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构设平面向量解题宁波市鄞州中学朱达峰邮编315101向量是数学中的一个重要概念之一，它是从物理学和工程技术中抽象出来的，连同它的运算法则、性质都源于实践；反过来向量的理论和方法又为解决实际问题提供了有力工具，运用向量的方法解决一些平面几何、立体几何、代数、物理等问题，而且其解题过程往往显得简捷明快。运用向量方法解题的一般步骤：先构设一些基本向量，然后明确问题目标的相应向量表示形式，最后是进行必要的向量运算，从而得到问题的结果。运用平面向量主要可以解决下列几个方面的问题一、几何问题：常见的类型有平行、垂直的判定，几何图形形状的判定、线段的比值等等。例1已知以两边为边向外作正方形和正方形，为的中点；求证：分析要证，只需证，这里有两个正方形，有许多垂直关系，利用这些垂直关系就可以得证。证明且，则，，故有例2已知平行四边形边中点为，为上的一点，且，与交于，求的值分析可设，把向量表示出来，利用点共线进行求解解设，则由于点共线，则有即，则故，知二、代数问题：常见的类型有不等式的证明、三角形角度求解、最值问题等等。例3求证：分析是两个向量的数量积的坐标形式，是两个向量的模的乘积，可以得到下列证明。证明设，的夹角为，则，又则有结论可推广为例4在内求一点，使的值最小分析根据已知条件，可构设两个基本向量，把表示成关于变化向量的函数，最后求出这个函数的最值解设，则根据向量运算的意义知时，有最小值，设点为的中点，因当时，，即为的重心时的值最小。三、实际问题：常见类型有实际应用题、物理学问题等。例5一自行车以的速度向北行驶，这时骑车人感觉风自正西方向吹来，但站在地面上测得风自西偏北方向吹来，试求：（1）风相对于车的速度；（2）风相对于地的速度分析根据题意可知（其中分别表示风对车、车对地、风对地的速度）解依题，作速度向量图，已知，方向正北；夹角为，因此（1）风相对于车的速度大小为（2）风相对于地面的速度大小为、OABE、、OABE、、OABE、、OABE、DDCF解设人在岸上跑了时间到达地，然后入水，在水中沿方向游水追船，以船在点为参照系，则人在水中对船的速度，因为相对速度方向不变，欲追上船不管方向如何，只要就可。由组成的向量三角形，其中方向不变（固定）而大小恒定，要使边最长（即的大小最大）须因，，又因，在中有故，知为等腰直角三角形由此可见当船速为时，人可以追上小船，且能追上的最大速度为邮箱：HYPER

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