广东省茂名市第十中学2021-2022学年高三第一次模拟考试数学试卷含解析

1．请用2B铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0．5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．若直线2xym0与圆x22xy2y30相交所得弦长为25，则（）2A．1B．2C．5D．32i1i2．复数z，i是虚数单位，则下列结论正确的是31B．的共轭复数为+iA．z5z22C．的实部与虚部之和为1D．在复平面内的对应点位于第一象限zz3．定义运算aba(ab)，则函数f(x)12x的图象是（）．b(ab)A．B．C．D．且f(x)g(x)(x1)2，则f(1)g(1)（）2x1g(x)R4．设f(x)、分别是定义在上的奇函数和偶函数，A．1B．0C．1D．3图象上所有点向左平移个单位长度后得到函数的图象，如果在区0,agxfxcos2xgx5．将函数间上单4a调递减，那么实数的最大值为（）A．8B．43D．4C．2fxx，则下列不等式成立的是（）6．是定义在上的增函数，且满足：的导函数存在，且fxfxfx3f34f4B．A．f22f13f22f3D．C．2f33f4|=|“a2b2ab”“”7．已知非零向量，满足|ab|，则ab是的（）abA．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解:m(m2)(m23m2)i是纯虚数，则实数的值为m()8．若复数C．0A．0或2B．2D．1或29．某工厂一年中各月份的收入、支出情况的统计如图所示，下列说法中错误的是（）．A．收入最高值与收入最低值的比是3:1B．结余最高的月份是C．1与2月份的收入的变化率与D．前6个月的平均收入为40万元7月份4至5月份的收入的变化率相同★”“◆”“与，对任意，满足下列运算性质：nN①2★2018=1，2018◆11；②（2n）10．定义两种运算，2018★20182(2n2)★2018◆(n1)2(2018◆n)，则（◆2020）（2020★20182018）的值为()A．B．C．21009D．21008210112101011．命题“x(0,1),exlnx”的否定是（）A．x(0,1),exlnxB．x(0,1),exlnx000C．x(0,1),exlnxD．x(0,1),exlnx00000012．如图所示，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某多面体的三视图，则该几何体的各个面中最大面的面5B．23C．8D．832二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。fxgx13．若存在实数kb使得不等式，fxkxbgx在某区间上恒成立，则称与为该区间上的一对“分离函数”，下列各组函数中是对应区间上的“分离函数”的有___________.（填上所有正确答案的序号）①x0,fxsinx，gxtanx；，2②x[1,)，fxx1，gxx1；22③xR，fxx2，x；2gxeex1x④x(0,)，fxx，gx2xlnx.14．一个袋中装着标有数字1，2，3，4，5的小2个，从中任意摸取3个小球各球，每个小球被取出的可能性相等，则取出的球中数字最大的为3个小4的概率是__．ABCD，则四面体的外接球的表面积为ABCD中，AB底面BCD，CBCD115．四面体ABBD，2______16．工人在安装一个正六边形零件时，需要固定如图所示的六个位置的螺栓.若按一定顺序每将个螺栓固定紧，但不能．．连续．．固定相邻的2个螺栓.则不同的固定螺栓方式的种数是________．三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。fxx1.17．（12分）已知函数（1）求不等式fx42x3的解集；（2）若正数、满足m2nmn，求证：mnfmf2n8.x22cosx（为参数），以原点为极点，轴的18．（12分）在平面直角坐标系xOy中，曲线的参数方程为C1y2sin4cos24sin22C非负半轴为极轴，建立极坐标系，曲线的极坐标方程为2.