leq\dfrac{15\pi}{4}$。此时$\varphi=\dfrac{3\pi}{4}$，且$k\leq19.5$。分类讨论：当$k=19$时，$\omega=\dfrac{105\pi}{4}$，此时$\varphi=\dfrac{3\pi}{4}$，可使$\sin(\omegax+\varphi)$的最小正周期为$\dfrac{2\pi}{105}$，且$f(x)$的周期为$\dfrac{2\pi}{105}$，因此在区间$(5,15)$上不存在$x_1$使得$f(x_1)=3$，舍去。当$k=18$时，$\omega=\dfrac{117\pi}{4}$，此时$\varphi=\dfrac{3\pi}{4}$，可使$\sin(\omegax+\varphi)$的最小正周期为$\dfrac{2\pi}{117}$，且$f(x)$的周期为$\dfrac{2\pi}{117}$，因此在区间$(5,15)$上存在且只存在一个$x_1$使得$f(x_1)=3$，且$x_1\in(2.7\pi,6.6\pi)$，因此$\omega$的最大值为$\dfrac{117\pi}{4}$。答案为C。已知$f(x)=\sin\omegax-\cos\omegax(\omega>3)$，若函数$f(x)$图像的任何一条对称轴与$x$轴交点的横坐标都不属于区间$(2\pi,3\pi)$，则$\omega$的取值范围是什么？解析：设$f(x)$的对称轴方程为$x=a$，则$f(a-x)=f(x)$，即$\sin\omega(a-x)-\cos\omega(a-x)=\sin\omegax-\cos\omegax$，整理可得$\tan\dfrac{\omegaa}{2}=1$，因此$\omega=\dfrac{2n\pi}{a}$，其中$n\in\mathbb{Z}$。又因为对称轴与$x$轴交点的横坐标都不属于区间$(2\pi,3\pi)$，因此$\dfrac{2n\pi}{\omega}\notin(2\pi,3\pi)$，即$\dfrac{2a}{3}<\dfrac{2n\pi}{\omega}<2\pi$，解得$\dfrac{4\pi}{a}<\omega<\dfrac{6\pi}{a}$。又因为$\omega>3$，因此$\dfrac{6\pi}{a}>3$，即$a<2\pi$，因此$\dfrac{4\pi}{2\pi}<\omega<\dfrac{6\pi}{\frac{2\pi}{3}}$，即$2<\omega<12$。答案为$[8,12]$。由对称轴的性质可知，对于函数$f(x)=\sqrt{2}\sin(wx-\frac{4}{\pi})$，其任何一条对称轴与$x$轴交点的横坐标都不属于区间$(2\pi,3\pi)$，因此有$2T\geq3\pi-2\pi=\pi$，解得$w\leq1$，即$0<w\leq1$。又因为函数$f(x)$的对称轴方程为$wx-\frac{4}{\pi}=k\pi$，即$x=\frac{4w}{7}+\frac{k\pi}{3w}$，其中$k\in\mathbb{Z}$。因此，有$\frac{3\pi+w}{2}\leq\frac{4w}{7}+\frac{k\pi}{3w}\leq\frac{4\pi+w}{2