学习材料力学弯曲内力

第十章

弯曲内力一、弯曲的概念与实例二、受弯杆件的简化三、剪力和弯矩四、剪力图和弯矩图五、荷载集度、剪力和弯矩的关系一、弯曲的概念与实例受外力特点：作用于构件上的外力作用线与杆件轴线垂直或者外力偶矩矢与杆轴线垂直杆件的变形：杆件轴线由直线变为曲线纵向对称面：过杆端截面的对称轴，且包含轴线的平面对称弯曲：所有外力都作用在杆件的纵向对称面内，弯曲变形后的轴线成为纵向对称面内的一条平面曲线梁的外力和变形特点已给出，那么横截面上的内力会是怎样？对于静定结构来说，可先根据力矩平衡将约束反力求出然后利用截面法求出横截面上的内力！三、剪力和弯矩x解：

(1)、根据平衡条件求支座反力FbFAy

=

L

,FaFBy

=

L(2)、截取m-m截面左段。AxAyFmFQmMy由

F

=

0,

得到：L=

FbFQ

=

FAyoALBFabmmFAyFBy由

Mo

=0,得到：LAyM

=

F

x

=

Fb

x2、剪力、弯矩的正、负号规定：QQ（＋）M（－）M符号规定左上右下，剪力为正左顺右逆，弯矩为正或下侧受拉为正解：1、根据平衡条件求支座反力ByAyF

=

3qaF

=

qa

M

A

=

0

MB

=

0qAB2M1

=

2qa2M

=

2qa24aaaCFAyFBy3、求指定截面上的剪力和弯矩例题一简支梁受力如图所示。试求C截面（跨中截面）上的内力。2、求C截面（跨中截面）上的内力qA2M1

=

2qaaAyFQcC

Fy由

F

=

0,得到：FAy

-

q

2a

-

FQc

=

0Mc\

FQc

=

FAy

-

q

2a=

-qa（剪力FQ的实际方向与假设方向相反，为负剪力）C由

M=0,

得到：MC

-

FAy

2a

+

2qa

a

-

M1

=

01\

MC

=

FAy

2a

-

2qa

a

+

M2=

2qa（弯矩M的实际方向与假设方向相同，为正弯矩）2M2

=

2qa如以右侧梁作为研究对象，则：McFQc

=

q

2a

-

FBy=

-qaMC

=

FBy

2a

-

2qa

a

-

M

2=

2qa2为了计算方便，通常取外力比较简单的一段梁作为研究对象。qBaCFQcFByqAB2M1

=

2qa2M2

=

2qa4aaaCAyFByF取右段梁为研究对象:FQc

=

q

2a

-

FBy=

-qa取左段梁为研究对象:FQc

=

FAy

-

q

2a

=

-qaM

C

=

FAy

2a-

2qa

a

+

M1=

2qa22a

-

2qa

a

-

M

2MC

=

FBy=

2qa2解：

1、根据平衡条件已求出支座反力FAy

=

3KNFBy

=

7KNFAyABM

0

=

8KN.m1m1m1m1m2mq=2KN/m例题

一外伸梁受力如图所示。试求D左、D右、B左、B右截面上的内力。P=2KNDCFBy2、求D左、D右、B左、B右截面上的内力?ABM

0

=

8KN.m1m1m1m1m2mq=2KN/mP=2KNDCFByFAyD左截面：FQD左=

Fy

(左侧)=FAy

=3KN左

D

=

FAy

·1MD

=

M

(左侧)=

3KN.mFAyABM

0

=

8KN.m1m1m1m1m2mq=2KN/mP=2KNDCFByD右截面：FQD右MD右=

Fy

(右侧)=FAy

=3KN=

MD

(右侧)

=

FAy

·1-

Mo

=

3

-8=

-5KN

m左FQB左=

Fy

(左侧)

=

FAy

-

q

3

=

-3KNBB左M

=20·

4

-

M

-

q

3

3M

(左侧)=FAy=

-5KN.mFAyB

截面：ABM

0

=

8KN.m1m1m1m1m2mq=2KN/mP=2KNDCFBy右与截面相比，该截面的内力只增加了约束反力，故有：左BByFFQB=

FQB右

左+

FBy

=

-3

+

7

=

4KNM

B

=

M

B

+

FBy

0

=

M

B右

左

左=

-5KN.m亦可取梁的右侧的外力简化，但必须注意外力的符号变化。FAyB

截面：ABM

0

=

8KN.m1m1m1m1m2mq=2KN/mP=2KNDCFBy三、剪力图和弯矩图一般情况下，梁截面上的剪力和弯矩随截面位置不同而变化，因此需要知道整个梁上每个截面的剪力和弯矩。由于梁上的荷载有均布荷载，集中力和集中弯矩，因此，很多情况下，不像作轴力图和扭矩图那样，控制截面之间的内力是不变化的，因此在作图之

