第6章-窄带随机过程课件

第六章窄带随机过程一、窄带随机过程的定义很多无线电系统的通频带是比较窄的，它们远小于其中心频率，这种系统只允许输入信号靠近附近的频率分量通过，故称为窄带系统。其满足：,

一般为高频载波。同理，可定义窄带随机过程，即：若一个随机过程的功率谱密度，只分布在高频载波ω0

附近的一个较窄的频率范围∆ω内，且满足ω0>>∆ω时，则称该过程为窄带随机过程。记为：Z(t)

。例：图6.1为以窄带随机过程的功率谱密度函数问题:对应于功率谱密度GZ(ω)的窄带随机过程Z(t)的表达式为何？即。1.由可知:

若Gz(ω)占的频带很窄，则│ZT(ω)│也一定占很窄的频带。2.由频移特性(《信号与线性系统》上册P166-168)可知：

Gz(ω)的谱特征实际上是一个具有幅度慢变化(∵∆ω窄)

的随机过程谱特征经移频变换的结果。即时域中的一个慢变化信号对一高频(ω0)信号的调幅变换。因此，任一窄带随机过程Z(t)可用下式表示：表达式1：引入Ф(t)是为了不失一般性的考虑。式中B(t)与Ф(t)分别称为窄带随机过程Z(t)的包络函数与相位函数，且B(t)和Ф(t)都是随时间

t慢变化的随机过程。Z(t)的一个实现（样本函数）如图6.2所示。表达式2：

其中：

由于与正交，故称X(t)为Z(t)的同相分量，Y(t)为Z(t)的正交分量。引入表达式2的目的是将Z(t)分解成两个相互正交的分量，以便于分别分析。表达式1和表达式2两者间的几何关系：表达式1：表达式2：噪声通过窄带线性系统形成窄带随机过程的物理现象输出信号的振荡频率等于窄带系统的谐振频率ω0；

输出信号的振幅取决于输入脉冲信号的面积。由于输入脉冲信号的面积是随机的，故输出的振幅也是随机的；系统是有耗的，故输出信号是衰减振荡的。

窄带系统的总体输出就是许多个不同时刻输出衰减振荡随机信号的和，即可表示为

其中。表达式1：

表达式2：问题的提出：

若已知Z(t)的功率谱密度或统计特性（讨论平稳窄带过程），则其B(t)与Ф(t)

或X(t)和Y(t)

的统计特性如何确定呢？二、解析信号与希尔伯特变换*

1．解析信号的引入时域实信号S(t)

满足共轭对称性，即，

由此可知：时域实信号正、负频域的频谱可互求。

从有效利用信号的角度出发，实信号负频域部分是冗余的，所以只要保留正频域的频谱，记为，即可。

若只取正频域频谱，则，即不满足共轭对称性，且时域复信号。

复信号=实部+虚部，传送二路信号不经济。信号传输：实信号；信号处理：复信号。问题：如何由给定的时域实信号构造对应的时域复信号?2．解析信号的构造

对给定的时域实信号s(t)，设构造的时域复信号为

其中，为一由s(t)构造的信号，其构造方法可为，即，

H(f)的设计要求：

1．要满足使得Z(f)只有正频域频谱；

2．要使z(t)信号与s(t)信号的总能量保持不变。由此可得，

。故此，H[s(t)]，称为Hilbert变换。

H(f)或h(t)称为Hilbert变换器。它不改变信号的幅频特性，只改变信号的相频特性。

由此方法构造的复信号称为实信号s(t)的解析信号。写为H

。

3．Hilbert变换的性质

性质1.

H[]=。

性质2

若，则

H[]

性质3

和x(t)的能量及平均功率相等，即

。性质4.

平稳随机过程X(t)和其对应的Hilbert变换的自相关函数满足：

，

其中，性质5.

平稳随机过程X(t)和其对应的Hilbert变换的互相关函数满足：

，

且为奇函数。即由此可知，X(t)与在同一时刻正交。

性质6.

