第7章多元函数及其微分法课件

第一节多元函数的基本概念第二节偏导数第三节全微分第四节多元复合函数的求导法则第五节隐函数的求导公式第六节多元函数微分法的几何应用第七节多元函数的极值及其求法一、多元函数概念例如（i）圆柱体的体积公式，其中r、h是自变量。当r、h在定义域内取定一对数值（r，h）时，V就有唯一的值与之对应。

(ii)矩形的面积S=xy。其中x、y是自变量。当x、y在定义域内取定一对数值（x,y）时，S就有唯一的值与之对应。

1、多元函数定义设有变量x、y、z。若当x、y在一定范围内任意取定一对值(x，y)时，z按一定的法则f总有唯一确定的数值与之对应，则称这个f为x、y的二元函数。x、y叫做自变量，z叫因变量。x、y的变化范围叫做定义域，函数记为因为（x，y）对应xoy平面上的一个点P(x,y)。所以可以看作平面上点P的函数，记为z=f(P)。函数的定义域是使函数有定义的点的全体构成的点集。三元函数u=f(x,y,z)可看作空间内点P（x,y,z）的函数。定义域是空间内的点集。故二元函数f（x,y）的定义域是xoy平面上的点集。例1的定义域是满足的点（x,y）的全体。即xyO例2的定义域为二元函数z=f(x,y)的图形建立空间直角坐标系，先在xoy平面内作出函数z=f(x,y)的定义域D，对于D中的任一点P(x,y)，在空间中都能找到一点M与之对应，当P点变动时，对应点M的轨迹为z=f(x,y)的几何图形。它通常是一张曲面。XZyOPM图形为中心在原点的上半球面.函数z=sinxy0<x<3,0<y<3的几何图形2、邻域与点的距离小于的点P(x,y)的全体。记为即例如,在平面上,(圆邻域)在空间中,(球邻域)在讨论实际问题中也常使用方邻域,因为方邻域与圆邻域可以互相包含.。平面上的方邻域说明：若不需要强调邻域半径,也可写成点P0的去心邻域记为内点、外点、边界点设有点集E及一点P:若存在点P的某邻域U(P)E,则称P为E的内点；

若存在点P的某邻域U(P)∩E=,则称P为E的外点;若对点P的任一邻域U(P)既含E中的内点也含E则称P为E的边界点.的外点,显然,E的内点必属于E,

E的外点必不属于E,E的边界点可能属于E,也可能不属于E.EPPP3、区域若点集E上的点都是内点，则称E为开集；开区域连同它的边界一起称为闭区域.若集D中任意两点都可用一完全属于D的折线相连,则称D是连通的;连通的开集称为开区域,简称区域;

E的边界点的全体称为E的边界,记作E;D开区域及闭区域若点集,则称E为闭集；

对区域D,若存在正数K,使一切点PD与某定点

A的距离APK,则称D为有界域,界域.否则称为无例如，在平面上开区域闭区域点集

不是区域.虽然是开集，但是不连通o整个平面是最大的开区域,也是最大的闭区域；二、多元函数的极限如果对，总，当时有

则Ａ叫做当时的极限首先让我们回顾一下一元函数极限的定义记作或定义设f(x,y)的定义域为D，点是某个定义区域的内点或边界点。如果存在常数A，对，总，当D内的点P(x,y)满足都有则称常数A为函数当时的二重极限记为或例1设证明故总有证：要证说明：二重极限存在，必须是点以任何方式趋向于，函数都趋向于同一个数值A。若点以不同方式趋于时，函数趋于不同值或有的极限不存在，则可以断定函数极限不存在。例2观察例3多元函数的极限运算，与一元函数运算法则类似。三、多元函数的连续性定义设在区域或闭区域D内有定义。是D的内点或边界点且。若则称函数在点连续。例求一切初等函数在其定义域内是连续的。一、偏导数的定义1、一元函数的导数定义设y=f(X)在点的某邻域内有定义。若存在，则称函数在点处可导。此极限为函数在点处的导数。2、二元函数的偏导数定义设在的某一邻域内有定义。当而x在处有增量时，函数相应增量为若存在，则此极限为函数在点处对x的偏导数。即类似地,也有在点对y的偏导数上面给出的是二元函数在某点处的偏导数。如果z=f(x,y)在区域D内每一点(x,y)对x都有偏导数。则这些偏导数值构成了一个新的函数，称为z=f(x,y)对x的偏导函数。记作类似地也有对y的偏导函数3、推广三元函数对x的偏导数定义为例1求函数在点(1,3)处关于x和y的偏导数。

