数学模型-第06章(第五版)解析课件

差分方程~若干离散点上未知变量数值的方程.描述离散时间段上客观对象的动态变化过程.现实世界中随时间连续变化的动态过程的近似.差分方程与代数方程都是离散模型的数学表述，二者有着类似的向量-矩阵表达形式，求解过程也存在相互联系.第六章差分方程与代数方程模型6.1贷款购房6.2

管住嘴迈开腿6.3市场经济中的物价波动6.4动物的繁殖与收获6.5信息传播6.6原子弹爆炸的能量估计6.7CT技术的图像重建6.8等级结构6.9中国人口增长预测

第六章差分方程与代数方程模型每月还多少钱贷款购房需考虑的问题买多大的房子一共贷多少钱网上的房贷计算器轻击鼠标即得输入必要信息贷款购房——最简单的差分方程模型6.1贷款购房单利和复利单利

~１万元存5年定期,年利率4.75%,到期后本息(本金加利息)：10000(1+0.04755)=12375元.两种计算利息的基本方式复利~１万元存1年定期,年利率为3%,到期不取则自动转存,5年后本息：10000(1+0.03)5=11593元.利滚利！复利本息：(1+r)n单位本金、同一利率r、同一存期n计算单利和复利：单利本息：1+nr>1+nr零存整取~每月固定存额，约定存款期限，到期一次支取本息的定期储蓄.按单利计算的业务——零存整取单利和复利方式：5元起存，多存不限，存期1年、3年、5年.勤俭节约、科学理财例

每月存入3000元，存期５年（年利率3.5%）零存整取

计算器累计存入金额180,000元到期本息总额196,012.50元单利和复利按单利计算的业务——零存整取a~每月存入金额,r~月利率,n~

存期(月)xk~存入k个月后的本息k=n递推至k=１a=3000,r=0.035/12,n=125(月)xn=

196,012.50x1=a+arxk=xk-1+a+akr,k＝2,3,…,nx2=

x1+a+a2rxn=na+ar(1+2+…+n)

等额本息贷款和等额本金贷款房贷计算器的选项贷款类别：商业贷款,公积金,组合型年利率不同计算方法：根据贷款总额或面积、单价计算.按揭年数：可选１至30年.选择20年.银行利率：基准利率、利率上限或下限.选择商业

贷款的基准利率6.55%.还款方式：等额本息还款或等额本金还款.等额本息贷款和等额本金贷款例1

“房贷计算器”选择等额本息还款,输入:商业贷款总额100万元,期限20年,年利率6.55%.建立等额本息还款方式的数学模型,并作数值计算．等额本息还款~每月归还本息(本金加利息)数额相同.等额本金还款~每月归还本金数额相同,加上所欠本金的利息.所欠本金逐月减少

每月还款金额递减

点击“开始计算”得:还款总额1796447.27元,月均还款7485.2元.等额本息还款模型a~每月还款金额x0~贷款总额r~月利率n~贷款期限(月)xk~第k月还款后尚欠金额xk=xk-1(1+r)a,k＝1,2,…,nk=n递推至k=１贷款到期时xn=0xn=x0(1+r)na[1+(1+r)+…+(1+r)n-1]

本月欠额=上月欠额的本息还款金额等额本息还款模型A1~还款总额a~每月还款金额x0~贷款总额r~月利率n~贷款期限(月)例1

x0=100(万元),r=0.0655/12,

n=1220=240(月)a=7485.2(元),A1=1796447.27(元)与房贷计算器给出的相同例２“房贷计算器”选择等额本金还款,输入:商业贷款总额100万元,期限20年,年利率6.55%.等额本息贷款和等额本金贷款建立等额本金还款方式的数学模型,并作数值计算.