设具有有限带宽的信号的傅氏变换，假定，则有H[]H[]三、窄带随机过程的性质问题：若已知Z(t)的功率谱密度或统计特性（讨论平稳窄带过程），则其和或和的统计特性如何确定呢？

若Z(t)是任意的窄带、宽平稳、实随机过程，零均且功率谱密度满足：

则X(t)和Y(t)具有下列性质：

性质1．

X(t)和Y(t)各自宽平稳且联合宽平稳。性质2．

性质3．

性质4．

性质5．

性质6．

性质7．

性质8．

性质9．

性质10．

性质11．

性质12．

其中，Lp[·]为求等效低通运算。即，令ω0=0

窄带随机过程性质的证明，p.165~168。

窄带随机过程的性质的证明与讨论：1.均值∵

∴由的条件，可知：2.相关函数

由Z(t)的平稳性：可知，Z(t)的自相关函数应该与时间t无关，而仅与有关。即t可为任何值，而不影响。故，(1)令t=0，可得：（2）令t=π/2ω0，可得：

结论一:若Z(t)是宽平稳的,则X(t)与Y(t)也是宽平稳的。

、以及、的性质：性质1.

窄带随机过程的同相和正交分量的自相关函数相等。

由上述关系式（2）-（1），可得性质2.

同相和正交分量的互相关函数为奇函数。由式（3）同理可得：由互相关函数性质：，可得：

性质3.

同一时刻的X(t)与Y(t)互不相关。

和为奇函数

性质3.

零均窄带平稳随机过程Z(t)、X(t)、Y(t)的方差相同。

由（1）和(2)式,令,可得:

若窄带平稳随机过程的均值为零，则可得：四.窄带高斯随机过程Z(t)1.Z(t)的同相分量X(t)和正交分量Y(t)的概率分布由，可得：由Z(t)为高斯的可知：X(t1)和Y(t2)也是高斯随机变量。又因为高斯过程若是宽平稳的，则一定是严平稳的，而严平稳随机过程的概率密度函数与时间起点无关，即有：，t的任意性。，t的任意性。故，其中，可替换为或。结论二、零均窄带平稳高斯随机过程Z(t)，其同相分量X(t)和正交分量Y(t)同样是平稳高斯随机过程，且具有一般窄带平稳过程的性质。同时由可知：同时刻的X(t)与Y(t)互不相关，统计独立。2．Z(t)的包络B(t)和相位Ф(t)的概率分布若Z(t)为零均窄带平稳高斯随机过程，则。设B(t)和Ф(t)的二维概率密度函数为：

其中：则，。，。由边缘分布可得

(B(t)的包络)，相位Ф(t)在[0，2π]上取值。结论三、零均窄带平稳高斯随机过程：其包络B(t)服从瑞利分布，相位Ф(t)服从均匀分布。且B(t)与Ф(t)在同一时刻t是统计独立的。

有窄带过程，则必存在非窄带过程。因此，相对于窄带过程我们可以给非窄带过程下一个粗略的定义，即：功率谱分布的频率范围可与其所在的中心频率比拟的（或不满足∆f<<fo条件的）随机过程，称为非窄带过程。例：求窄带高斯随机过程包络平方的概率分布。设包络的平方为：，

已知：。求。解：五、余弦波加窄带高斯过程

通信系统接收机前端模型其中：θ

是[0，2π]上均匀分布的随机变量。S(t)为随相余弦信号；。

由此可见，研究余弦信号加窄带高斯过程的重要性。Z(t)为零均窄带高斯过程，其其中，设合成信号：其中：为确知量，θ

是[0，2π]上均匀分布的随机变量。令：则（4）式可改写为：其中：。，B(t)为R(t)的包络函数，Ф(t)为R(t)的相位函数。则B(t)与Ф(t)在同一时刻t的包络和相位分别为问题：余弦信号加窄带高斯过程之和R(t)的包络函数B(t)和相位函数Ф(t)的统计特征如何？1.包络函数B(t)的统计特征若θ给定（即θ为一确定值），则同理，

在给定θ的条件下，X(t)和Y(t)在任意时刻t，随机变量Xt和Yt的联合概率密度函数为：利用（5）式可得由此可求出的表达式如下：

包络的条件概率：上式与θ无关，故可得：上式称为：广义瑞利分布或莱斯密度函数。

若a=0，则退化为瑞利分布。其中，是零阶修正贝塞尔函数。其级数形式为。

当x<<1时，有。因此当信噪比（信号平均功率与噪声平均功率之比）很小，即时，则，故包络的概率密度退化为瑞利分布。b)

当x>>1时，有因此当信噪比很大时，包络的概率密度为其将趋于高斯分布。2.相位函数的统计特征代入，

并求积分可得：

，故，相位分布积分较复杂。小结：Z(t)为零均窄带高斯过程，其。1.由可知，X(t)和Y(t)分别与XN(t)和YN(t)呈线性关系，而且二者分别是均值为和窄带高斯过程；2．由可知，B(t)和Ф(t)与X(t)和Y(t)为非线性关系，令