例2求的偏导数。例3求三元函数的偏导数。例4设（x>0，,y为任意实数）求证：例5已知理想气体的状态方程PV=RT（R为常量）求证：由此可见偏导数的记号是一个整体记号，并不代表相除的意思。而一元函数可以看作dy与dx之商，因此也称“微商”。4、二元函数偏导数的几何意义表示空间一个曲面。设为曲面上一点，过作平面与曲面相交于一曲线，则曲线方程为。那么就是这条曲线在点处的切线对x轴的斜率。ZXyZXy同样表示曲面z=f(x,y)与平面的交线在点处的切线对y轴的斜率。5、多元函数可导与连续的关系对一元函数，若函数在某点可导，则在此点必连续。对多元函数，是否也有此结论呢？若多元函数可导不一定连续。在点（0,0）处的偏导数和连续性例考察函数二、高阶偏导数设在区域D内存在偏导数这两个偏导数仍然是x、y的函数。若它们的偏导数还存在，则称这两个函数的偏导数为的二阶偏导数。按照对自变量求导顺序可以分为四种二阶偏导数：1、f(x,y)对x的二阶偏导数2、f(x,y)对x、y的二阶混合偏导数3、f(x,y)对y、x的二阶混合偏导数4、f(x,y)对y的二阶偏导数例1设，求，，，，定理若二阶混合偏导数在区域D内连续，则这两个二阶混合偏导数相等。例2验证函数满足方程例3设证明：函数满足方程上述两例中的方程称为拉普拉斯方程.一元函数的微分定义若可表示为则f(x)在点可微。叫做在点的微分。记作dy.引例设一圆柱体的底半径为r,高为h，当底半径和高各自获得增量和时，现分析圆柱体体积V的改变量圆柱体体积公式则即当和都很小时，方框部分可忽略不计设z=f(x,y)的定义域为D。，当x取得增量，y取得增量时，得到另一个点，那么P和的函数值之差称为全增量。其中

A,B不依赖于

x,

y,仅与

x,y有关，则称函数f(x,y)在点(x,y)可微，称为函数在点(x,y)的全微分,记作

若一、全微分二、多元函数可微、连续、偏导数之间的关系定理1若二元函数在点(x,y)可微分，则函数在这个点也连续。可微连续不连续不可微定理2(必要条件)若函数

z=f(x,y)在点(x,y)可微,则该函数在该点偏导数必存在,且在该点的全微分为注意：偏导数存在，全微分不一定存在。反例定理3若偏导数连续，则函数的全微分必存在。在点(0,0)偏导数存在，但不可微。的全微分为推广:类似可讨论三元及三元以上函数的可微性问题.例1求的全微分。例2求在点(2,1)处的全微分。例3求的全微分。三、全微分的应用若，连续，，都很小时就有例2计算的近似值。例1有一圆柱体受压后发生形变,半径由20cm增大到21cm,高度由100cm减少到99cm,求此圆柱体体积的近似改变量.一、复合函数的中间变量均为一元函数例1设，，。求全导数。例2设(u>0,)，，均可导，求。二、复合函数的中间变量均为多元函数例2设，f具有连续偏导数，证明：例1设，，。求，。三、复合函数的中间变量既有一元函数，又有多元函数1、例设，，求和。2、例1设，，求和。例2设，f具有二阶连续偏导数，求和。我们以前学习过由方程所确定的隐函数的求导方法。但这是在方程能确定一个一元函数且这个一元函数可导的前提下进行的。所以在用隐函数的求导法之前，必须弄清两个问题：1、在什么条件下，方程可确定隐函数。2、若隐函数存在，是否可导。隐函数存在定理1设在点的某一邻域内具有连续的偏导数。，则在这个邻域内能唯一确定一个具有连续导数的函数且这就是一元隐函数的求导公式。例1求由方程所确定的隐函数的一阶与二阶导数。隐函数存在定理2设在点的某一邻域内具有连续的偏导数。，则在这个邻域内能唯一确定一个具有连续导数的函数且例2设，求一、空间曲线的切线与法平面设空间曲线L的参数方程为其中t为参数切线方程：法平面：MN例1求曲线，，在点（1，1，1）的切线及法平面方程。曲线L参数方程的特殊形式：二、曲面的切平面与法线1、隐式的曲面方程设的偏导数在点连续且不同时为0，则在曲面上通过点M的一切曲线在点M的切线都在同一个平面上，这个平面叫做点M的切平面。M通过点M垂直于切平面的直线叫曲面在M点的法线。切平面：法线：例2求球面在点（1，2，3）的切平面及法线方程。例3求旋转抛物面在点(1,2,4)的切平面及法线方程。例4求出曲线，，上的点，使在该点的切线平行于平面。例5在曲线z=xy上求一点，使这点处的法线垂直于平面。1、定义设z=f(x,y)的定义域为D。，若存在，对，有，则称函数在点有极大值。，则称函数在点有极小值。一、多元函数的极值及最值2、定理（必要条件）二元函数Z=f(x,y)在点可微分，且在点处取得极值，则多元函数的驻点：使所有偏导数同时为0的点。由定理可知：可微多元函数的极值点必是驻点。但是,驻点不一定是极值点。(1)(2)(3)处有极小值．在函数)0,0(4322yxz+=处有极大值．在函数)0,0(22yxz+-=处无极值．在函数)0,0(xyz=3、二元函数极值判定定理设z=f(x,y)在内有直到二阶连续偏导数，，记则（1）时有极值，A<0时有极大值，A>0时有极小值。（2）时无极值（3）时不确定是否存在极值。具有二阶连续偏导数的二元函数z=f(x,y)求极值的步骤：第1步解方程组，