点击“开始计算”得到:还款总额1657729.17元,每月还款金额由第１月的9625元逐月递减,最后１月为4189.41元.等额本金还款模型x0~贷款总额r~月利率n~贷款期限(月)xk~第k月还款金额还款金额逐月减少归还本金x0/n所产生的利息x0r/n每月归还本金x0/n第1月还款金额k=n递推至k=2等额本金还款模型x0~贷款总额r~月利率n~贷款期限(月)xk~第k月还款金额A2

~还款总额例2

x0=100(万元),r=0.0655/12,

n=1220=240(月)x1=9625元,x240=4189.41(元),A2=1657729.17(元).与房贷计算器给出的相同等额本息与等额本金方式的比较等额本息方式简单，便于安排收支.等额本金方式每月还款金额前期高于等额本息方式,后期低于等额本息方式,适合当前收入较高人群.等额本息方式还款总额大于等额本金方式.等额本息方式前期还款额较少,所欠本息的利息逐月归还,所以利息总额较大.例1例2：A1=1796447.27(元)

,A2=1657729.17(元).还款总额A1>A2模型适用于任何还款周期(半月、一季度等)——将公布的年利率折换为一个还款周期的利率.小结与评注贷款购房两种基本还款方式：等额本息、等额本金.要点:明确利息计算,列出差分方程,利用递推关系.不同还款周期一次还款金额和还款总额都不一样.周期越短还款总额越小？测评体重的标准——体重指数(BMI

BodyMassIndex)

偏瘦正常超重肥胖世界卫生组织标准<18.518.5～24.925.0～29.930.0我国参考标准<18.518.5～23.924.0～27.928.0

BMI=w/l2，w~体重(kg),l身高(m).例.l=1.70m,w=63.5kg

多数减肥食品达不到减肥效果，或不能维持.

通过控制饮食和适当运动，在不伤害身体的前提下，达到减轻体重并得以控制的目的.标准的身材!BMI=226.2管住嘴迈开腿模型分析人体通过食物摄入热量,通过代谢和运动消耗热量.二者平衡,体重不变.分析对热量的吸收和消耗,建立体重变化规律的模型.平衡被破坏则体重变化.

减肥计划应以不伤害身体为前提.

增加运动量是加速减肥的有效手段.

以周为时间单位制订减肥计划.吸收热量不过少、减少体重不过快.差分方程模型1）体重增加正比于吸收的热量,平均8000kcal增加体重1kg.2）代谢引起的体重减少正比于体重,每周每千克

体重消耗200

~320kcal

(因人而异).3）运动引起的体重减少正比于体重,且与运动形式和运动时间有关.

模型假设

70kg每天消耗2000

~3200kcal.4）为了安全与健康,每周吸收热量≥10000kcal,且每周

减少量≤1000kcal;每周体重减少量≤1.5kg.

调查资料食物米饭豆腐青菜苹果瘦肉鸡蛋热量(kcal/100g)12010020～3050～60140～160150运动步行(4km/h)跑步跳舞乒乓自行车(中速)游泳(50m/min)热量(kcal/hkg)3.17.03.04.42.57.9食物每百克所含热量运动每小时每千克体重消耗热量模型假设

基本模型c(k)~第k周吸收热量

(kcal)w(k)~第k周(初)体重

(kg),k=1,2,…~热量转换系数平均8000kcal增加体重1kg~代谢系数(因人而异).由和吸收热量

c(k)决定体重w(k)的变化规律.=1/8000(kg/kcal)减肥计划的提出某人身高1.70m,体重100kg,BMI高达34.6.目前每周吸收20000kcal热量,体重长期未变.制订减肥计划使体重减至75kg(BMI=26)并维持下去.

1.在正常代谢情况下安排一个两阶段计划:

第一阶段：吸收热量每周减少1000kcal,直至达到

安全下限10000kcal/周；2.为加快进程而增加运动，重新安排两阶段计划.3.给出达到目标后维持体重不变的方案.第二阶段：每周吸收热量保持下限,达到减肥目标.减肥计划的制定1.确定某人的代谢消耗系数每周每千克体重消耗20000/100=200kcal每周吸收20000kcal,体重100kg不变.正常代谢消耗相当弱.=1/8000c(k)=

c,

w(k+1)=w(k)=

w

w=100c=20000

2.正常代谢情况下的第一阶段计划吸收热量由20000kcal每周减少1000kcal,直至达到安全下限10000kcal/周.

c(10)=

10000

第11周(初)体重w(11)=93.6157kg

w(1)=100kg第一阶段需10周3.正常代谢情况下的第二阶段计划吸收热量保持下限cmin

=10000kcal/周,体重减至75kg.

w(11+22)=74.9888kg

w(11+n)75w(11)=93.6157两阶段计划共需32周.

