北师大版八年级上数学期末测试题附答案

北师大版八年级上数学期末测试题附答案

八年级上学期数学知识竞赛一、选择题（本题共有10个小题，每小题4分，共40分）1.下列实数中是无理数的是（B）。2.在平面直角坐标系中，点A（1，－3）在（D）第四象限。3.－8的立方根是（C）－2。4.下列四组数据中，不能作为直角三角形的三边长是（D）9，12，15。5.下列各组数值是二元一次方程x-3y=4的解的是（A）x=1,y=-1。6.已知一个多边形的内角各为720°，则这个多边形为（C）五边形。7.某商场对上周末某品牌运动服的销售情况进行了统计，如下表所示：颜色数量（件）黄色150绿色120白色230紫色75红色430。经理决定本周进货时多进一些红色的，可用来解释这一现象的统计知识是（C）众数。8.如果(x+y-4)²+3x-y=，那么2x-y的值为（A）-3。9.在平面直角坐标系中，已知一次函数y=kx+b的图象大致如图所示，则下列结论正的是（B）k>0,b<0。10.将长为15cm的木棒截成长度为整数的三段，使它们构成一个三角形的三边，则不同的截法有（C）7种。二、填空题：（每小题4分，共40分）11.9的平方根是3。12.三角形的边长为整数，其周长为8，这个三角形的形状为(2,3,3)。13.如果某公司一销售人员的个人月收入与其每月的销售量成一次函数（如图所示），那么此销售人员的销售量在4千件时的月收入是700元。14.方程组2(x+1)-y=6x=y-1解是(x,y)=(3,2)。15.化简：12+27+11/(48-15)=43。16.在平面直角坐标系中，已知点M（-2,3）。将OM绕原点O逆时针旋转180°得到OM'，则点M'的坐标为（2，-3）。17.如图，在平面直角坐标系中，把直线y=3x沿y轴向下平移得到直线AB。设点N（m，n）是直线AB上的一点，且3m-n=2，则直线AB的函数表达式为y=3x-6。18.如图，在Rt△ABC中，已知a、b、c分别是∠A、∠B、∠C的对边，如果b=2a，那么∠A=30°。19.如果x<-2，(x+2)²=（x+2）（x+2）=x²+4x+4。20.甲乙两人同时从相距8千米的两地出发，相向而行，速度分别为3千米/小时和2千米/小时。小狗每小时走5千米，直到甲乙相遇为止，小狗共走了40千米。21.（1）设甲、乙两种商品的进价分别为x、y元，则由题意得方程组：x+y=360001.3x+1.5y=42000解得x=12000，y=24000，因此甲、乙两种商品各购进300件、160件。（2）设购进甲种商品x件，则利润为y=0.1x+0.5(200-x)=100-0.4x元。当x增加时，利润y减少。22.（1）设点C的坐标为（x，y），则由直角三角形ACO得：tan30°=AC/OA=(y-3)/(x+2)解得y=3+√3(x+2)，代入点A的坐标得直线AC的函数表达式为y=√3x。（2）点D关于直线AC对称，因此点D的坐标为（-1，-1）。（3）以A、O、D、P为顶点的四边形为菱形的充要条件是AO=OD=DP，即点P在直线y=-x上。因此点P的坐标为（k，-k），代入AO、OD、DP的长度相等得k=1，因此点P的坐标为（1，-1）。23.已知四边形ABCD中，∠A=∠B=∠C=90°，现有四个条件:①AC⊥BD；②AC=BD；③BC=CD；④AD=BC。如果添加这四个条件中的一个条件，即可推出该四边形是正方形，那么这个条件可以是（写出所有可能结果的序号）。答案：①、②、③、④都可以。24.如图，在平面直角坐标系中，把直线y=3x沿y轴向下平移后得到直线AB，如果点N(m,n)是直线AB上的一点，且3m-n=2，那么直线AB的函数表达式为。答案：直线y=3x向下平移后，截距变为-3，因此直线AB的函数表达式为y=3x-3。代入3m-n=2得到n=9-3m。二、25.某商场代销甲、乙两种商品，其中甲种商品的进价为120元/件，售件为130元/件，乙种商品的进价为100元/件，售件为150元/件。（1）若商场用36000元购进这两种商品，销售完后可获得利润6000元，则该商场购进甲、乙两种商品各多少件？（2）若商场要购进这两种商品共200件，设购进甲种商品x件，销售后获得的利润为y元，试写出利润y（元）与x（件）函数关系式（不要求写出自变量x的取值范围）；并指出购进甲种商品件数x逐渐增加时，利润y是增加还是减少？答案：（1）设甲、乙两种商品分别购进x、y件，则有：120x+100y=36000（购进总价）130x+150y=42000+6000=48000（售出总价，包括利润）解得x=150，y=90，因此甲、乙两种商品分别购进150、90件。（2）利润=售出总价-购进总价，即y=20x-3000。当购进甲种商品件数x逐渐增加时，利润y会增加。三、26.如图，已知四边形ABCD是正方形，E是正方形内一点，以BC为斜边作直角三角形BCE，又以BE为直角边作等腰直角三角形EBF，且∠EBF=90°，连结AF。（1）求证：AF=CE；（2）求证：AF∥EB；（3）若AB=53，EA=15，求证：EF=8。答案：（1）连接DE、CF，观察三角形EBF、CED、AFC，发现它们都是直角三角形，且它们的对边分别相等，因此它们全都相似。设EF=CE的长度为x，则有：$\frac{BF}{BE}=\frac{CE}{BE}=\frac{CE}{BC}=\frac{AF}{AC}=\frac{CF}{CD}=\frac{CE+EF}{CD}$代入BC=CD=CE+BE和CE=EF+x，化简得到x=EF=AF=CE，证毕。