中考数学四边形中的动点问题小结精编

中考数学四边形中的动点问题小结精编

题型对应题目：例1，例2，例3，练习1，练习2，练习3；例4，例5，例6，例7，练习4，练习5。目标：掌握由动点产生的特殊图形和函数关系。由动点产生的特殊图形我们常见的四边形中的动点问题可以总结为单动点问题与双动点问题。解决问题的主要策略为以静制动，分类讨论，寻找临界点。例1已知如图：在平面直角坐标系中，O为坐标原点，四边形OABC是矩形，点A、C的坐标分别为A(10，0)、C(0，4)，点D是OA的中点，点P在BC边上运动，当△ODP是腰长为5的等腰三角形时，点P的坐标为。解析：根据题意，可以列出以下方程组：y=5y=(4x-10)/3x^2+y^2=25解方程得到点P的坐标为(6,2)。例2在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，若E、F是AC上两动点，分别从A、C两点以相同的速度1cm/s向C、A运动。⑴四边形DEBF是平行四边形吗？请说明理由。⑵若BD=12cm，AC=16cm，当运动时间t为何值时，四边形DEBF是矩形？解析：⑴四边形DEBF不一定是平行四边形，需要进一步证明。⑵当运动时间t为4s时，四边形DEBF是矩形。证明方法：根据题意，可列出以下方程组：EF=16-tDE=12-tBF=tDF=t解方程得到t=4，此时四边形DEBF是矩形。例3如图所示，在直角坐标系中，四边形OABC为直角梯形，OA∥BC，BC=14cm，A点坐标为（16，0），C点坐标为（0，2）。点P、Q分别从C、A同时出发，点P以2cm/s的速度由C向B运动，点Q以4cm/s的速度由A向O运动，当点Q停止运动时，点P也停止运动，设运动时间为ts（≤t≤4）。⑴求当t为多少时，四边形PQAB为平行四边形？⑵求当t为多少时，PQ所在直线将梯形OABC分成左右两部分，其中左部分的面积为右部分面积的一半，求出此时直线PQ的函数关系式。解析：⑴当t=2s时，四边形PQAB为平行四边形。证明方法：根据题意，可列出以下方程组：PA=16-2tQC=2tPB=7-tQA=4-t解方程得到t=2，此时四边形PQAB为平行四边形。⑵当t=3s时，PQ所在直线将梯形OABC分成左右两部分，其中左部分的面积为右部分面积的一半。证明方法：根据题意，可列出以下方程组：PA=16-2tQC=2tPB=5-tQA=1解方程得到PQ的函数关系式为y=3x-6。由动点产生的函数关系例4⑴如图1，在矩形MNPQ中，动点R从点N出发，沿N→P→Q→M方向运动至点M处停止。设点R运动的路程为x，△MNR的面积为y，如果y关于x的函数图象如图2所示，则当x=9时，点R应运动到（）。解析：根据题意，可列出以下方程组：y=(9-x)^2/2NP=2x-9MQ=(x-9)/2解方程得到点R的坐标为(9,0)，因此点R应运动到M处。⑵如图，在矩形ABCD中，AB=2，BC=1，动点P从点B出发，沿路线B→C→D作匀速运动，那么△ABP的面积S与点P运动的路程x之间的函数图象大致是（）。解析：根据题意，可列出以下方程组：BP=xCP=1-xAP=sqrt(5-4x^2)/2解方程得到S关于x的函数图象大致是一个抛物线。【例5】正方形ABCD的边长为2厘米，点E从点A开始沿AB边移动到点B，点F从点B开始沿BC边移动到点C，点G从点C开始沿CD边移动到点D，点H从点D开始沿DA边移动到点A。它们同时开始移动，且速度均为0.5厘米/秒。设运动的时间为t（秒）。⑴证明：△HAE≌△EBF。证明：因为正方形ABCD和EFGH的边长比为2∶1，所以AE=BF=1厘米，AH=BE=2-1=1厘米。又因为正方形ABCD和EFGH的中心重合，所以O1O2=0。又因为正方形ABCD和EFGH的形状和大小都不改变，所以它们在运动变化过程中始终相似。因此，△HAE≌△EBF。⑵设四边形EFGH的面积为S（平方厘米），求S与t之间的函数关系式，并写出自变量t的取值范围。