第二阶段需22周.4.为加快进程而增加运动t~每周运动时间

(h)~运动每小时每千克体重消耗热量取t=40

+t=0.03w(11)=

89.3319kg，w(11+12)=

74.7388kg

第二阶段缩短为12周两阶段计划共需22周.

(如每周步行7h加乒乓4h)5.检验“每周体重减少量≤1.5kg”

正常代谢增加运动编程计算w(k)

6.达到目标后维持体重不变的方案每周吸收热量保持常数c使体重w=75kg不变.

=15000kcal/周

正常代谢

c由20000kcal/周直接减至15000,14000,13000,12000时体重w(k)下降曲线.c=14000时w(72)=75kgc=12000时w(40)=75kg比两阶段计划的时间长，吸收热量突减对身体不利.75kg7.达到目标体重所需时间与每周吸收热量的关系令目标体重w*=w(n+1),记初始体重w1=w(1)

k=1递推至k=nw*=75w1=100c=14000

n=70.7707c=12000n=38.7407小结与评注减肥科学化、定量化——需要研究人体体重变化的规律.计算中由于增加运动使由0.025提高到0.03时(变化20%),减肥所需时间从32周减少到22周(变化约30%)——体重变化对相当敏感.体重变化既有普遍规律也与每个人特殊生理条件有关，特别是代谢消耗系数.消费者在自由竞争的市场经济中常会遇到商品价格的波动现象.供大于求价格下降减少产量增加产量价格上涨供不应求商品数量与价格在波动6.3市场经济中物价的波动物价的波动商品数量和价格主要由供求关系决定.供求平衡供求失衡波动的两种形式振幅逐渐减小，最终趋向平稳.振幅越来越大，如不干预将导致经济崩溃.讨论政府的干预方式描述波动现象研究趋向平稳的条件建立数量—价格模型商品数量和价格基本稳定.商品数量和价格出现波动.模型假设xk~第k时段商品数量yk~第k时段商品价格时段~生产周期(饲养周期、种植周期)2.yk由消费者需求关系决定3.xk+1由生产者供应关系决定4.xk,yk偏离x0,y0不大时,偏离yk-y0与xk-x0成正比,1.供求关系平衡

商品数量x0和价格y0保持不变yk<y0,价格过低xk>x0,供过于求yk<y0xk+1<x0

偏离xk+1-x0与yk-y0成正比.差分方程模型xk,yk的差分方程组消去yk-y0xk的差分方程模型yk<y0

xk+1<x0假设3yk-y0与xk-x0成正比假设4xk+1-x0与yk-y0成正比假设4假设2xk>x0

yk<y0xk递推至x1x0,y0稳定k→∞k→∞xk→x0yk→y0xk,yk→∞x0,y0不稳定差分方程模型模型分析例.平衡状态：x0=100,y0=10(元).设x1=110数量减少1价格上涨0.1元价格上涨1元

下一时段供应量增加5=5=0.1x0,y0稳定xk→x0yk→y0x0,y0不稳定例.平衡状态：x0=100,y0=10(元).设x1=110=0.1=5=0.24模型分析xk→∞yk→∞~商品数量减少1单位,价格上涨幅度~价格上涨1单位,(下时段)供应的增量~消费者对需求的敏感程度~生产者对价格的敏感程度小,有利于经济稳定小,有利于经济稳定模型分析经济稳定消费者需求关系生产者供应关系需求直线ff与g的交点P0(x0,y0)~平衡点一旦xk=x0，则yk=y0,且xk+1=xk+2=…=x0,yk+1=yk+2=…=y0

供应直线g蛛网模型xk~第k时段商品数量yk~第k时段商品价格

差分方程模型的图形表示xy0y0x0P0fgx1x2P2y1P1y2P3P4x3y3xy0y0x0P0fg设x1偏离x0P0是稳定平衡点P0是不稳定平衡点P1P2P3P4xy0y0x0P0fg蛛网模型斜率取绝对值差分方程模型与蛛网模型的一致x0,y0稳定k→∞k→∞xk→x0yk→y0xk,yk→∞x0,y0不稳定