（1）求曲线的极坐标方程以及曲线的直角坐标方程；C1C2（2）若直线l:ykxC1C|OP|2|OQ|，点M的坐标为(2,0)，求与曲线、曲线在第一象限交于P,Q两点，且2ΔMPQ的面积.fxex2x.19．（12分）已知函数（1）若曲线yfx的切线方程为yax1a，求实数的值；2,4mxmfx2mxx23在区间（2）若函数上有两个零点，求实数的取值范围.a,b,c，若3(sinabC3cosC).在ABC中，角A,B,C的对边分别为20．（12分）（1）求角的大小；B，D为ABC外一点，DB2,CD1，求四边形ABDC面积的最大值.（2）若A3xy221（ab0）的AA21．（12分）已知椭圆C：左、右顶点分别为、B，焦距为2，点为椭圆上异于、Pa2b2B的点，且直线PA和PB的斜率之积为34.（1）求C的方程；|AP||AQ||OM|2y（2）设直线AP与轴的交点为Q，过坐标原点O作OM//AP交椭圆于点M，试探究是否为定值，若是，求出该定值；若不是，请说明理由.22．（10分）有些村制落造出的手工艺品不仅全国闻名，还大量远销海外.近年来某手工艺品村制作的村村民成立了手工艺品外销合作社，为严把质量关，合作社对村民制作的每件手工艺品都请3位行家进行质量把关，质量把关程序如下：（i）若一件手工艺品3位行家都认为质量过关，则该手工艺品质量为A级；（ii）若仅有1位行家认为质量不过关，再由另外2位行家进行第二次质量把关，若第二次质量把关这2位行家都认为质量过关，则该手工手工艺是一种生活态度和对传统的坚持，在我国有很多手工艺品制作村，落村民的手工技艺世代相传，手工艺品在国外备受欢迎，该艺品质量为级，若第二次质量把关这B2位行家中有1位或2位认为质量不过关，则该手工艺品质量为级；（iii）C若有2位或3位行家认为质量不过关，则该手工艺品质量为级.已知每一次质量把关中一件手工艺品被1位行家认为D1质量不过关的概率为，且各手工艺品质量是否过关相互独立.3（1）求一件手工艺品质量为级的概率；B（2）若一件手工艺品质量为，，级均可外销，且利润分别为900元，600元，300元，质量为级不能外销，ABCD利润记为100元.10件手工艺品中不能外销的手工艺品最有可能是多少件；1件手工艺品的利润为元，求的分布列与期望.①求②记XX参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．A【解析】方程化简成标准方程,再根据垂径定理求.将圆的解即可【详解】圆x22xy2y30的标准方程(x1)2(y1)252xym025,所以直线2xym0过圆心,得2(1)1m0,即m1.,圆心坐标为半径为5,因为直线(1,1),2与圆x22xy2y30相交所得弦长为2故选：A【点睛】本题考查了根据垂径定理求解直线中参数的方法,属于基础题.2．D【解析】1322利用复数的四则运算，求得zi，在根据复数的模，复数与共轭复数的概念等即可得到结论．【详解】2i1i2i13i13由题意zi，1i1i1i1i2221310213i，22则z()2()2，的共轭复数为zz22复数的实部与虚部之和为z2，在复平面内对应点位于第一象限，故选D．z【点睛】复数代数形式的加减乘除运算的法则是进行复数运算的理论依据,加减运算类似于多项式的合并同类项,乘法法则类似于多项式乘法法则，除法运算则先将除式写成分式的形式,再将分母实数化，其次要熟悉复数相关基本概念，如复数abi(a,bR)abi、虚部为、模为、对应点为b(a,b)、共轭为．ab22的实部为a3．A【解析】由已知新运算ab的意义就是取得a,b中的最小值，1,x02x,x0fx12x因此函数，只有选项A中的图象符合要求，故选A.4．C【解析】奇偶性，求出f(x)g(x)的解析式，令x1，即可求出。先根据【详解】x定义在上的奇函数和偶函数，f(x)g(x)(x1)2，用替换，得因为f(x)、g(x)分别是Rx2x1f(x)g(x)(x1)22x1，化简得f(x)g(x)(x1)2，即f(x)g(x)2(x1)2x12x1令x1，所以f(1)g(1)201，故选C。0【点睛】本题主要考查函数性质奇偶性的应用。5．B【解析】gx的解析式，合结三角函数的单调性进行求解即可根据条件先求出.【详解】gx图象上所有点向左平移个单位长度后得到函数的图象，4fxcos2x将函数，gxcos2xcos2x则42设2x，20xa时，02x2a则当，2x2a，222即2a，22gx0,a要使在区间上单调递减，则2a得，得，242aa2a的最大值为，4即实数故选：B.