解：由于正方形EFGH的边长为1厘米，所以它的面积为1平方厘米。又因为正方形ABCD和EFGH的形状和大小都不改变，所以它们在运动变化过程中始终相似。设正方形ABCD的重心为O，连接OH和OE，则OH和OE分别为△HAE和△EBF的中线，且OH=OE=1.5厘米。因此，正方形EFGH沿直线l以每秒1个单位的速度向左平移时，正方形ABCD绕O1以每秒45°顺时针方向开始旋转，且OH和OE始终保持水平。设正方形ABCD的旋转角度为θ，则θ=45t（单位：°）。设正方形ABCD的重心O在运动过程中的坐标为（x，y），则有：x=1.5sinθ=1.06（约）厘米，y=1.5cosθ=1.06（约）厘米。因此，正方形EFGH和正方形ABCD的重叠部分为一个等腰直角三角形，其面积为0.5平方厘米。所以，四边形EFGH的面积S为：S=1-0.5t（t≥0）。【例6】如图，已知正方形ABCD与正方形EFGH的边长分别是42和22，它们的中心O1，O2都在直线l上，AD∥l，EG在直线l上，l与DC相交于点M，ME=7-22，当正方形EFGH沿直线l以每秒1个单位的速度向左平移时，正方形ABCD也绕O1以每秒45°顺时针方向开始旋转，在运动变化过程中，它们的形状和大小都不改变。（1）在开始运动前，O1O2=10.5；（2）当两个正方形按照各自的运动方式同时运动3秒时，正方形ABCD停止旋转，这时AE=7，O1O2=5.25；（3）当正方形ABCD停止旋转后，正方形EFGH继续向左平移的时间为x秒，两正方形重叠部分的面积为y，求y与x之间的函数表达式。解：（1）因为正方形ABCD和EFGH的中心O1，O2都在直线l上，所以O1O2=42-22=20。因为M是直线l和DC的交点，所以MC=22，MD=20，ME=MC-MD=2。因为正方形EFGH沿直线l以每秒1个单位的速度向左平移，所以ME的长度每秒减少1个单位，即ME=7-22-t（t为时间，单位：秒）。因此，t=5，ME=2-5=-3。因为正方形ABCD绕O1以每秒45°顺时针方向开始旋转，所以旋转角度为45×3=135°。因为正方形ABCD的边长为42，所以AE=42sin135°=7。（3）设正方形ABCD的重心为O，正方形EFGH的重心为G，两重心之间的距离为d，则有：d=O1O2/2=10.5；因为正方形ABCD和EFGH的形状和大小都不改变，所以它们在运动变化过程中始终相似。设正方形ABCD的重心O在运动过程中的坐标为（x，y），则有：x=dsinθ=7.43（约）厘米，y=dcosθ=7.43（约）厘米，其中θ为正方形ABCD的旋转角度（单位：°）。因为正方形EFGH沿直线l以每秒1个单位的速度向左平移，所以正方形EFGH和正方形ABCD的重叠部分为一个等腰直角三角形，其面积为0.5×22×22=242平方厘米。因为正方形ABCD停止旋转后，正方形EFGH继续向左平移的时间为x秒，所以正方形EFGH向左平移的距离为x厘米。因为正方形ABCD和EFGH的中心O1，O2都在直线l上，所以正方形ABCD和EFGH的重心O和G也在直线l上。因此，正方形ABCD和EFGH的重叠部分的高为7.43（约）厘米，底为22-x厘米。所以，两正方形重叠部分的面积y为：y=0.5×(22-x)×7.43（0≤x≤22）。【例7】将一矩形纸片OABC放在平面直角坐标系中，O为原点，点A在x轴上，点C在y轴上，OA=10，OC=8。⑴如图1在OC边上取一点D，将△BCD沿BD折叠，使点C恰好落在OA边上，记作E点；①求点E的坐标及折痕DB的长；②在x轴上取两点M、N（点M在点N的左侧），且MN=4.5，求使四边形BDMN的周长最短的点M、点N的坐标。⑵如图2，在OC、CB边上选取适当的点F、G，将△FCG沿FG折叠，使点C落在OA上，记为H点，设OH=x，四边形OHGC的面积为S。求：S与x之间的函数关系式，并指出变量x的取值范围。解：⑴如图1所示，连接AD，BD，AE，BE，则△ABE和△DCB全等，所以DE=AB=10，CE=CB=8。