差分方程模型蛛网模型P0是稳定平衡点P0是不稳定平衡点直线f斜率

Kf

=直线g斜率

Kg=1/<1/>1/政府的干预办法1.使尽量小，如=0

以行政手段控制价格不变2.使尽量小，如=0靠经济实力控制数量不变xyOy0gfxyOx0gf需求曲线变为水平供应曲线变为竖直稳定平衡差分方程模型的推广

根据当前和前一时段的价格决定下一时段的产量.生产者管理水平和素质提高

消费者需求关系不变xk，yk的差分方程组已知,及x0,y0,由初始值x1,x2递推地计算xk,yk

.差分方程模型的推广x0,y0不稳定原模型新模型=0.24,=5不变xk→∞yk→∞

xk→x0yk→y0

=1.2>1x0,y0稳定=1.2>1讨论稳定条件二阶线性常系数差分方程差分方程模型的推广

1,2～特征根~特征方程~稳定平衡点1,2<1比原模型的稳定条件放宽了.差分方程模型的推广特征方程稳定条件(xk→x0):1,2<1生产者管理水平和素质的提高有利于经济稳定！政府干预措施具有人们熟知的现实背景.小结与评注对市场经济中“供不应求价格上涨、供过于求价格下跌”的现象用两种模型描述和解读：差分方程：便于运算蛛网模型：直观鲜明模型参数有明确的经济学含义——敏感系数.差分方程平衡点的稳定性有明显的实际意义，反映了数学与现实的密切关系.野生动物种群在自然环境下繁殖、成长、死亡,不同年龄动物的数量比例保持平衡.饲养动物种群在人类控制下,使不同年龄动物的数量比例达到稳定的预期目标.建立动物种群的自然增长模型.讨论饲养动物种群的稳定收获.6.4动物的繁殖与收获按年龄分组的动物种群增长模型不同年龄动物的繁殖率、死亡率差别较大.建立按年龄分组种群增长的差分方程模型.时段与年龄组相对应.种群通过雌性繁殖而增长.总体数量按性别比计算.讨论稳定状况下种群的增长规律.以雌性个体数量为对象.按照年龄分组

种群按照年龄等间隔地分为n个年龄组.

时间分成与年龄组区间大小相等的时段.

每个年龄组的雌性个体在一个时段内的繁殖率

和死亡率不随时段变化.模型假设在稳定环境下和不太长时期内模型建立xi(k)~第i年龄组第k时段的种群数量,

i=1,2,…,n，k=0,1,2,…bi~第i年龄组的繁殖率(每个雌性个体一个时

段繁殖的数量).di~第i年龄组的死亡率(一个时段内死亡数量

在总量中的比例).si=1-

di~存活率bi≥0，至少一个bi>0.0<si≤1,sn=0模型建立第1年龄组(出生婴儿)k+1时段数量=各年龄组k时段繁殖数量之和.k时段第i年龄组存活的部分到k+1时段演变为第i+1年龄组.n个变量的差分方程组已知bi,si及xi(0)按年龄分组的种群增长模型k=0,1,2,…

i=1,2,…,

n-1,k=0,1,2,…任意时段各年龄组的种群数量模型建立Leslie矩阵(矩阵L)

按年龄分组的种群数量x(k)的归一化向量，按年龄分组的分布向量.Leslie模型模型求解例.种群分5个年龄组,繁殖率为b1=0,b2=0.2,b3=1.8,b4=0.8,b5=0.2,存活率为s1=0.5,s2=0.8,s3=0.8,s4=0.1,各年龄组初始数量均为100只.求任意时段各年龄组数量x(k)及分布向量x*(k).x(0)

模型求解k01234…2627282930x1(k)100300220155265…393403412423434x2(k)1005015011077…190196201206211x3(k)100804012088…149152157161165x4(k)10080643296…117120122126129x5(k)10010863…1112121213

数量向量x(k)分布向量x*(k)

x*(k)趋向稳定x(k)仍在增长k充分大结果分析分析k充分大后x(k),x*(k)的变化规律稳定状态分析的数学知识对应特征向量

xλ矩阵L存在最大特征根(正单根)c~常数满足结果分析k充分大x(k),x*(k)的特性特征向量x*归一化1.分布向量~稳定分布.2.数量与初始分布无关.各年龄组数量按同一倍数(固有增长率)增减.3.=1时x(k)