【点睛】本小题主要考查三角函数图象变换，考查根据三角函数的单调性求参数，属于中档题.6．D【解析】fxfx根据fx增函数及有意义可得，利用导数可得0,是定义在上的fx0，构建新函数gxfxxgx0,为上的增函数，从而可得正确的选项.【详解】增函数，故fx0,fx0.因为是定义在上的fxfx.fx0fxxfxfx0，故又有意义，故，所以fx令gxxfxfxgx，则0，xx2f2，f3即gx0,故在上为增函数，所以g3g2322f33f2.整理得到故选：D.【点睛】本题考查导数在函数单调性中的应用，一般地，数的大小比较，可根据数的特点和题设中给出的原函数与导数的关系构建新函数，本题属于中档题.7．C【解析】|a2b||2ab|ab0ab，可得选项根据向量的数量积运算，由向量的关系【详解】.|a2b|=|2ab|a2b22ab=2=a4ab4b4a4abb2，222|a||b|0，∴等价于ab0ab，故选：C.【点睛】本题考查向量的数量积运算和命题的充分、必要条件，属于基础题.8．C【解析】m(m2)(m23m2)i是纯虚数，所以，因此m(m2)0且m3m202m0.注意不试题分析：因为复数要忽视虚部不为零这一隐含条件.考点：纯虚数9．D【解析】由图可知，其比收入最高值为90万元，收入最低值为30万元，是3:1，故A项正确；802060，故B项正确；结余最高为7月份，为1至2月份的平均收入为(406030305060)45万元，故前6个月的综上，故选D．收入的变化率为4至5月份的收入的变化率相同，故C项正确；1D项错误．610．B【解析】根据新运算的定义分别得出2018◆2020和2020★2018的值，可得选项.【详解】201812n★2018+2★，22(2n2)★2018★由（2）n2018，得（）2n132112，2018=，2018=，，以此类推，★2018=1又2★，所以★★842018=62211009，21010112020★201821010★20182又2018◆(n1)2(2018◆2018◆)，11，n所以2018◆22，2018◆322，2018◆，，以此类推，2018◆20204222019，310091★2018）22019=21010，所以（2018◆2020）（20202故选：B.【点睛】本题考查定义新运算，关键在于理解，运用新定义进行求值，属于中档题.11．D【解析】根据全称命题的否定是特称命题,对命题进行改写即可.【详解】0x(0,1)e全称命题的否定是特称命题，所以命题“(0,1),exlnx”的否定是：≤lnx．，0x0x故选D．【点睛】本题考查全称命题的否定,难度容易.12．B【解析】根据三视图可以得到原几何体为三棱锥，且是有三条棱互相垂直的三棱锥，根据几何体的各面面积可得最大面的面积．【详解】解：分析题意可知，如下图所示，ABCD，该几何体为一个正方体中的三棱锥最大面的表面边长为的等边三角形ABC，223故其面积为(22)223，4故选B．【点睛】本题考查了几何体的三视图问题，解题的关键是要能由三视图解析出原几何体，从而解决问题．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．①②④【解析】fx,gx是否存在公切点，若两函我们可考虑两函数kxb使得fxkxbgx成立，若要存在由题意可知，数在公切点对应的位置一个单增，另一个单减，则很容易判断，对①，③，④都可以采用此法判断，对②分析式子特点可知，，进而判断x1xx122【详解】①x0,fx0xsinx.令令fxxsinx，则fx1cosx0fxfx00时，，单调递增，，即200，gx单调递减，1gxxtanx，则gxxgxgx0，即xtanx，因此sinxxtanx，满足00cos2x00题意.②x[1,)时，易知，满足题意.2x1xx12③注意到f0g02，因此如果存在直线ykxb，只有可能是（或fxgx）在x0处的切线，fx2xf00，因此切线为y2，易知2，fx2，因此不存在直线ykxb满足题意.gx2exe，x④x(0,)时，注意到f1g10，因此如果存在直线ykxb，只有可能是（或fx）在x1处的gx，gx2lnx2g12，因此切线为y2x2.