（2）在（1）的基础上，观察三角形EBF和AFC，发现它们的对边分别平行，因此AF∥EB，证毕。（3）设BE=EF=x，则有：$AE^2+EF^2=AF^2$代入AE=15、AF=CE=53/2和EF=x，化简得到x=8，证毕。四、27.如图，在平面直角坐标系中，已知矩形OABC的两个顶点A、B的坐标分别为A（-2，3）、B（-2，2），∠CAO=30°。（1）求对角线AC所在的直线的函数表达式；（2）把矩形OABC以AC所在的直线为对称轴翻折，点O落在平面上的点D处，求点D的坐标；（3）在平面内是否存在点P，使得以A、O、D、P为顶点的四边形为菱形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由。答案：（1）设对角线AC所在的直线的函数表达式为y=kx+b，则有：$\begin{cases}k=\frac{3-0}{-2-(-2)}=3\\b=3-\frac{\sqrt{3}}{3}\end{cases}$因此对角线AC所在的直线的函数表达式为y=3x+3-√3。（2）点D在AC的中垂线上，因此坐标为D（-2-√3，0）。（3）以A、O、D、P为顶点的四边形为菱形，当且仅当AO=OD=DP，即点P在以D为圆心、OD为半径的圆上。观察图中可以发现，以D为圆心、OD为半径的圆与直线y=0相交于两个点，因此不存在点P，使得以A、O、D、P为顶点的四边形为菱形。16.解：如图所示，过点D作DE⊥BC于E。由于ABCD是直角梯形，因此BE=AD=1，DE=AB=3。在Rt△DEC中，DE=3，CD=5，由勾股定理得CE=CD²-DE²=5²-3²=4。因此，BC=BE+CE=1+4=5。17.解：(1)在这50个数据中，50出现了16次，是出现次数最多的数，因此这50名学生体重的众数是50kg。将这50个数据从小到大排列，第25、第26个数均为50，因此这50名学生体重的中位数是50kg。(2)这50个数据的平均数为：x=(35×2+40×3+42×2+45×5+48×10+50×16+52×8+55×4)/50=48.3因此，这50名学生体重的平均数为48.3kg。18.如图所示，(1)点A₁为(-5,-6)，(2)点B₂为(1,6)。19.(1)四边形ABCD是平行四边形，因此AB=CD且AB∥CD。由于AB∥CD，因此∠BAE=∠DCF。又因为BE⊥AC于点E，DF⊥AC于点F，因此∠AEB=∠CFD=90º。在△ABE和△CDF中，∠BAE=∠DCF，∠AEB=∠CFD，AB=CD，因此△ABE≌△CDF（AAS）。(2)如图所示，连结BF、DE，则四边形BFDE是平行四边形。证明：由于BE⊥AC于点E，DF⊥AC于点F，因此∠BEF=∠DFE=90º。因此BE∥DF。又由(1)，有BE=DF，因此四边形BFDE是平行四边形。20.(1)点B的坐标为(3,2)。(2)如图所示，设直线y=-x+5与y轴相交于点C。在y=-x+5中，令x=0，则y=5，因此点C的坐标为(0,5)。因此，△AOB的面积为：S△AOB=1/2×OC×(x_B-x_A)=1/2×5×(3-1)=5因此，S△AOB=5。21.522.(2,-3)23.①、③24.y=3x-225.(1)解得x=240，因此该商场购进甲种商品240件，乙种商品72件。(2)已知y=72。购进甲种商品x件，那么购进乙种商品就是（200-x）件。根据题意，利润y可以表示为y=(130-120)x+(150-100)(200-x)=-40x+10000。因为k=-40<0，所以y随着x的增加而减少。也就是说，随着购进甲种商品的件数x逐渐增加，利润y会逐渐减少。对于正方形ABCD，我们可以得出∠ABE+∠EBC=90º、AB=BC。同时，因为△EBF是以BE为直角边的等腰直角三角形，所以∠ABE+∠FBA=90º，BE=BF。因此，我们可以得出∠FBA=∠EBC。根据△ABF和△CBE，我们可以得出AB=BC、∠FBA=∠EBC、BE=BF，因此△ABF≌△CBE，进而得出AF=CE。因此，我们证明了AF∥EB。要求点E到BC的距离，即是求Rt△BCE中斜边BC上的高的值。我们可以设BE=6k/√3，CE=3k，由勾股定理得BC²=BE²+CE²=6k²+9k²=15k²。因为BC=AB=√53，所以15k=√53，解得k=5，因此BE=6×5/√3，CE=3×5，设Rt△BCE斜边BC上的高为h，由S=Rt△BCE=1/2·BE·CE=1/2·BE·h，解得h=32/√11，因此点E到BC的距离为h。根据题意，我们可以得到点C的坐标为(0,2)。设对角线AC所在的直线的函数为y=kx+2（k≠0），将A(-23,0)代入y=kx+2中，得到-23k+2=0，解得k=3，因此对角线所在的直线的函数表达式为y=3x+2。因为△AOC与△ADC关于AC成轴对称，而∠P''OAC=30º，∠DAO=60º，所以OA=AD，∠DAC=30º，因此∠DAO=60º。连接OD，因为OA=AD，所以△AOD是等边三角形。过点D作DE⊥x轴于点E，因此AE=OE=1/2OA=3。在Rt△ADE中，由勾股定理得AD²-AE²=23²-3²=520，因此点D的坐标为(-3,3)。(-3,-3)。若以OA、OD为一组邻边构成菱形AODP，如图所示。过点D作DP∥x轴，过点A作AP∥OD，交于点P，则AP=OD=OA=23。