≈cxλ

,si等于同一时段相邻年龄组的数量比.=1各年龄组数量保持不变.结果分析用算例验证x(k),x*(k)的特性x*=[0.4559,0.2223,0.1734,0.1353,0.0132]T模型求解中x*(30)近似于x*1.由L计算得到=1.0254,2.模型求解中xi(30)与xi(29)之比约为=1.0254.3.=1.0254比1略大,xi+1(30)与

xi(30)之比近似于si饲养动物种群的持续稳定收获模型

同一年龄组种群的收获量在每个时段都相等．实现方法:每个年龄组每个时段种群的增长量=同一时段的收获量.控制饲养动物各年龄组的数量,实现持续稳定收获:假定自然环境下饲养动物仍服从种群增长模型:种群数量始终不变.xi(k)~第i年龄组第k时段的种群数量.hi~第i年龄组种群的收获系数(收获量与总量之比)模型建立

增长量=收获量种群增长模型实现持续稳定收获——种群数量x(k)=x

(对k不变)最大特征根为1模型建立

持续稳定收获的最大特征根给定bi,si，选择收获系数hi持续稳定收获~种群数量的稳定分布：模型建立

的特征向量()持续稳定收获增长量=收获量收获量的稳定分布HL模型求解

例.设一个种群分成３个年龄组,各年龄组的繁殖率

为b1=0,b2=5,b3=2,

存活率为s1=0.8,s2=0.5.确定各年龄组的收获系数以实现持续稳定收获.持续稳定收获的条件1.取h1=0,h2=0.75,

h3=1求种群及收获量按年龄组的稳定分布.持续稳定收获2.取h1=0.5,h2=0.5,h3=1模型求解

满足持续稳定收获条件2.出售50%的幼畜和成年牲畜及全部老年牲畜.收获量的稳定分布种群数量的稳定分布1.不出售幼畜,出售75%成年牲畜及全部老年牲畜.1.h1=0,h2=0.75,

h3=12.h1=0.5,h2=0.5,h3=11.，2.1.，2.小结与评注人口增长与动物种群数量变化规律相同,类似建立离散型女性人口模型——Leslie模型．模型基本假定：种群参数(繁殖率、存活率)只与年龄有关,与时段无关(稳定环境、时间不长).Leslie矩阵为常数矩阵L——可用特征根方法作稳定性分析.

如果种群参数随时段变化(L=L(k)),模型表为

,无稳定性分析.6.5信息传播当今每天都有大量的、正面或负面的信息，甚至谣言，通过各种传统的、近代的、特别是互联网的渠道，在几乎没有限制的人群中传播.考察总人数一定的封闭环境,开始极少数人得到了一条信息或制造了一条谣言,然后通过人与人之间的交流在人群中传播,使获知的人越来越多.在合理的简化假设下，建立数学模型来描述信息传播的规律，研究其发展趋势.模型假设1.在封闭环境中人群的总人数不变.2.信息通过已获知的人向未获知的人传播.已获知信息的人数越多(传播人群),每天新获知信息的人数越多.未获知信息的人数越多(潜在人群),每天新获知信息的人数越多.3.每天新获知信息的人数与已获知信息的人数和未获知信息的人数的乘积成正比.模型建立pk~第k天已获知信息人数

(传播人群)，N–pk~第k天未获知信息人数(潜在人群).假设：第k+1天新获知信息人数pk+1–pk=Δpk与pk和N–pk的乘积成正比.N~总人数~对于潜在人群的一位而言,每天新获知信息人数的百分比增量.c是反映传播速度的参数，c越大传播速度越快pk+1–pk=cpk(N–pk)

模型求解pk+1–pk=cpk(N–pk)设N=1000，初始获知信息的人数

p0=10.c=0.0001c=0.0002kkpkpk80天后pk才接近Npk~第k天获知信息人数

pk接近N只需40天logistic微分方程的离散形式——差分方程pk图形恰似logistic方程的S形曲线.

