第四章数值积分与数值微分(第一次)课件

第四章数值积分与数值微分数学分析两种基本运算积分微分数值积分数值微分数值计算方法2016.4.14插值型求积公式龙贝格求积公式高斯求积公式复化求积公式特殊节点数值微分数值积分本章主要内容一、数值求积的基本思想

积分

只要找到被积函数

f(x)原函数F(x)，便有牛顿—莱布尼兹(Newton—Leibniz)公式实际困难：大量的被积函数（,sinx2等）,找不到用初等函数表示的原函数；另外,f(x)是（测量或数值计算出的）一张数据表时，牛顿—莱布尼兹公式也不能直接运用。

积分中值定理：在[a,b]内存在一点，有

f()成立。§1

引言

就是说,底为b-a而高为f()的矩形面积恰等于所求曲边梯形的面积

.问题在于点ζ的具体位置一般是不知道的，因而难以准确算出f()的值．我们将f()称为区间[a,b]上的平均高度．这样,只要对平均高度f()提供一种算法,相应地便获得一种数值求积方法．

如果用两端点的“高度”f(a)与f(b)的算术平均作为平均高度f()

的近似值，这样导出的求积公式:

便是我们所熟悉的梯形公式

.

而如果改用区间中点的“高度”f(c)近似地取代平均高度f()，则又可导出所谓中矩形公式(今后简称矩形公式)：(1.1)(1.2)

更一般地，我们可以在区间[a，b]上适当选取某些节点xk，然后用

f(xk)加权平均得到平均高度f(ζ)的近似值，这样构造出的求积公式具有下列形式式中

xk称为求积节点；Ak称为求积系数，亦称为伴随节点xk的权．权Ak仅仅与节点xk的选取有关，而不依赖于被积函数f(x)的具体形式．使积分公式具有通用性

这类数值积分方法通常称作能机械求积，其特点是将积分求值问题归结为函数值的计算，这就避开了牛顿——莱布尼兹公式需要寻求原函数的困难．(1.3)二、代数精度的概念

数值求积方法是近似方法，为要保证精度，我们自然希望求积公式能对“尽可能多”的函数准确地成立，这就提出了所谓代数精度的概念．

定义1

如果某个求积公式对于次数≤m的多项式均能准确地成立，但对于m+1次多项式就不一定准确，则称该求积公式具有m次代数精度．

一般地，欲使求积公式具有m次代数精度，只要令它对于f(x)=1，x，…，xm都能准确成立，这就要求例1：考察其代数精度。f(x)abf(a)f(b)梯形公式解：逐次检查公式是否精确成立代入P0=1：=代入P1=x：=代入P2=x2：代数精度=1例2

试构造形如

f(x)dxA0f(0)+A1f(h)+A2f(2h)的数值求积公式,使其代数精度尽可能高,并指出其代数精度的阶数.3h0解:

令公式对

f(x)=1,x,x2

均准确成立,则有3h=A0+A1+A2h2=0+

A1h+A22h9h3=0+A1h2+A24h229故求积公式的形式为解之得

A0=h,

A1=0,A2=h.9434f(x)dxf(0)+f(2h)3h43h43h0由公式的构造知,公式至少具有2次代数精度;而当f(x)=x3时,公式的左边=h4,右边=18h4,公式的左边右边,说明此公式对f(x)=x3不能准确成立.因此,公式只具有2次代数精度.814三、求积公式的收敛性与稳定性

定理3表明，只要求积系数Ak＞0(k＝0,1,…,n)，就能保证计算的稳定性．

定义2

在求积公式中，若

其中，则称求积公式是收敛的．由于计算f(xk)可能有误差,实际得到

定义3

对任给e＞0，若≤δ(k=0,1,…,n),就有,则称求积公式是稳定的.

定理3

若求积公式(1．3)中系数Ak＞0(k＝0，1，…，n)，则此求积公式是稳定的．

1、给定形如的求积公式，试确定系数，使公式具有尽可能高的代数精度.

