福建省三明市泰宁第三中学2021-2022学年高三数学理下学期期末试题含解析

福建省三明市泰宁第三中学2021-2022学年高三数学理下学期期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.设函数，则当时，表达式的展开式中常数项为（

）A．-20

B．20

C．-15

D．15参考答案：A2.已知集合，则（

）A．

B．

C．

D．参考答案：C3.已知是虚数单位.若＝，则 A. B.

C. D.参考答案：A4.已知函数（其中），则下列选项正确的是（）A．，都有

B．，当时，都有

C.，都有

D．，当时，都有参考答案：B因为当时，，所以舍去C,D因为，所以A错，选B.

5.已知是周期为2的奇函数，当时，设则(

)A.

B.C.D.参考答案：知识点：奇函数对数函数的性质B4B7D解析：因为，，所以c＜a＜b，则选D.【思路点拨】利用函数的周期性及奇偶性把所给的函数值转化到已知区间代入已知函数解析式，即可比较大小.6.如图是正方体的平面展开图，在这个正方体中,有以下5个命题：①与垂直；②与平行；③与是异面直线；④与成角；⑤异面直线。其中正确的个数为（

）A．1 B．2

C．3 D．4参考答案：C7.若复数，在复平面内对应的点关于y轴对称，且，则复数（

）A．－1

B．1

C．

D．参考答案：C，所以，故选C.8.已知l、m是两直线，α是平面，l∥α，m⊥α，则直线l、m的关系是（）A．l∥m B．l⊥mC．l与m是相交直线 D．l与m是异面直线参考答案：B【考点】LP：空间中直线与平面之间的位置关系．【分析】由线面垂直的性质定理及线面平行的性质定理得直线l、m的关系为l⊥m．【解答】解：∵l、m是两直线，α是平面，l∥α，m⊥α，∴由线面垂直的性质定理及线面平行的性质定理得直线l、m的关系为l⊥m．故选：B．【点评】本题考查命题真假的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系的应用，考查推理论证能力、运算求解能力、空间思维能力，考查函数与方程思想、化归转化思想、数形结合思想，是基础题．9.2019年是新中国成立七十周年，新中国成立以来，我国文化事业得到了充分发展，尤其是党的十八大以来，文化事业发展更加迅速，下图是从2013年到2018年六年间我国公共图书馆业机构数（个）与对应年份编号的散点图（为便于计算，将2013年编号为1，2014年编号为2，…，2018年编号为6，把每年的公共图书馆业机构个数作为因变量，把年份编号从1到6作为自变量进行回归分析），得到回归直线，其相关指数，给出下列结论，其中正确的个数是(

)①公共图书馆业机构数与年份的正相关性较强②公共图书馆业机构数平均每年增加13.743个③可预测2019年公共图书馆业机构数约为3192个A.0 B.1 C.2 D.3参考答案：D【分析】根据和确定是正相关还是负相关以及相关性的强弱；根据的值判断平均每年增加量；根据回归直线方程预测年公共图书馆业机构数.【详解】由图知点散布在从左下角到右上角的区域内，所以为正相关，又趋近于1，所以相关性较强，故①正确；由回归方程知②正确；由回归方程，当时，得估计值为3191.9≈3192，故③正确.故选：D.【点睛】回归直线方程中的的大小和正负分别决定了单位增加量以及相关型的正负；相关系数决定了相关性的强弱，越接近1相关性越强.10.已知二次函数的导函数为与x轴恰有一个交点则使恒成立的实数k的取值范围为（

）A．

B．

C.

D．参考答案：A∵二次函数∴∵∴∵与轴恰有一个交点∴，即.∵恒成立∴恒成立，即.∵，当且仅当时取等号∴故选A.

二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.设为定义在上的奇函数，当时，（为常数），则

；参考答案：-312.已知命题，，命题，，则

（

）

A.命题是假命题

B.命题是真命题

C.命题是真命题

D.命题是假命题参考答案：C略13.将函数的图象沿向量平移后，得到函数的图象，则函数

．参考答案：14.若平面向量=（cosθ，sinθ），=（1，﹣1），且⊥，则sin2θ的值是．参考答案：1

【考点】三角函数中的恒等变换应用；平面向量数量积的运算．【分析】利用向量垂直，就是数量积为0，求出cosθ﹣sinθ=0，两边平方，利用同角三角函数基本关系式，二倍角的正弦函数公式可求sin2θ的值．【解答】解：因为⊥，所以?=0，即：cosθ﹣sinθ=0，两边平方可得：cos2θ﹣2sinθcosθ+sin2θ=0，可得：1﹣sin2θ=0，解得：sin2θ=1．故答案为：1．15.__________参考答案：1