因为BD是△BCD的中线，所以BD=DC/2=4。因为△BDE是等腰直角三角形，所以BE=DE/√2=5√2。因为点C恰好落在OA边上，所以点E的坐标为（10，0）。因为△BDE是等腰直角三角形，所以折痕DB的长为BD=4。如图2所示，连接OC，CG，OH，HG，则有：因为△FCG和△OCH全等，所以OH=CG=8-x。因为四边形OHGC是梯形，所以它的面积为：S=0.5（OH+CG）×CH=0.5（16-2x）×8=64-8x（0≤x≤8）。因此，S与x之间的函数关系式为：S=64-8x（0≤x≤8）。【练习1】在矩形OABC中，已知A、C两点的坐标分别为A(4,0)、C(0,2)，D为OA的中点。设点P是∠AOC平分线上的一个动点（不与点O重合）。⑴证明：无论点P运动到何处，PC总与PD相等。证明：连接PC、PD两线段，由D是OA中点可知，OD=DA，又∠AOC平分线上的点P到线段AC的距离相等，所以PC=PD。无论点P运动到何处，PC总与PD相等，证毕。⑵当点P运动到与点B的距离最小时，求P的坐标。连接BP并延长交AC于E，由相似三角形可知，PE=2，AE=8，所以AP=6。由∠APB=90°可得BP的斜率为-3/4，所以BP的解析式为y=-3/4x+9/4。设P的坐标为(x,y)，则由BP的解析式可得y=-3/4x+9/4，又由△APC相似于△BPE可得x/6=(x-3)/4，解得x=36/13，带入BP的解析式可得y=3/13，所以P的坐标为(36/13,3/13)。⑶已知E(1,-1)，当点P运动到何处时，△PDE的周长最小？求出此时点P的坐标和△PDE的周长。连接PD、PE两线段，设P的坐标为(x,y)，则PD的解析式为y=-(1/4)x+1，PE的解析式为y=x-1。由勾股定理可得DE的长度为√10，所以△PDE的周长为√(x^2+(1/4)x^2+1)+√((x-1)^2+(x-1)^2)+√10。化简可得周长为√(17/16)x^2-3x+12。由二次函数的顶点公式可知，当x=6/17时，周长最小，此时P的坐标为(6/17,5/17)，周长为√58/17。【练习2】平面直角坐标系中，四边形OABC为矩形，点A、B的坐标分别为(3,0)、(3,4)。动点M、N分别从O、B同时出发，以每秒1个单位的速度运动。其中，点M沿OA向终点A运动，点N沿BC向终点C运动。过点N作NP⊥BC，交AC于P，连接MP。已知动点运动了x秒。请你探索：若P点坐标为(3-x,x/3)，当x为何值时，△MPA是一个等腰三角形？有几种情况？写出研究成果并证明。设P的坐标为(x,y)，则N的坐标为(3,y)，M的坐标为(3-x,0)，由NP⊥BC可得NP的斜率为-3/4，所以NP的解析式为y=-3/4x+9/4。又由P在AC上可得P的坐标为(x,4x/3)，所以MP的斜率为-3x/4，所以MP的解析式为y=-3x^2/4+9x/4。设△MPA的底边PA的长度为a，则由勾股定理可得a^2=(3-x)^2+(4x/3-y)^2，又由△MPA的等腰性可得4x/3-y=a/2，联立可得a^2=25x^2/9-6x+9/4。当a=3-x时，即(3-x)^2+(4x/3-y)^2=(3-x)^2，解得y=4x/3，此时△MPA是等腰三角形。当a=3x/5时，即(3-x)^2+(4x/3-y)^2=(3x/5)^2，解得y=2x/5+12/25或y=-2x/5+12/5，此时△MPA也是等腰三角形。所以共有两种情况。【练习3】如图，在直角梯形COAB中，OC//AB，以O为原点建立平面直角坐标系，A、B、C三点的坐标分别为A(8,0)，B(10,0)，C(0,4)，点D为线段BC的中点，动点P从点O出发，以每秒1个单位的速度，沿折线OABD的路线移动，移动的时间为t秒。⑴求直线BC的解析式。直线BC的斜率为(4-0)/(0-10)=-2/5，过点D(-5,2)，所以直线BC的解析式为y=-2/5(x+5)+2。⑵若动点P在线段OA上移动，当t为何值时