理论力学11-达朗贝尔原理2课件

DBA

例4

如图所示，均质杆AB的质量m＝40kg，长l＝4m，A点以铰链连接于小车上。不计摩擦，当小车以加速度a＝15m/s2向左运动时，求D处和铰A处的约束力(此时杆AB与D处接触)。解：以杆为研究对象，受力如图，建立如图坐标。杆作平移,惯性力的大小为FIR＝ma。假想地加上惯性力,则由质点系的达朗贝尔原理FIRA30°DB1maaFDmgFAxFAyxy代入数据,解之得：DBAFIRaFDmgFAxFAyxy于是得jOxyCBA例5质量为m,长为l的均质直杆AB的一端A焊接于半径为r的圆盘边缘上,如图。今圆盘以角加速度a

绕其中心O转动。求圆盘刚开始转动时，杆AB上焊接点A处的约束力。解:以杆为研究对象,受力如图。将惯性力系向转轴简化，惯性力的大小为aOrABlamgaCFIRMIOFAxFAyMAaOrABljOxyCBAamgaCFIRMIOFAxFAyMA由质点系的达朗贝尔原理将已知数值代入以上三式，解之得jOxyCBAamgaCFIRMIOFAxFAyMABC

[例6]

均质杆AB长l，重W，B端与重G、半径为r的均质圆轮铰接。在圆轮上作用一矩为M的力偶，借助于细绳提升重为P的重物C。试求固定端A的约束力。解：先以轮和重物为研究对象,受力如图。假想地加上惯性力由质点系的达朗贝尔原理aMGFBxFByMIBαPFI代入MIB和FI得再以整体为研究对象，假想地加上全部惯性力BCAaMGFAxFAyMIBPFIαWMA代入MIB和FI解得由质点系的达朗贝尔原理

[例7]均质圆盘质量为mA，半径为r。细长杆长l=2r，质量为m。杆端点A与轮心为光滑铰接，如图所示。如在A处加一水平拉力F，使轮沿水平面纯滚动。问力F多大能使杆的B端刚刚离开地面？又为保证纯滚动，轮与地面间的静滑动摩擦系数应为多大？mAgmgFABC细杆刚离地面时仍为平移，地面支持力变为零，设其加速度为a。以杆为研究对象，杆承受的力并加上惯性力如图所示，其中FIC=maC=ma。解出解：按达朗贝尔原理列出方程mAgmgFABCABCFICmgFAxFAya为求摩擦力，可以圆轮为研究对象由方程，得解得mAgmgFABCFNFS整个系统承受的力并加上惯性力如图，其中FIAFICMIA由方程得mAgAFNFIAMIAFs再以整个系统为研究对象，由方程，得由此，地面摩擦系数mAgmgFABCFNFsFIAFICMIAmAgAFNFIAMIAFs11-3绕定轴转动刚体的轴承动约束力如图，以O为简化中心，所有主动力和惯性力系都向该点简化，形成一空间任意力系，列平衡方程11-3绕定轴转动刚体的轴承动约束力由上述5个方程解得轴承的全约束力为这里把由于惯性力系的主矢FIR和主矩MIO引起的轴承约束力称为附加动约束力，要使之为零，必须有即要使轴承附加动约束力等于零的条件是：惯性力系的主矢等于零，惯性力系对于x轴和y轴的主矩等于零。由前面所得，即有所以，要使惯性力系的主矢等于零，必须aC=0，即转轴通过质心。要使主矩等于零，必须有Jxz=Jyz=0，即刚体对转轴z的惯性积等于零。如果刚体对通过某点的轴z的惯性积Jxz=Jyz=0等于零，称该轴为过该点的惯性主轴，通过质心的惯性主轴成为中心惯性主轴。则上述结论可表达为——避免出现轴承附加动约束力的条件为是:刚体的转轴是刚体的中心惯性主轴。

静平衡：静平衡与动平衡的概念

动平衡的刚体，一定是静平衡的；反过来，静平衡的刚体，不一定是动平衡的。动平衡：转轴为中心惯性主轴时，转动时不产生附加动反力。[例8]

质量不计的转轴以角速度

匀速转动，其上固结着两个质量均为m的小球A和B。指出在图示各种情况下，哪些是静平衡的？哪些是动平衡的？静平衡：（a)(b)动平衡：(c)

[例9]设匀质转子重

P，质心C到转轴的距离是e，转子以匀角速度ω绕水平轴转动，AO=a，OB=b(图a)。假定转轴与转子的对称平面垂直，求当质心C转到最低位置时轴承所受的约束力。

b

a

e

z

C

O

B

A(a

)解:轴Oz是转子在点O的主轴之一。可见惯性力对点O的主矩在垂直于Oz的平面上两轴的投影

MIOx

和MIOy

恒等于零。又a

=0，这样MIOz

也等于零。因此转子的惯性力合成为作用于点O的一个力FIO，大小等于方向沿OC。当质心C转到最低位置时，轴上实际所受的力如图b所示。(a

)

b

a

e

z

C

O

B

A

b

a

e

z

C

O

B

A(b

)PFBFA根据动静法写出平衡方程由式(1)和(2)解得两轴承所受的力分别和FA、FB的大小相等而方向相反。

b

a

e

z

C

O

B

A(b

)PFBFA例10

均质杆的质量为m,长为2l,一端放在光滑地面上,并用两软绳支持,如图所示。求当BD绳切断的瞬时,B点的加速度、AE绳的拉力及地面的约束力。解:以杆AB为研究对象，杆AB作平面运动。以点B为基点，则点C的加速度为其中AECBxy30oBCAED30oFTFNmgaBaBa

tCBa将惯性力系向质心C简化，得惯性力FI＝FIe＋FIr

,其中FIe＝maB,FIr＝matCB

＝mla和惯性力偶，其力偶的矩为AECBxy30oFTFNmgFIeFIrMIBCAED30oaBaBa

tCBa在BD绳切断的瞬时，受力如图，建立如图坐标。由质点系的达朗贝尔原理AECBxy30oFTFNmgFIeFIrMIBA30ox以B为基点,则A点的加速度为其中将上式投影到x轴上得联立求解（1）~（4）式,得aBaBa

tABaa

tA训练题1

质量为m1和m2的两重物，分别挂在两条绳子上，绳又分别绕在半径为r1和r2并装在同一轴的两鼓轮上，已知鼓轮对于转轴O的转动惯量为J，系统在重力作用下发生运动，求鼓轮的角加速度。取系统为研究对象，设转动的角加速度方向为逆时针。用达朗贝尔原理求解解：虚加惯性力和惯性力偶：由达朗贝尔原理列补充方程：

代入上式得：训练题2在图示机构中，沿斜面向上作纯滚动的圆柱体和鼓轮O均为均质物体，各重为P1和P2，半径均为R，绳子不可伸长，其质量不计，斜面倾角q

，如在鼓轮上作用一常力偶矩M，试求：(1)鼓轮的角加速度？(2)绳子的拉力？(3)轴承O处