知识点：三角恒等变形

难度：1.16.在工程技术中，常用到双曲正弦函数和双曲余弦函数，双曲正弦函数和双曲余弦函数与我们学过的正弦函数和余弦函数有许多相类似的性质，请类比正、余弦函数的和角或差角公式，写出关于双曲正弦、双曲余弦函数的一个正确的类似公式

．参考答案：填入，，，四个之一即可．略17.已知，，那么

；参考答案：

三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.设函数． （Ⅰ）已知曲线在点处的切线的斜率为，求实数的值； （Ⅱ）讨论函数的单调性； （Ⅲ）在（Ⅰ）的条件下，求证：对于定义域内的任意一个，都有．参考答案：略19.已知椭圆过点．（1）求椭圆C的方程，并求其离心率；（2）过点P作x轴的垂线l，设点A为第四象限内一点且在椭圆C上（点A不在直线l上），点A关于l的对称点为，直线与C交于另一点B．设O为原点，判断直线AB与直线OP的位置关系，并说明理由．参考答案：（1）见解析；（2）见解析．（1）由椭圆方程椭圆过点，可得．∴，∴椭圆的方程为，离心率．（2）直线与直线平行．证明如下：设直线，，设点的坐标为，，由得，∴，∴，同理，∴，由，，有，∵在第四象限，∴，且不在直线上．∴，又，故，∴直线与直线平行．20.（本小题满分12分）2014年“双节”期间，高速公路车辆较多。某调查公司在一服务区从七座以下小型汽车中按进服务区的先后每间隔50辆就抽取一辆的抽样方法抽取40名驾驶员进行询问调查，将他们在某段高速公路的车速（km/t）分成六段：后得到如图的频率分布直方图．（1）求这40辆小型车辆车速的众数和中位数的估计值.(2)若从车速在的车辆中任抽取2辆，求车速在的车辆恰有一辆的概率.参考答案：(1)77.5(2)【知识点】随机抽样；古典概型.I1K2解析：（1）众数的估计值为最高的矩形的中点，即众数的估计值等于

……2分设图中虚线所对应的车速为，则中位数的估计值为：，解得即中位数的估计值为

………5分（2）从图中可知，车速在的车辆数为：（辆），………6分车速在的车辆数为：（辆）

………7分

设车速在的车辆设为，车速在的车辆设为，则所有基本事件有：共15种

………………

10分其中车速在的车辆恰有一辆的事件有：共8种

………11分所以，车速在的车辆恰有一辆的概率为.

………………12分。【思路点拨】（1）选出直方图中最高的矩形求出其底边的中点即为众数；求出从左边开始小矩形的面积和为0.5对应的横轴的左边即为中位数；利用各个小矩形的面积乘以对应矩形的底边的中点的和为数据的平均数．（2）从图中可知，车速在[60，65）的车辆数和车速在[65，70）的车辆数．从车速在（60，70）的车辆中任抽取2辆，设车速在[60，65）的车辆设为a，b，车速在[65，70）的车辆设为c，d，e，f，列出各自的基本事件数，从而求出相应的概率即可．21.（本小题满分13分）某校100名学生期中考试语文成绩的频率分布直方图如图4所示，其中成绩分组区间是：，，，，.

（1）求图中的值；

（2）根据频率分布直方图，估计这100名学生语文成绩的平均分；（3）若这100名学生语文成绩某些分数段的人数（）与数学成绩相应分数段的人数（）之比如下表所示，求数学成绩在之外的人数.分数段

参考答案：（1）依题意得，，解得。（2）这100名学生语文成绩的平均分为：（分）。（3）数学成绩在的人数为：，数学成绩在的人数为：，数学成绩在的人数为：，数学成绩在的人数为：

所以数学成绩在之外的人数为：。

22.已知函数f(x)=-ax(a∈R,e为自然对数的底数).(1)讨论函数f(x)的单调性；(2)若a=1，函数g(x)=(x-m)f(x)-+x2+x在区间（0，+）上为增函数，求整数m的最大值.参考答案：解：（Ⅰ）定义域为，，当时，，所以在上为增函数；………………