解根据题意可令分别代入求积公式使它精确成立

当时，得

当时，得课堂练习

当时，得解得,于是得

当时，而上式右端为，故公式对不精确成立，其代数精度为2.本节课主要内容插值型求积公式定义性质误差代数精度常用公式牛顿科特斯公式近似计算思路利用插值多项式

则积分易算。

在[a,b]上取ax0<x1<…<xn

b，做f的

n

次插值多项式，即得到Ak由决定，与无关。节点

f(x)插值型积分公式误差§4.1.3

插值型的求积公式与Newton-Cotes公式关键是f(x)如果求积公式是插值型的,按余项式,对于次数≤

n的多项式f(x)，其余项R[f]等于0，因而这时求积公式至少具有n次代数精度．定理1：形如的求积公式至少有n

次代数精度

该公式为插值型（即：）为便于计算，一般取等距离节点得到近似公式:§4.2.1、Newton-Cotes公式2、把[a,b]二等分，作2次插值，有此公式称为辛普森（Simpson）公式。1、对于[a,b]上1次插值，有此即梯形公式。

节点等距分布：令Cotes系数注：Cotes系数仅取决于n

和i，可查表得到。与f(x)及区间[a,b]均无关。3、把[a,b]n等分，用插值Ln(x)近似

f(x)积分，有当n=4时,牛顿-柯特斯公式特别称作柯特斯公式,其形式为

若求积公式(1.3)的代数精度为，则有求积公式余项的表达式(1.7)可以证明余项形如（1.8）其中为不依赖于的待定参数,

结果表明当是次数小于等于的多项式时，由于，故此时，即求积公式(1.3)精确成立.

而当时，(1.8)的右端故可求得

§4.1.4

求积公式的余项（1.9）代入余项(1.8)中可以得到更细致的余项表达式.

梯形公式(1.1)的代数精度为1，可以证明它的余项表达式为其中于是得到梯形公式(1.1)的余项为（1.10）

对中矩形公式(1.2)，其代数精度为1，可以证明其中于是得到中矩形公式(1.2)的余项为（1.11）已学知识回顾n=1:TrapezoidalRule/*令x=a+th,h=ba,用中值定理*/代数精度=1n=2:Simpson’sRule代数精度=3n=3:Simpson’s3/8-Rule,代数精度=3,n=4:CotesRule,代数精度=5,n

为偶数阶的Newton-Cotes

公式至少有n+1

次代数精度。几种低阶求积公式的余项§4.2.2、偶阶求积公式的代数精度

作为插值型的求积公式，n阶的牛顿-柯特斯公式至少具有n次的插值精度（定理1）。实际的代数精度还可进一步提高，一般地，可以证明下述定理:

定理2

当阶n为偶数时，牛顿-柯特斯公式至少有

n+1次代数精度.注：由公式知，当n≥8时，柯特斯系数出现负值，这时，初始数据误差将会引起计算结果误差增大，即计算不稳定。因此，实际计算不用n≥8的牛顿-柯特斯公式.

证明我们只要验证，当为偶数时，牛顿-柯特斯公式对的余项为零.

由于这里引进变换并注意到有所以按余项公式有若为偶数，则为整数，再令进一步有因为被积函数为奇函数，所以估计截断误差为解用梯形公式计算:=2.1835估计截断误差为=0.6796用Simpson公式计算：=2.0263．例3

试分别使用梯形公式和Simpson公式计算积分的近似值，并估计截断误差.=198.43=0.068904、求例3中求积公式的余项

解由于此求积公式的代数精度为2，故余项表达式为

.令，得，于是有故得本节主要内容1、复化求积公式构造思想公式余项2、龙贝格算法构造思想上机计算3、高斯求积公式构造过程§4、3复化求积公式高次插值有Runge现象，故采用分段低次插值分段低次合成的Newton-Cotes

