上海长岛学校高一数学理模拟试题含解析

上海长岛学校高一数学理模拟试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.设集合A和B都是坐标平面上的点集，{（x，y）|x∈R，y∈R}，映射f：A→B使集合A中的元素（x，y）映射成集合B中的元素（x＋y，x－y），则在映射f下，象（2，1）的原象是（）A．（3，1）

B．（，）

C．（，－）

D．（1，3）参考答案：B2.已知全集U=R，集合A={x|x+1＜0}，B={x|x﹣3＜0}，那么集合（?UA）∩B=（）A．{x|﹣1≤x＜3} B．{x|﹣1＜x＜3} C．{x|x＜﹣1} D．{x|x＞3}参考答案：A【考点】交、并、补集的混合运算．【分析】先对两个集合进行化简，再根据集合运算的性质求集合（CUA）∩B【解答】解：A={x|x+1＜0}=（﹣∞，﹣1），B={x|x﹣3＜0}=（﹣∞，3），∴CUA=[﹣1，+∞）∴（CUA）∩B=[﹣1，3）故选A3.若且，则向量与的夹角为（

）

参考答案：D4.若函数，则的值为（

）A.5

B.－5

C.

D.4参考答案：B令本题选择B选项.

5.已知，则的值为（

）A、a

B、－a

C、

D、参考答案：A6.下列说法中正确的个数是（）①事件A，B中至少有一个发生的概率一定比A，B中恰有一个发生的概率大；②事件A，B同时发生的概率一定比事件A，B恰有一个发生的概率小；③互斥事件一定是对立事件，对立事件并不一定是互斥事件；④互斥事件不一定是对立事件，对立事件一定是互斥事件．A．0 B．1 C．2 D．3参考答案：B【考点】2K：命题的真假判断与应用．【分析】①事件A，B中至少有一个发生的概率一定不小于A，B中恰有一个发生的概率；②事件A，B同时发生的概率，不一定比A、B中恰有一个发生的概率小；根据对立事件与互斥事件的概念与性质，判断命题③、④是否正确．【解答】解：对于①，事件A，B中至少有一个发生的概率，包括事件A发生B不发生，A不发生B发生和A、B都发生；A，B中恰有一个发生，包括事件A发生B不发生，A不发生B发生；当事件A，B为对立事件时，事件A，B中至少有一个发生的概率与A，B中恰有一个发生的概率相等；∴①错误；对于②，事件A，B同时发生的概率，不一定比A、B中恰有一个发生的概率小，如事件A=B，是相同的且概率大于0的事件，那么A、B同时发生的概率是P（A）=P（B），A、B恰有一个发生是一个不可能事件，概率是0；∴②错误；对于③，由互斥事件和对立事件的概念知，互斥事件不一定是对立事件，对立事件一定是互斥事件，∴③错误；对于④，互斥事件不一定是对立事件，对立事件一定是互斥事件，④正确．综上，正确的命题是④，只有1个．故选：B．7.设集合A和B都是坐标平面上的点集{（x，y）|x∈R，y∈R}，映射f：A→B把集合A中的元素（x，y}映射成集合B中的元素（x+y，x﹣y），则在映射f下，象（2，1）的原象是(

)A．（3，1） B．（，） C．（，﹣） D．（1，3）参考答案：B【考点】映射．【专题】函数的性质及应用．【分析】根据映射的定义结合题意可得x+y=2，x﹣y=1，解得x，y的值，即可求出原像（x，y）【解答】解：由映射的定义结合题意可得x+y=2，x﹣y=1，解得x=，y=，故像（2，1）的原像是（，），故选B．【点评】本题主要考查映射的定义，在映射f下，像和原像的定义，属于基础题．8.化简得（）A．

B．

C．

D．参考答案：D【考点】向量加减混合运算及其几何意义．【分析】本题考查的知识点是向量加减混合运算及其几何意义，根据向量加法及减法的三角形法则，我们易得﹣+﹣的值．【解答】解：﹣+﹣=﹣﹣=﹣=故选D9.已知，则下列各式一定成立的是A.

B.

C.

D.参考答案：B因为a＞b，所以＞,A不一定成立；因为a＞b，所以＞,B成立；’因为a＞b，所以＞,C错因为a＞b，所以<，D错选B.

10.已知平面上三点共线，且,则对于函数，下列结论中错误的是（

）A.周期是

B.最大值是2C.是函数的一个对称点

D.函数在区间上单调递增参考答案：C二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.经过点,在x轴、y轴上截距相等的直线方程是

．参考答案：x＋y＋5＝0或3x－2y=0

（填对一个方程给3分，表示形式不唯一，答对即可）分类讨论，当直线过原点，即截距都为零，易得直线方程为3x－2y=0；当直线不过原点，由截距式，设直线方程为，把P点坐标带入，得x＋y＋5＝0。12.已知lg2=a，lg3=b，则log36=__________（用含a，b的代数式表示）.参考答案：由换底公式，13.已知点A(0,1)，B(3,2)，向量，则向量____，向量____．参考答案：(3,1)