前，需找出力和位置之间的函数关系。FQ

=

FQ

(x),

M

=

M

(x)2内力与外力的相依关系某一截面上的内力与作用在该截面一侧局部杆件上的外力相平衡；在载荷无突变的一段杆的各截面上内力按相同的规律变化；ABM

0

=

8KN.m1m

1m1m

1mq=2KN/mP=2KNEDF2m

FByFAy因此，必须分段列出梁的剪力方程和弯矩方程，各段的分界点为各段梁的控制截面。所谓控制截面,即外力规律发生变化的截面—集中力、集中力偶作用点、分布载荷的起点和终点处的横截面。3控制截面的概念xM(+)(-)(-)x注意：必须标明控制截面上的内力值4剪力图和弯矩图剪力图和弯矩图——用图示方法形象地表示剪力和弯矩沿梁轴线的变化情况。FQ

(+)max例题1悬臂梁受力如图所示。试列出梁的剪力方程和弯矩方程，作出梁的剪力图和弯矩图，并求出梁的

FQ

和

M及其max所PACBaaxym=Pa在截面位置。解：取参考坐标系Axy。

1、列出梁的剪力方程和弯矩方程AB段:FQ

(x)

=

0(0

£

x

<

a)M

(x)

=

m

=

Pa

(0

<

x

£

a)xPm=PaACBaaxxBC段:FQ

(x)

=

-P(a

<

x

<

2a)M

(x)

=

m

-

P(x

-

a)=

2Pa

-

Px

(a

£

x

<

2a)2、作梁的剪力图和弯矩图-PFQ

-图PaM

-图(+)(-)maxmax3、求

FQ

和

MFQmaxMmax=P（在BC段的各截面）=Pa（在AB段的各截面）A

q

F=qaCa

2aB

x例题2外伸简支梁受力如图所示。试列出梁的剪力方程和弯矩方程，作出梁的剪力图和弯矩图。y解：1、取参考坐标系Cxy。根据平衡条件求支座反力A

M

=

0By2F

=

1

qa

MB

=

0Ay2F

=

5

qaFAyFByA

q

yF=qaC2aa

AyFFByQF

(x)

=

-qa2、列出梁的剪力方程和弯矩方程CA段:B

x(0

<

x

<

a)xQ

AyAB段:(a

<

x

<

3a)2F

(x)

=

-qa

+

F

-

q(x

-

a)

=

5

qa

-

qxx22M

(x)

=

-qax

+

5

qa(x

-

a)

-

1

q(x

-

a)2(a

£

x

£

3a)M

(x)

=

-qax

(0

£

x

£

a)yA

q

F=qaCa2aB

xFAyFBy3、作梁的剪力图和弯矩图QF

-图(-)-qaQ23F

(x

=

a

)=

qa+Q21F

(x

=

3a

)

=

-

qa-1-

qa2qa32(-)(+)-

qa2(-)E2x

=

3

adM

5=

-qa

+

qa

-

a(x

-

a)dx

25\

x

=

a2\

M

(x

=

5

a)

=

1

qa22

82E1qa8(+)Q=

F

(x)

=

0例3.

简支梁AB受力如图，试作该梁的剪力图和弯矩图。ya

a

apA

xCDpaFBFByAyxxx解：1.

支座反力3

F

=

2P

(›)By-

pa

-

pa

+

RB

3a

=

0

mA

=

0,3F

=

P

(›)Ay

F

=

0,

FAy

-

P

+

RB

=

0y2.剪力方程、弯矩方程FQ

(x

)-

2

p-

2

pDB(2a

£

x

<

3a)CD(a

<

x

£

2a)AC(0

<

x

<

a)pM(x

)p

x

-

p(x

-

a)32

p

(3a

-

x)3332a

<

x

£

3a)3a

£

x

<

2a)30

£

x

£

a)p

xxaaapapCBDFAyFByxxxP／32P／3QxPa/32Pa/3FDBM

(x

)Q(x

)

p

x

-

p(x

-

a)32

p

(3a

-

x)3

3(2a

<

x

£

3a)A(0

£

x

£

a)

p

x3-

2

p3(a

£

x

<

2a)-

2

p3(2a

£

x

<

3a)

yAC

CD(0

<

x

<

a)

(a

<

x

£

2a)

p3.剪力图、弯矩图33DB

:

FPQ

(

x

)Q

(

x

)=

-

2P

=

const

,CD

:

F

=

-

2P

=

const

,AC

:

FQ

(

x

)

=

3

=

const

,33DB

:

x

=

2a,

M

=

2Pa

;

x

=

3a,

M

=

0.CD

:

x

=

a,

M

=

Pa

;

x

=

2a,

M

=

-

Pa

;3

3AC

:

x

=

0,

M

=

0;

x

=

a,

M

=

Pa

;MxoPa/3内力与外力间的微分关系及内力图形状判断五、荷载集度、剪力和弯矩的关系SdFSdxdxd2

Mdx2=

q(x)

dM

=

F=

q(x)l2幻灯片32l