第8章8 2 8 2 1几个函数模型比较

第8章

函数应用8.2函数与数学模型8.2.1

几个函数模型的比较成套的课件成套的教案成套的试题成套的微专题尽在高中数学同步资源大全QQ群552511468也可联系微信fjmath加入百度网盘群4000G一线老师必备资料一键转存自动更新永不过期理解指数爆炸、直线上升、对数增长的含义．(重点)区分指数函数、一次函数以及对数函数增长速度的差异．(易混点)3．会选择适当的函数模型分析和解决一些实际问题．(难点)借助三个函数模型的增长特征，培养数学运算、数学建模的核心素养．01必备知识·情境导学探新知知识点知识点 三种函数模型的性质y＝ax(a>1)y＝logax(a>1)y＝kx(k>0)在(0，＋∞)上的增减性增函数增函数增函数图象的变化趋势随x增大逐渐近似与y轴

平行随x增大逐渐近似与

x轴

平行保持固定增长速度y＝ax(a>1)y＝logax(a>1)y＝kx(k>0)增长速度①y＝ax(a>1)：随着x的增大，y增长速度越来越快

，会远远大于y＝kx(k>0)的增长速度，y＝logax(a>1)的增长速度越来越慢；在描述现实问题的变化规律时，常用

“指数爆炸”“直线上升”“对数增长”来表示指数函数、一次函数、对数函数的增长方式．②当x足够大时，总有ax>kx>logax[答案](1)√(2)×(3)×(4)√02关键能力·合作探究释疑难类型1类型2类型3A

指数函数y＝ax，在a>1

时呈爆炸式增长，并且随a

值的增大，增长速度越快，应选A．

21x(2)下面对函数

f(x)＝log1x，g(x)＝

与

h(x)＝－2x

在区间(0，＋2∞)上的递减情况说法正确的是(

)A．f(x)递减速度越来越慢，g(x)递减速度越来越快，h(x)递减速度越来越慢B．f(x)递减速度越来越快，g(x)递减速度越来越慢，h(x)递减速度越来越快C．f(x)递减速度越来越慢，g(x)递减速度越来越慢，h(x)递减速度不变D．f(x)递减速度越来越快，g(x)递减速度越来越快，h(x)递减速度越来越快常见的函数模型及增长特点(1)线性函数模型,一次函数模型y＝kx＋b(k>0)的增长特点是直线上升，其增长速度不变.指数函数模型,指数函数模型y＝ax(a>1)的增长特点是随着自变量的增大，函数值增大的速度越来越快，即增长速度急剧，形象地称为“指数爆炸”.对数函数模型,对数函数模型y＝logax(a>1)的增长特点是随着自变量的增大，函数值增大的速度越来越慢，即增长速度平缓.[跟进训练]1．四个变量y1，y2，y3，y4

随变量x

变化的数据如表：x151015202530y1226101226401626901y22321

02437

7681.05×1063.36×1071.07×109y32102030405060y424.3325.3225.9076.3226.6446.907关于

x

呈指数函数变化的变量是

．y2

[以爆炸式增长的变量呈指数函数变化．从表格中可以看出，四个变量y1，y2，y3，y4均是从2

开始变化，且都是越来越大，但是增长速度不同，其中变量y2的增长速度最快，画出它们的图象(图略)，可知变量y2

关于x

呈指数型函数变化．故填y2．](1)请指出图中曲线C1，C2分别对应的函数；(2)结合函数图象，判断f

与g

3

32

2，f(2

022)与g(2

022)的大小．[解]

(1)C1对应的函数为g(x)＝2x，C2对应的函数为f(x)＝2x．(2)∵f(1)＝g(1)，f(2)＝g(2)，从图象上可以看出，当1＜x＜2时，f(x)＜g(x)，∴f

3

32

2

＜g

；当x＞2时，f(x)＞g(x)，∴f(2

022)＞g(2

022)．由图象判断指数函数、一次函数的方法根据图象判断增长型的指数函数、一次函数时，通常是观察函数图象上升得快慢，即随着自变量的增大，图象最“陡”的函数是指数函数.[解]

C1

对应的函数为

g(x)＝0.3x－1，C2

对应的函数为

f(x)＝lgx．(2)比较两函数的增长差异(以两图象交点为分界点，对f(x)，g(x)的大小进行比较)．[解]

当

x<x1

时，g(x)>f(x)；当

x1<x<x2

时，f(x)>g(x)；当

x>x2

时，g(x)>f(x)；当x＝x1

或x＝x2

时，f(x)＝g(x)．几类不同增长函数模型选择的方法增长速度不变，即自变量增加相同量时，函数值的增量相等，此时的函数模型是一次函数模型.增长速度越来越快，即自变量增加相同量时，函数值的增量成倍增加，此时的函数模型是指数函数模型.增长速度越来越慢，即自变量增加相同量时，函数值的增量越来越小，此时的函数模型是对数函数模型.[跟进训练]3．某人对东北一种松树的生长进行了研究，收集了其高度h(米)与生长时间t(年)的相关数据，选择h＝mt＋b

与h＝loga(t＋1)来拟合h与t的关系，你认为哪个符合？并预测第8

年的松树高度．t(年)123456h(米)0.611.31.51.61.7故可用函数h＝log3(t＋1)来拟合这个实际问题．当t＝8

时，求得h＝log3(8＋1)＝2，故可预测第8

年松树的高度为2

米．学习效果·课堂评估夯基础031．已知变量y＝1＋2x，当x

减少1

个单位时，y

的变化情况是(

)A．y

减少1

个单位C．y

减少2

个单位B．y

增加1

个单位D．y

增加2

个单位C

[结合函数y＝1＋2x

的变化特征可知C

正确．]2．下列函数中，随x

的增大而增大且速度最快的是()A．y＝exC．y＝2xB．y＝ln

xD．y＝e－xA

[结合指数函数、对数函数及一次函数的图象变化趋势可知A正确．]指数函数y＝2t对数函数y＝log2t幂函数y＝t3二次函数y＝2t2A

[根据已知所给的关系图，观察得到图象在第一象限，且从左到右图象是上升的，并且增长速度越来越快，根据四个选项中函数的增长趋势可得，用指数函数拟合最好，故选A．]4．某人投资x

元，获利y

元，有以下三种方案．甲：y＝0.2x，乙：y＝log2x＋100，丙：y＝1.005x，则投资500

元，1000元，1

500元时，应分别选择

方案．乙、甲、丙

[将投资数分别代入甲、乙、丙的函数关系式中比较y

值的大小即可求出．]5．某种产品每件80

元，每天可售出30

件，如果每件定价120元，则每天可售出

20件，如果售出件数是定价的一次函数，则这个函数解析式为

．[答案]4y＝－1x＋50(0<x<200)回顾本节知识，自我完成以下问题．1．比较函数增长情况有哪些方法？[提示]

(1)解析法．直接看解析式是一次函数、指数型函数还是对数函