(－7,－4)；【分析】由点，，向量，先求出点坐标为，由此利用平面向量坐标运算法则能求出向量和向量．【详解】点，，向量，点坐标为，向量，向量．【点睛】本题主要考查向量的加减坐标运算。14.数列的前项和为，已知，且对任意正整数，都有，若恒成立，则实数的最小值为________.参考答案：令，可得是首项为，公比为的等比数列，所以，，实数的最小值为，故答案为.15.已知y=f（x）是定义在R上的奇函数，且当x≥0时，，则此函数的值域为．参考答案：【考点】指数函数综合题；函数的值域．【分析】设t=，利用换元法求得当x≥0时函数的值域，再根据奇函数的性质求得当x≤0时函数的值域，然后求并集可得答案．【解答】解：设t=，当x≥0时，2x≥1，∴0＜t≤1，f（t）=﹣t2+t=﹣+，∴0≤f（t）≤，故当x≥0时，f（x）∈[0，]；∵y=f（x）是定义在R上的奇函数，∴当x≤0时，f（x）∈[﹣，0]；故函数的值域时[﹣，]．【点评】本题考查了函数的性质及其应用，考查了函数值域的求法，运用换元法求得x≥0时函数的值域是解答本题的关键．16.已知，0＜β＜α＜，cos（α﹣β）=，且sin（α+β）=，则sin2α的值为．参考答案：【考点】两角和与差的正弦函数．【分析】由0＜β＜α＜，可得0＜α﹣β＜，0＜α+β＜，利用已知及同角三角函数基本关系式可求sin（α﹣β），cos（α+β）的值，根据sin2α=sin[（α﹣β）+（α+β）]由两角和的正弦函数公式即可求值．【解答】解：∵0＜β＜α＜，cos（α﹣β）=，sin（α+β）=，∴0＜α﹣β＜，0＜α+β＜，∴sin（α﹣β）==，cos（α+β）==，∴sin2α=sin[（α﹣β）+（α+β）]=sin（α﹣β）cos（α+β）+cos（α﹣β）sin（α+β）=×+×=．故答案为：．17.已知，，若，则

参考答案：略三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.若函数f（x）=22x+2xa+a+1有零点，求实数a的取值范围．参考答案：【考点】函数的零点与方程根的关系．【分析】f（x）=22x+2xa+a+1=（2x）2+2xa+a+1，再由△=a2﹣4（a+1）≥0得a≥2+2或a≤2﹣2；从而讨论对称轴即可．【解答】解：f（x）=22x+2xa+a+1=（2x）2+2xa+a+1，△=a2﹣4（a+1）≥0；解得，a≥2+2或a≤2﹣2；若a≤2﹣2，则y=t2+ta+a+1的对称轴x=﹣＞0，故数f（x）=22x+2xa+a+1有零点；若a≥2+2，则y=a+1＜0；故矛盾；综上所述，a≤2﹣2．19.（本题10分）已知函数（Ⅰ）判断函数的奇偶性；（Ⅱ）写出函数的单调区间，并用函数单调性的定义证明.参考答案：略20.已知函数f（x）=（a，b，c∈Z）是奇函数，且f（1）=2，f（2）＜3．（1）求a，b，c的值．（2）判断函数f（x）在[1，+∞）上的单调性，并用定义证明你的结论．（3）解关于t的不等式：f（﹣t2﹣1）+f（|t|+3）＞0．参考答案：【考点】函数奇偶性的性质；函数单调性的判断与证明．【专题】综合题；转化思想；数学模型法；函数的性质及应用．【分析】（1）由f（x）为奇函数，可得f（﹣x）+f（x）=0，解得c=0，又f（1）==2，化为2b=a+1．f（2）=＜3，即可得出．（2）f（x）=，函数f（x）在[1，+∞）上为增函数．利用证明单调函数的方法即可证明．（3）利用函数的奇偶性与单调性即可解出．【解答】解：（1）∵f（x）为奇函数，∴f（﹣x）+f（x）=+=0，得﹣bx+c=﹣bx﹣c，解得c=0，又f（1）==2，化为2b=a+1．∵f（2）=＜3，∴，化为＜0，?（a+1）（a﹣2）＜0，解得﹣1＜a＜2，∵a∈Z，∴a=0或1．当a=0时，解得b=，与b∈Z矛盾，舍去．当a=1时，b=1，综上：a=b=1，c=0．（2）f（x）=，函数f（x）在[1，+∞）上为增函数．任取x1，x2∈[1，+∞），且x1＜x2．则f（x1）﹣f（x2）=﹣=，∵x1，x2∈[1，+∞），且x1＜x2．∴x1﹣x2＜0，x1x2＞1，∴f（x1）﹣f（x2）＜0，即f（x1）＜f（x2）．∴函数f（x）在[1，+∞）上为增函数．（3）∵f（﹣t2﹣1）+f（|t|+3）＞0，∴f（|t|+3）＞﹣f（﹣t2﹣1）=f（t2+1）．∵函数f（x）在[1，+∞）上为增函数，∴t2+1＜|t|+3，化为（|t|﹣2）（|t|+1）＜0，解得0≤|t|＜2，解得﹣2＜t＜2．【点