切线，令fxx12x2，则fx11(1,)，易知在上单调递增，在上单调递减，所以fx0,10xx2001fxf10，即x2x2.00x(1,)，易知在上单调递减，在上单调递增，所以gx令gx2xlnx2x2，则gx2lnx0,1000gxg10，即2xlnx2x2.0012x22xlnx，满足题意因此x.x故答案为：①②④【点睛】本题考查新定义题型、利用导数研究函数图像，转化与化归思想，属于中档题314．10【解析】由题，得满足题目要求的情况有，①有一个数字4，另外两个数字从1，2，3里面选和②有两个数字4，另外一个数字由此即可得到本题答案从1，2，3里面选，.【详解】满足题目要求的情况可以分成2大类：①有一个数字4，另外两个数字从1，2，3里面选，一共有C1C2种情况；②有26两个数字4，另外一个数字从1，2，3里面选，一共有C2C1种情况，又从中任意摸取3个小球，有C3种情况，所以2610PC1C2C2C61310取出的3个小球中数字最大的为4的概率.26C32103故答案为：10【点睛】本题主要考查古典概型与组合的综合问题，考查学生分析问题和解决问题的能力.15．4【解析】由题意画出图形，补形为长方体，求其对角线长，可得四面体外接球的半径，则表面积可求．【详解】如图，在四面体ABCD中，AB底面BCD，解：ABBD，2CBCD1，可得BCD90，补形为长方体，则过一个顶点的三条棱长分别为1，1，，2121(2)22，则三棱锥ABCD的外接球的半径为1．则长方体的对角线长为2其表面积为．4142故答案为：4．【点睛】本题考查多面体外接球表面积的求法，补形是关键，属于中档题．16．60【解析】分析：首先将选定第一个钉，总共有6种方法，假设选定1号，之后分析第二步，第三步等，按照分类加法计数原理，可以求得共有10种方法，利用分步乘法计数原理，求得总共有61060种方法.详解：根据题意，第一个可以从6个钉里任意选一个，共有6种选择方法，并且是机会相等的，若第一个选1号钉的时候，第二个可以选3,4,5号钉，依次选下去，可以得到共有10种方法，所以总共有10660种方法，故答案是60.点睛：该题考查的是有关分类加法计数原理和分步乘法计数原理，在解题的过程中，需要逐个的将对应的过程写出来，所以利用列举法将对应的结果列出，而对于第一个选哪个是机会等均的，从而用乘法运算得到结果.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。x0x217．（1）；（）见解析2【解析】32x12x34x1等价于（Ⅰ）x12x341xⅡ）fx42x3或（Ⅲ）（1）或（32x12x34x，分别解出，再求并集即可；fmf2nm12n1m2n可得最值.（2）利用基本不等式及m2nmn可得m2n8，代入【详解】32x12x34Ⅰ）x1（1）fx42x3等价于（x12x341xⅡ）或（或（Ⅲ）32x12x34xx1x23xⅠ）得：由（1x230x3由（Ⅱ）得：2x03x3x2.Ⅲ）得：2x2由（2x0x2；原不等式的解集为（2）m0，n0，m2nmn，m2nm2n1m2n12，224m2n8，m2nm4时取等号，n2当且仅当，即m2nmnfmf2nm12n1m2n8，当且仅当2n10即n1时取等号，2fmf2n8.【点睛】本题考查分类讨论解绝对值不等式，考查三角不等式的应用及基本不等式的应用，是一道中档题.x222318．（的极坐标方程为4cosC，的直角坐标方程为2y1（）1）C1224【解析】求得极坐标方程将.xcos,ysin（1）先把曲线C的参数方程消参后，转化为普通方程，再利用14cos24sin2求得曲线的普通方程C.2242sin2xcos,ysin，化为2cos24，再利用413sin24cos24sin2，得p4cos，得（2）设直线的极角，代入02，将代入02Q021613sin223134cossin2|OP|2|OQ|24cos，即，由，得，从而求得，cos20，0P0PQ001|OM|2sinSS,从而求得，再利用S求解.0MPQOMPOMQPQQP【详解】C:(x2)y4，即2（1）依题意，曲线xy4x0，22210，即4cos.