复合求积公式。一、复化梯形公式:在每个上用梯形公式：=Tn/*中值定理*/二、复化辛普森公式:44444=

Sn注：为方便编程，可采用另一记法：令n’=2n为偶数，这时，有三、收敛速度与误差估计：定义若一个积分公式的误差满足且C0，则称该公式是p

阶收敛的。~~~例4：计算解：其中=3.138988494其中=3.141592502运算量基本相同问题:给定精度，如何取n?例如：要求，如何判断n=？?上述例4中若要求,则即：取n=409通常采取将区间不断对分的方法，即取n=2k上述例4中2k

409k=9

时，T512=3.14159202例4中：S4=3.141592502注意到区间再次对分时可用来判断迭代是否停止。(1)(2)(3)事后误差估计xi01/81/43/81/25/83/47/81f(xi)10.9973978………

………

………0.8414709作业

P135：

2(1),3,6一、梯形法的递推化——逐次分半法

上一节介绍的复化求积方法对提高精度是行之有效的，但在使用求积公式之前必须给出合适的步长，步长取得太大精度难以保证，步长太小则会导致计算量的增加，而事先给出一个恰当的步长又往往是困难的．实际计算中常常采用变步长的计算方案，即在步长逐次分半(即步长二分)的过程中，反复利用复化求积公式进行计算，直至所求得的积分值满足精度要求为止．

设将求积区间[a，b]分成n等分，则一共有n+1个分点，按梯形公式计算积分值Tn，需要提供n+1个函数值．如果将求积区间再二分一次，则分点增至2n+1个，我们来考察二分前后两个积分值之间的联系．§4、4龙贝格求积公式逐次分半计算方案的实现:

注意到每个子区间[xk，xk+1]经过二分只增加了一个分点xk+1/2＝(xk+xk+1)/2，用复化梯形公式求得该子区间上的积分值为这里代表二分前后的步长.将每个子区间上的积分值相加得

二、龙贝格算法根据复化梯形公式的余项表达式可见，利用两种步长计算的结果能估计截断误差.若将该截断误差加到计算结果中，就得出“改进的梯形求积公式”：事后误差估计例：计算已知对于=106

须将区间对分9次，得到T512=3.14159202由来计算I

效果是否好些？=3.141592502=S4改进梯形求积公式的右边实际是这就是说用梯形法二分前后的两个积分值Tn与T2n的线性组合的结果得到复化辛普森法求积公式

类似的情况，用辛普森法二分前后的两个积分值Sn与S2n的线性组合的结果可得到复化柯特斯求积公式

重复同样的手续，用柯特斯法二分前后的两个积分值Cn与C2n的线性组合的结果可得到龙贝格(Romberg)求积公式

我们在变步长的过程中运用加速公式，就能将粗糙的梯形值Tn逐步加工成精度较高的辛普森值Sn

、柯特斯值Cn和龙贝格值Rn.

一般有：

Romberg

算法：<?<?<?………………

T1=)0(0T

T8=)3(0TT4=)2(0T

T2=)1(0T

S1=)0(1T

R1=)0(3T

S2=)1(1T

C1=)0(2T

C2=)1(2T

S4=)2(1TRomberg序列020=1T1121=2T2S1222=4T4S2C1323=8T8S4C2R1424=16T16S8C4R2525=32T32

S16

C8

R4

……………区间等分数梯形序列辛普森序列柯特斯序列龙贝格序列龙贝格求积算法可用下表来表示：

例5

用龙贝格方法计算椭圆x2/4+y2＝l的周长，使结果具有五位有效数字．

分析为便于计算，先将椭圆方程采用参数形式表示,再根据弧长公式将椭圆周长用积分形式表示．由于计算结果要求具有五位有效数字，因此需要估计所求积分值有几位整数，从而确定所求积分值的绝对误差限．最后再应用龙贝格方法计算积分．

解令x＝2cosq，y

＝sinq，则椭圆的周长为下表给出了用龙贝格方法计算积分I=

√1+3sin2dx的过程./20012.356194122.4199212.441163242.4221032.4228302.421608382.4221122.4221152.4220672.4220744162.4221122.4221122.4221122.4221130.0000395322.4221122.4221122.42211