第八章-常微分方程数值解法-副本课件

1/47第八章常微分方程数值解§1

引言§2

欧拉方法§3

龙格—库塔方法§4阿达姆斯方法小结作业与实验2/47本章要求1.熟悉Euler显格式,梯形法及Euler预校法;2.熟悉局部截断误差及绝对稳定性;3.掌握龙格—库塔法。3/47一.问题提出有一个或多个导数及其函数的方程式称为微分方程，在工程中常遇到求解微分方程的问题。§1引言4/47

很多微分方程的解不能用初等函数来表示，有时即使能够用解析式表示其解，但计算量太大而不实用(表达式过于复杂)。需要用数值方法来求解，一般只要求得到若干个点上的近似值或者解的简单的近似表达式(精度要求满足即可)。§1引言5/47§1引言二.两类求定解问题实际中求解常微分方程的所谓定解问题有两类:初值问题和边值问题定解指已知因变量和/或其导数在某些点上是已知的(约束条件)。1.边解问题约束条件为已知，在自变量的任一非初值上，已知函数值和/或其导数值，如常常可以将边解问题转化为初值问题求解。6/47§1引言2.初值问题7/47初值问题的常见解法单步法：利用前一个单步的信息(一个点)，在y=f(x)上找下一点yi，有欧拉法，龙格－库格法。预测校正法：多步法，利用一个以上的前点信息求f(x)上的下一个yi，常用迭代法，如改进欧拉法，阿当姆斯法。§1引言8/47§1引言9/47§1引言10/47§1引言11/47一.欧拉（Euler）格式可忽略§2

欧拉方法12/47左矩形§2

欧拉方法13/47§2

欧拉方法14/47§2

欧拉方法15/47

欧拉公式：/*Euler’sMethod*/向前差商近似导数记为§2

欧拉方法16/47§2

欧拉方法隐式欧拉法/*implicitEulermethod*/向后差商近似导数))(,()(1101xyxfhyxy+)1,...,0(),(111-=+=+++niyxfhyyiiii由于未知数yi+1

同时出现在等式的两边，不能直接得到，故称为隐式

/*implicit*/

欧拉公式，而前者称为显式

/*explicit*/欧拉公式。一般先用显式计算一个初值，再迭代求解。17/47§2

欧拉方法18/47§7.2

欧拉方法当i=0，即x0=0时，

y1=0+0.2(1-0×0)=0.2000当i=1，即x1=0.2时，

y2=0.2+0.2(1-0.2×0.2)=0.3920当i=2，即x2=0.4时，

y3=0.392+0.2(1-0.4×0.392)=0.56064当i=3，即x3=0.6时，

y4=0.56064+0.2(1-0.6×0.56064)=0.6933632当i=4，即x4=0.8时，

y4=0.6933632+0.2(10.8×0.6933632)=0.782425088列表计算如下：i012345xi00.20.40.60.81yi0.00000.2000.39200.56060.69340.782419/47自己看看是不是§2

欧拉方法20/47§7.2

欧拉方法hxiyiy(xi)y(xi)-yih=0.20.000.400.801.201.602.000.000000.376310.542280.527090.466320.406820.000000.344830.487800.491800.449440.400000.00000-0.03148-0.05448-0.03529-0.01689-0.00682h=0.10.000.400.801.201.602.000.000000.360850.513710.509610.458720.404190.000000.344830.487800.491800.449440.400000.00000-0.01603-0.02590-0.01781-0.00928-0.00419h=0.050.000.400.801.201.602.000.000000.352870.500490.500730.454250.402270.000000.344830.487800.491800.449440.400000.00000-0.00804-0.01268-0.00892-0.00481-0.0022721/47<<显、隐式两种算法的平均§2

欧拉方法二.梯形格式22/47中点欧拉公式/*midpointformula*/中心差商近似导数§2

欧拉方法23/47

§2

欧拉方法方法显式欧拉隐式欧拉梯形公式中点公式简单精度低稳定性最好精度低,计算量大精度提高计算量大精度提高,显式多一个初值,可能影响精度/*predictor-correctormethod*/24/47改进欧拉法/*modifiedEuler’smethod*/Step1:

先用显式欧拉公式作预测，算出),(1iiiiyxfhyy+=+Step2:再将代入隐式梯形公式的右边作校正，得到1+iy)],(),([2111+++++=iiiiiiyxfyxfhyy§2

欧拉方法25/47§2

欧拉方法26/47§2

欧拉方法27/47§7.2

欧拉方法28/47§7.2

欧拉方法ixiEuler方法yi改进Euler法yi精确解y(xi)01234567891000.10.20.30.40.50.60.70.80.9111.11.1918181.2774381.3582131.4351331.5089661.5803381.6497831.7177791.78477011.0959091.1840961.2662011.3433601.4164021.4859561.5525151.6164761.6781681.73786911.0954451.1832161.2649911.3416411.4142141.4832401.5491931.6124521.6733201.732051计算结果如下:29/47