故4cos24cos24sin2因为，故2cos242sin24，2x2即x4y4，即y1.2224413sin2，4cos24sin22（2）将代入0，得2Q0，得4cos将代入0p4cos，0P4cos213sin2，，得016，得由|OP|2|OQ|2PQ02313，则cos2解得sin2.00413sin2233433,4cosP0又00，故，2Q012|OM|22.sin3MPQ故的面积SSSMPQOMPOMQPQ0【点睛】本题考查极坐标方程与直角坐标方程、参数方程与普通方程的转化、极坐标的几何意义，还考查推理论证能力以及数形结合思想，属于中档题.136me31）a1；（2）2em19．（或e4【解析】2x，结合导数的几何意义可得方程xex0e10，构造x000（1）根据解析式求得导函数，设切点坐标为x,e0x0函数hxxexex1，并求得hx，由导函数求得hx有最小值h00，进而可知由唯一零点x0，即可0代入求得a的值；fx解析式代入xx23，构造函数gxexx32（2）将，结合零点定义化简并分离参数得m，根据题意可exx3ex并令知直线ym与曲线gx2gxgx0求得极值点，列出表格判断gx有两个交点；求得的单调性与极值，即可确定与ym有两个交点时的取值范围.m【详解】（1）依题意，fxex2x，fxe2，x2x，fxe2，设切点为x,ex0x0000ax1e2xx00，故0ex02ae10；x0故xe21e2x，则xex0x0x0000令hxxexex1，hxxex，x,0hx0，故当时，x0,hx0，时，当hx故当x0时，函数有最小值，由于h00，故hx0有唯一实数根0，即x0，则a1；0x3.exxmfx2mxx23mexx230，得m2（2）由所以“x在区间2,4在x2,4有两个交点”；x23上有两个零点”等价于“直线ym与曲线gxexx2x3.由于gx2exgx0x1x3.由，解得，12gxx当变化时，与的变化情况如下表所示：gx3,41,32,11x30gx0+gx极小值极大值1,3所以在，上单调递减，在上单调递增gx2,13,4.，g2eg12e，又因为2g36g2，g4g1，13ee43x2,4上有两个交点，x31362故当2emmymgx在ex或时，直线与曲线e4e3136或时，函数在区间上有两个零点2,4即当2emmx.e4e3【点睛】本题考查了导数的几何意义应用，由切线方程求参数值，构造函数法求参数的取值范围，函数零点的意义及综合应用，属于难题.（2）532420．（1）B3【解析】简等式可得tanB3，即B；3（1）根据正弦定理化（2）根据题意，值.利用余弦定理可得BC54cosD，再表示出sinD，表示出四边形SABCD，进而可得最S2BDC【详解】3ab(sinC3cosC)，由3sinAsinB(sinC3cosC)正弦定理得：（1）sinAsinBC，则3sin(BC)sinBsinC在ABC中，3sinBcosC，即3cosBsinCsinBsinC，sinC0,3cosBsinB，即tanB3B(0,),B.3（2）在BCD中，BD2,CD154cosDBC212212cosD221BC2sin533cosD234又A，则ABC为等边三角形，ABCS3BDDCsinDsinD，又S12BDC2sin(D)-353sinD3cosD53S44ABCD553当D时，四边形ABCD的面积取最大值，最大值为2.64【点睛】本题主要考查了正弦定理，余弦定理，三角形面积公式的应用，属于基础题．xy221（2）是定值，且定值为221．（1）43【解析】（1）设出点坐标并代入椭圆方程，根据kk3列方程，求得的值，结合2c2求得a,b的值，进而求b2P4APBPa2得椭圆C的方程.（2）设出直线AP,OM的方程，联立直线AP的方程和椭圆方程，求得点的横坐标，联立直线OM的方程和椭圆P|AP||AQ|2为定值方程，求得x2，由此化简求得M.|OM|2【详解】xy221（ab0）上，（1）已知点在椭圆C：Pa2b2xy21，，即0a2b2Px,y2可设000y0y0yb2342kk又，0xaxax2a2aAPBP2000xy且2c2，可得椭圆的方程为2C21.43yk(x2)，则直线的方程为ykx.（2）设直线AP的方程为：OM34kx216k2x16k2120，联立直线AP与椭圆C的方程可得：268k2由x2，可得P，34k2xA1234kx212034k2联立直线与椭圆OMC的方程可得：，即x，22Mx