斯特潘-玻尔兹曼定理简单热力学

斯特潘—玻尔兹曼定理简单热力学

摘要：斯特潘-玻尔兹曼定理是肤色系统中最为重要的定理之

一，描述了辐射系统的能量密度和热力学温度之间的关系。同时，在

大学物理之中斯特潘-玻尔兹曼定理也有着相当重要的地位。在文中

主要就斯特潘-玻尔兹曼定理的简单热力学推导进行分析，希望以此

来对斯特潘-玻尔兹曼定理有着更加深刻的认识。

关键词：斯特潘-玻尔兹曼定理；简单热力学；推导

大學物理包括力、热、电、磁、光以及近代物理几个部分组成，

是理工农医学生必修重要基础课程。目的培养学生的创新能力和实践

能力、提高学生的科学素质打下基础的极其重要的教学环节。作为上

课的老师应该把教材上的内容讲解清楚透彻，教材上的内容由于篇幅

限制不可能把所有内容都一一俱到。比如近代物理黑体辐射斯特潘-

玻尔兹曼定理一般教材上只是给出公式，没有具体的推导过程。少数

教材说明了根据热力学理论或统计物理知识可以推导该公式。非物理

专业学生很难推导斯特潘-玻尔兹曼定理。文章用三种简单的热力学

方法，推导了黑体辐射斯特潘-玻尔兹曼定理，以帮助学生理解。

引言

斯特潘-玻尔兹曼定理（Stefan-Boltzmann'slaw）描述了一个

辐射系统的能量密度与其热力学温度之间的关系，是辐射理论中最初

也是最重要的定理之一。这个定理最初是由斯洛文尼亚物理学家约瑟

夫·斯特潘（JosefStefan）在整理法国科学家杜龙（PierreLouis

Dulong）和珀替（AlexisThérèsePetit）的实验结果后给出的。他

的学生玻尔兹曼（LudwigBoltzmann）将他的结论拓展到灰体辐射，

利用辐射场作为热机的工作物质，得到了我们现在称为斯特潘-玻尔

兹曼定理的结论。斯特潘利用这条定理，第一次较精确地给出了太阳

表面温度为5700K。

现今，这条定理是利用普朗克黑体辐射定理推导出的，但是它的

一种表达形式，即辐射场的体能量密度与其热力学温度的四次方成正

比这种关系，也可以采用多种比较初等的热力学方法得到。

推导过程中，需要应用：

（1）

这个前提条件，其中？籽是辐射场压强，u（T）是辐射场的内能

密度。这个关系可以从经典热力学[1]，统计力学[2]或者电动力学[3]

得到。

一、推导过程

下面我们采用三种简单的热力学方法来推导斯特潘-玻尔兹曼定

理，其核心思想都是采用了热力学第二定律。

证明一：

我们以辐射场作为工作物质，构造一个卡诺热机。热机的两个热

源，选择两个平衡态辐射源，温度分别是T1，T2，其中T1的温度比

较高。卡诺循环是由两个等温过程和两个绝热过程组合起来的循环。

在循环的第一步，进行等温膨胀过程，热机从温度T1的辐射场吸热，

在辐射压强？籽1下等温膨胀，与辐射场热平衡。

由式（1）可以看出，对热辐射来说，温度T不变，则其内能密

度u（T）就不变，所以辐射压强？籽也不变。换句话说，对辐射场

而言，相图上的等温线就是等压线。于是当辐射场体积从V增加到

V2时，其对外做功为：

在这个等温过程中，辐射场内能密度不变，但是体积从V1增加

到V2，则其总内能增加了：

由热力学第一定律，在这个过程中，热机从热源T1吸收的热量

是：

假定这个循环中，热源温度T1和T2只相差一个非常微小的量

dT，其体积改变量也是一个小量dV=V2-V1，于是，在这个循环过程

中，热机对外做的功，就是这个循环过程所包围的面积，可以近似看

作一个平行四边形的面积，即是：

代入式（2）的结果，这个热机的效率是：

由卡诺定理，我们知道，一个卡诺热机的效率是[1]：

对比式（4）和式（5），可以看到：

积分后，考虑当热力学温度T=0K时，辐射场能量密度为零，就

有：

即是，辐射场的体能量密度与其热力学温度的四次方成正比。其

中a是积分常数，也称为斯特潘-玻尔兹曼常数。

这个推导过程，应用了卡诺定理。卡诺定理是热力学第二定律的

一个重要推论。利用卡诺定理，可以证明许多有用的理论，比如相变

理论中重要的克拉伯龙方程。

证明二：

由卡诺定理，我们可以得到一个关系式[4]：

利用这个式子，可以简单的证明斯特潘-玻尔兹曼定理。

一个辐射场的内能，可以表达为单位体积内能，即内能密度乘以

其体积，即是：

工作日：

9:00-18:00

将内能对体积求偏微分，则有：（8）

由公式（1），有：（9）

将式（8）和式（9）代入式（6），有：

整理后，即有：

积分后即有：

证明三：

上述两种证明方式都應用了卡诺定理，我们知道，卡诺定理是可

以从热力学第二定律导出的，所以，应用热力学第二定律，也可以直

接给出斯特潘-玻尔兹曼定理。

由热力学第二定律的微分形式：

可以有：

其中S是系统的熵，带入式（7），有：

再代入式（1），有：

将S看作是T和V的函数，进行全微分，有：

对比式（10）和式（11），有：

将式（12）对T求偏微分，有：

同样的，将式（13）对V求偏微分，有：

对于热力学函数S来说，其二阶偏微分满足：

代入式（14）和式（15），有：

整理后，即有：

积分后即有：

二、结束语

在文章中，我们用三种不同方式证明了辐射场的能量密度和其热

力学温度的四次方成正比。其中斯特潘-玻尔兹曼常数（a=5.67×

10-8W·m-2·K-4）在我们的推导中是以一个积分常数形式出现的，

不能给出具体数值，而根据普朗克黑体辐射定理，可以给出这个常数

具体的数值。需要说明的是，斯特潘-玻尔兹曼定理有很多种证明方

式，我们在这儿给出的，是其中最为简单、最容易被学生理解的几种

热力学方式。掌握这几种方式推导的过程，可以有助于学生更好的理

解如何应用热力学第二定律和卡诺定理去解决一些问题，也能够加深

他们对黑体辐射中斯特潘-玻尔兹曼定理的理解和掌握。

参考文献

[1]杨素琴.平衡辐射场压强的探讨[J].雁北师范学院学报，

2004，20（2）：11-13.

[2]佟华.空腔辐射中辐射压强与辐射能量密度之间关系[J].吉

林师范大学学报（