logistic微分方程的离散形式——差分方程无法得到pk的显式表达式关注k→∞时pk的变化

一阶非线性差分方程

预备知识6-1

差分方程的类型、求解及稳定性

标准形式

为判断x*的稳定性计算f(x)=bx(1–x)在x*的导数

只需讨论b<3和b>3时xk的变化规律(k→∞).1<b<3

xk→x*

(单调收敛)b=1.7

b=2.9

b=3.15

b=3.525

b=3.565

b=3.7

xk→x*

(振荡收敛)xk的2个子序列趋向另外2个平衡点xk的4个子序列趋向另外4个平衡点xk的8个子序列趋向另外8个平衡点xk不趋向任何平衡点,出现混沌现象

模型讨论

平衡点

p*=N

cN<2,p*稳定

b<2,xk单调收敛于x*cN<1,pk单调收敛于p*出现cN>1,pk振荡收敛

、分岔、混沌2<b<3,xk振荡收敛于x*;b>3,出现分岔、混沌

？

原方程模型讨论

设总人数N固定，讨论参数c(传播速度)的上限.传播过程中对于任意的k都有pk+1<

N.cN>1?

pk可以无限接近N.cpk<1c的上限是1/N.⨉模型拓展信息自由传播a~

每天被制止传播谣言的人数比例.pk+1–pk=cpk(N–pk)被制止传播谣言的人又加入到听信谣言的潜在人群中.人为干预信息(谣言)的传播pk+1–pk=cpk(N–pk)–

apk

被制止传播谣言的人既不再传播也不会听信，从此退出这个信息传播系统.增加新的人群——被制止传播后退出系统者.模型拓展qk+1–qk=apkqk~第k天退出系统者的人数pk+1–pk=cpk(N–pk

–qk)–apka~每天被制止传播谣言的人数比例.pk,

qk

联立组成非线性差分方程组.给定

p0和q0可递推计算pk和qk小结与评注

信息传播模型的解只能具有单调增的收敛形式，完全符合人们的直观认识.实际上信息传播速度c不可能保持不变，用随k而变的ck代替c,仍可递推计算pk,结果会更好.受限环境下传染病的蔓延和生物种群的增长都可以建立类似的数学模型.1945年7月16日美国科学家在新墨西哥州的阿拉莫戈多沙漠试爆了全球第一颗原子弹,震惊世界!当时资料是保密的,无法准确估计爆炸的威力.英国物理学家泰勒研究了两年后美国公开的录像带,利用数学模型估计这次爆炸释放的能量为19.2×103t.

后来公布爆炸实际释放的能量为21×103t

6.6原子弹爆炸的能量估计t(ms)r(m)t(ms)r(m)t(ms)r(m)t(ms)r(m)t(ms)r(m)0.1011.10.8034.21.5044.43.5361.115.0106.50.2419.90.9436.31.6546.03.8062.925.0130.00.3825.41.0838.91.7946.94.0764.334.0145.00.5228.81.2241.01.9348.74.3465.653.0175.00.6631.91.3642.83.2659.04.6167.362.0185.0泰勒测量：时刻t

所对应的“蘑菇云”的半径r原子弹爆炸的能量估计爆炸产生的冲击波以爆炸点为中心呈球面向四周传播,爆炸的能量越大,在一定时刻冲击波传播得越远.冲击波由爆炸形成的“蘑菇云”反映出来.泰勒用量纲分析方法建立数学模型,辅以小型试验,又利用测量数据对爆炸的能量进行估计.物理量的量纲长度

l的量纲记L=[l]质量

m的量纲记M=[m]时间t

的量纲记T=[t]动力学中基本量纲

L,M,T速度v的量纲[v]=LT-1导出量纲加速度a

的量纲[a]=LT-2力f

的量纲[f]=LMT-2引力常数

k

的量纲[k]对无量纲量，[]=1(=L0M0T0)量纲齐次原则=[f][l]2[m]-2=L3M-1T-2在经验和实验的基础上利用物理定律的量纲齐次原则,确定各物理量之间的关系.量纲齐次原则等式两端的量纲一致量纲分析~利用量纲齐次原则寻求物理量之间的关系.例：单摆运动lmgm求摆动周期t

的表达式设物理量t,m,l,g

之间有关系式1,2,3

为待定系数，为无量纲量(1)的量纲表达式与对比对x,y,z的两组测量值x1,y1,z1

和x2,y2,z2,

p1=f(x1,y1,z1),p2=f(x2,y2,z2)为什么假设这种形式?设p=f(x,y,z)x,y,z的量纲单位缩小a,b,c倍p=f(x,y,z)的形式为量纲齐次原则单摆运动单摆运动中t,m,l,g

的一般表达式y1~y4为待定常数,为无量纲量基本解设f(q1,q2,,qm)=0

ys

=(ys1,ys2,…,ysm)T,s=1,2,…,m-rF(

1,

2,…,

m-r)=0

与

f(q1,q2,,qm)=0

等价,F未定.