§2

欧拉方法30/47§7.2

欧拉方法31/47§7.2

欧拉方法32/47§7.2

欧拉方法/*Convergency*/33/47例：就初值问题考察欧拉显式格式的收敛性。解：该问题的精确解为欧拉公式为对任意固定的x

=xi=ih

，有§2

欧拉方法34/47§7.2

欧拉方法例：考察初值问题在区间[0,0.5]上的解。分别用欧拉显、隐式格式和改进的欧拉格式计算数值解。0.00.10.20.30.40.5精确解改进欧拉法

欧拉隐式欧拉显式

节点xi1.00002.00004.00008.00001.6000101

3.2000101

1.00002.5000101

6.25001021.56251023.90631039.76561041.00002.50006.25001.56261013.90631019.76561011.00004.97871022.47881031.23411046.14421063.0590107Whatiswrong??!/*Stability*/35/47§7.2

欧拉方法一般分析时为简单起见，只考虑试验方程

/*testequation*/常数，可以是复数36/47§2

欧拉方法37/47§3

龙格—库塔方法本节内容一.引言二.2阶龙格—库塔格式三.高阶龙格—库塔格式返回章节目录38/47§7.3

龙格—库塔方法ab几何上的解析：寻找积分曲线y0一.引言39/47§7.3

龙格—库塔方法数值解法的含义：将[a,b]分成n等份，得n+1个节点计算y(xk)(k>0)的近似值yk。abx1x2x3积分曲线40/47§7.3

龙格—库塔方法折线法法的几何构造Iabx1x2x3Euler法(折线法)斜率近似y’(a)y’(x1)y’(x2)y’(x3)前进Euler法的计算公式显式公式41/47§7.3

龙格—库塔方法折线法法的几何构造IIabx1x2x3斜率近似y’(x1)y’(x2)y’(x3)y’(x4)后退Euler法的公式隐式公式42/47单步法：即利用前一个节点的函数值yi，计算后一个节点的函数值yi+1。目的：建立高精度的单步递推格式。单步递推法的基本思想是从(xi,yi)点出发，以某一斜率沿直线达到(xi+1,yi+1)点。欧拉法及其各种变形所能达到的最高精度为2阶。§3

龙格—库塔方法二.2阶龙格—库塔格式43/47斜率一定取K1K2的平均值吗？步长一定是一个h

吗？§3

龙格—库塔方法44/47§7.3

龙格—库塔方法首先希望能确定系数1、2、p，使得到的算法格式有2阶精度，即在的前提假设下，使得

Step1:

将K2在(xi,yi)

点作Taylor

展开将改进欧拉法推广为：),(),(][12122111phKyphxfKyxfKKKhyyiiiiii++==++=+ll45/47Step2:

将K2代入第1式，得到§3

龙格—库塔方法46/47Step3:

将yi+1与y(xi+1)在xi点的泰勒展开作比较要求，则必须有：这里有3个未知数，2个方程。存在无穷多个解。所有满足上式的格式统称为2阶龙格-库塔格式。注意到，就是改进的欧拉法。§3

龙格—库塔方法47/47其中i

(i=1,…,m)，i

(i=2,…,m)

和ij

(i=2,…,m;j=1,…,i1

)

均为待定系数，确定这些系数的步骤与前面相似。)...,(......),(),(),(]...[1122112321313312122122111--++++++=+++=++==++++=mmmmmmimiiiiiimmiihKhKhKyhxfKhKhKyhxfKhKyhxfKyxfKKKKhyybbbabbaballl问题:

为获得更高的精度，应该如何进一步推广？§3

龙格—库塔方法三.高阶龙格—库塔格式48/473阶龙格-库塔法§3

龙格—库塔方法49/47§3

龙格—库塔方法最常用为四级4阶经典龙格-库塔法

/*ClassicalRunge-KuttaMethod*/

：50/47注：

龙格-库塔法的主要运算在于计算Ki

的值，即计算f

的值。Butcher

于1965年给出了计算量与可达到的最高精度阶数的关系：753可达到的最高精度642每步须算Ki的个数由于龙格-库塔法的导出基于泰勒展开，故精度主要受解函数的光滑性影响。对于光滑性不太好的解，最好采用低阶算法而将步长h

取小。§3

龙格—库塔方法51/47§7.3

龙格—库塔方法例：隐式龙格-库塔法而显式

1~4阶方法的绝对稳定区域为其中2阶方法的绝对稳定区域为0ReImgk=1k=2k=3k=4-1-2-3---123ReImg无条件稳定52/47§7.3

龙格—库塔方法例：使用高阶R-K方法计算初值问题解:（1）使用三阶R-K方法(公式)53/47§7.3

龙格—库塔方法其余结果如下:

ixik1k2k3

yi1.00000.10001.00001.10251.25551.11112.00000.20001.23451.37551.59451.24993.00000.30001.56241.76372.09221.42844.00000.40002.04042.34232