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文档简介
1.2余弦定理问题提出在三角形中,已知两边及其夹角,怎么求出此角的对边?已知三条边,怎么求出它的三个角呢?分析理解如图,根据向量的数量积,可以得到a2
=
BC
•BCABCabc
=
(AC
-
AB)
•(AC
-
AB)2
2=
AC
-
2AC
•AB
+
AB2
2=
AC
-
2
|
AC
|
•|
AB
|
cos
A
+
AB=
b2
-
2bc
cos
A
+
c2即a2
=
b2
+
c2
-
2bc
cos
Ac2
=
a2
+
b2
-
2ab
cos
C余弦定理：三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍,即同理可证b2
=
c2
+
a2
-
2ca
cos
Ba2
=
b2
+
c2
-
2bc
cos
A
b2
=
c2
+
a2
-
2ca
cos
B
c2
=
a2
+
b2
-
2ab
cos
C利用余弦定理，可以解决以下两类有关三角形的问题：（1）已知三边，求三个角；（2）已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两个角。延伸变形2222
b
cb
+
c
-
a2222
b
ca
+
c
-
bc
o
s
A
=c
o
s
B
=2222
a
ba
+
b
-
cc
o
s
C
=论:
在D
ABC
中，若a
2
+b
2
=c
2，则C为直角；若a2
+b2
>c2，则C为锐角；若a2
+b2
<c2，则C为钝角；推例4：如图,有两条直线AB和CD相交成80O角,交点是O.甲乙两人同时从点O分别沿OA,OC方向出发,速度分别为4km/h和4.5km/h.3时后两人相距多远(结果精确到0.1km)?分析
经过3时,甲到达点P,OP=4×3=12(km),乙到达点Q,OQ=4.5×3=13.5(km),问题转化为在△OPQ中,已知OP=12km,
OQ=13.5km,∠POQ=
80O,求PQ的长.AB
O
PDCQ80O解
经过3时后,甲到达点P,OP=4×3=12(km),乙到达点Q,OQ=4.5×3=13.5(km).依余弦定理,知PQ
=
OP2
+
OQ2
-
2OP
•OQ
cos
—
POQ=
122
+13.52
-
2
·12
·13.5
cos
80»16.4(km)答
3时后两人相距约16.4km.例5：如图是公元前约400年古希腊数学家泰特托斯用来构造无理数及∠DAB的大小(长度精确到0.1,角度精确到1O)?5,...
的图形.试计算图中线段BD的长度2,
3,AB11C1D23解.在△BCD中,BC=1,CD=1,∠BCD=135O.因为BD2
=
BC
2
+
CD2
-
2BC
•CD
cos
—
BCD=12
+12
-
2
·1·1cos135=
2
+
2BD
»1.8所以2
+
2
,
AD
=
3在△ABD中,AB=1,BD
=因为AB2
+
AD2
-
BD2cos
—
DAB
=2
AB
•AD=12
+(
3)2
-(2
+
2)2·1·
3»
0.1691所以—
DAB
»
801.在ABC中，已知a＝7，b＝10，c＝6，求A、B和C.cosA＝b2＋c2－a22bca2＋b2－c22ab解：∵∴
A≈44°∵
cosC＝∴
C≈36°∴
B＝180°－(A＋C)≈100°.＝0.725，＝0.8071，2. ΔABC中，a=2，b=22，C=15°，解此三角形.解：∵c
2∴c＝=
a
2
+
b
2
-
2ab
cos
C＝8－46
-
2∴cos
B
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