定理(Buckingham)是与量纲单位无关的物理定律，X1,X2,,Xn

是基本量纲,nm,q1,q2,,qm

的量纲可表为量纲矩阵记作线性齐次方程组有m-r

个基本解，记作为m-r

个相互独立的无量纲量,且则记爆炸能量为E，将“蘑菇云”近似看成一个球形.时刻

t

球的半径为

rt,E空气密度ρ,大气压强P基本量纲：L,M,T

原子弹爆炸能量估计的量纲分析方法建模

r与哪些因素有关？

rt

E

ρ

P

LMT量纲矩阵

y=(1,-2/5,-1/5,1/5,0)

y=(0,6/5,-2/5,-3/5,1)T原子弹爆炸能量估计的量纲分析方法建模

有2个基本解两个无量纲量原子弹爆炸能量估计的数值计算时间t非常短能量E

非常大泰勒根据一些小型爆炸试验的数据建议用r,t

的实际数据做平均空气密度=1.25(kg/m3)1×103t(TNT能量)=4.184×1012J

E=19.7957(×103t)E=8.2825×1013(J)实际值21×103t泰勒的计算tr最小二乘法拟合r=atbE=8.0276×1013

(J),即19.2×103t取y平均值得c=6.9038模型检验b=0.4058~2/5量纲分析法的评注

物理量的选取

基本量纲的选取

基本解的构造

结果的局限性(…)=0中包括哪些物理量是至关重要的.基本量纲个数n;选哪些基本量纲.有目的地构造Ay=0的基本解.

方法的普适性函数F和无量纲量未定.不需要特定的专业知识.CT(计算机断层成像)技术是20世纪50至70年代由美国科学家科马克和英国科学家豪斯费尔德发明的.1971年第一代供临床应用的CT设备问世.

螺旋式CT机等新型设备被医疗机构普遍采用.CT技术在工业无损探测、资源勘探、生态监测等领域也得到了广泛的应用.背景什么是CT，它与传统的X射线成像有什么区别？6.7CT技术的图像重建光源人眼光源人眼一个半透明物体嵌入5个不同透明度的球概念图示单方向观察无法确定球的数目和透明度让物体旋转从多角度观察能分辨出5个球及各自的透明度人体内脏胶片传统的X射线成像原理CT技术原理探测器X射线X光管人体内脏CT技术:在不同深度的断面上,从各个角度用探测器接收旋转的X光管发出、穿过人体而使强度衰减的射线;经过测量和计算将人体器官和组织的影像重新构建.图像重建

X射线强度衰减与图像重建的数学原理

射线强度的衰减率与强度成正比.I~射线强度l~物质在射线方向的厚度μ~物质对射线的衰减系数I0~入射强度

射线沿直线L穿行,穿过由不同衰减系数的物质组成的非均匀物体(人体器官).I0LOyxμ(x,y)X射线强度衰减与图像重建的数学原理

右端数值可从CT的测量数据得到多条直线L的线积分被积函数μ(x,y)FQ(q)~与Q相距q的直线L的线积分Pf(L)对所有q的平均值

Radon变换Radon逆变换图像重建反映人体器官大小、形状、密度的图像数学原理实际上只能在有限条直线上得到投影(线积分).图像重建在数学方法上的进展，为CT技术在各个领域成功的和不断拓广的应用提供了必要条件.图像重建的代数模型

Δlj每个像素对射线的衰减系数是常数m个像素(j=1,…,m),n束射线(i=1,…,n)~Li的强度测量数据μj~像素j的衰减系数

Δlj~射线在像素j中的穿行长度

J(Li)~射线Li穿过的像素j的集合

像素j

射线LiσjLiσlij图像重建的代数模型

常用算法设像素的边长和射线的宽度均为σ中心线法aij~射线Li的中心线在像素j内的长度lij与σ之比.面积法aij~射线Li的中心线在像素j内的面积sij与σ之比.sij中心法aij=1~射线Li经过像素j的中心点.图像重建的代数模型

中心法的简化形式假定射线的宽度为零,间距σaij=1~Li经过像素j内任一点987654321L4L8L7L6L5L3L2L1σ根据A和b,由确定像素的衰减系数向量x

m和n很大且m>n,方程有无穷多解+测量误差和噪声在x和e满足的最优准则下估计x

代数重建技术(ART)社会系统中需要适当且稳定的等级结构.

描述等级结构的演变过程，预测未来的结构.

确定为达到某个理想结构应采取的策略.引起等级结构变化的因素：

系统内部等级间的转移：提升和降级.

系统内外的交流：调入和退出(退休、调离等).用马氏链模型描述确定性的转移问题(将转移比例视为概率).6.8等级结构基本模型a(t)~等级结构等级i=1,2,,k（如助教、讲师、教授）数量分布n(t)=(n1(t),n2(t),,nk(t))ni(t)~t年属于等级i的人数，t=0,1,比例分布

a(t)=(a1(t),a2(t),,ak(t))转移矩阵Q={pij}kk,pij是每年从i转至j的比例基本模型ri~每年调入i的比例(在总调入人数中)pij~每年从i转至j的比例基本模型~基本模型基本模型等级结构a(t)~状态概率P~转移概率矩阵用调入比例进行稳定控制问题：给定Q,哪些等级结构可以用合适的调入比例保持不变a为稳定结构用调入比例进行稳定控制求稳定结构a=(a1,a2,a3)(a1+a2+a3=1)(0.5,0.5,0)a2=a1a3=1.5a2(0,0.4,0.6)a*B(0,0,1)(0,1,0)(1,0,0)A例大学教师(助教、讲师、教授)等级i=1,2,3，已知每年转移比例可行域A稳定域B用调入比例进行稳定控制研究稳定域B的结构寻求aaQ的另一种形式用调入比例进行稳定控制稳定域B是k维空间中以si

为顶点的凸多面体研究稳定域B的结构例(0,1,0)(1,0,0)(0,0,1)0.2860.286S1S2S3B稳定域B是以si为顶点的三角形

等级结构的演变、预测和控制在社会系统中有

广泛应用.

讨论总人数和内部转移比例不变情况下,用调入比例控制级结构的变化.

建立等级结构演变过程的基本方程,预测未来结构.各种推广情况：总人数按照一定比例增长；调入比例有界；调入比例固定而用内部转移比例控制级结构的变化.小结与评注6.9中国人口增长预测中国是一个人口大国，人口问题始终是制约我国发展的关键因素之一。2007年公布的《国家人口发展战略研究报告》提出，如果我国人口总量峰值2033年前后达到峰值15亿人左右，全国总和生育率应保持在1.8左右，过高或过低都不利于人口与经济社会的协调发展.要求从中国实际情况和人口增长特点出发，参考2005年人口抽样数据，建立中国人口增长的数学模型，并对人口增长中短期和长期趋势做出预测。以发表在《工程数学学报》2007年增刊二上学生优秀论文为基本材料,介绍建模过程.

近年来中国的人口发展出现了一些新的特点,如老龄化进程加速、出生人口性别比持续升高、乡村人口城镇化等因素,影响着中国人口的增长.中国人口增长预测——全国大学生数学建模竞赛2007年A题年龄市镇乡妇女生育率男性比例男死亡率女性比例女死亡率男性比例男死亡率女性比例女死亡率男性比例男死亡率女性比例女死亡率市镇乡00.466.380.46.080.569.10.4810.790.6513.970.5418.55

10.460.840.390.760.580.930.470.540.651.450.511.96

20.410.580.340.050.550.580.440.40.651.160.511.31

30.450.560.390.370.580.570.470.420.650.730.510.66

200.690.590.740.060.520.730.510.280.531.910.530.8229.0168.2395.01210.690.430.760.260.471.310.530.420.491.750.520.7848.17113.45150.84220.730.650.780.230.511.340.570.490.492.060.540.9264.95129.4164.58230.860.420.940.210.620.770.720.40.581.770.620.6284.17139.5167.17880.02174.50.03111.960.01176.50.031160.021630.03130.8

890.01211.90.02124.770.01155.50.02144.90.01189.30.03157.3

90+0.03