高考数学一轮单元复习：第41讲-空间角与距离的求法教学课件

第41讲│知识梳理知识梳理锐角或直角1．空间角(1)异面直线所成的角a，b为两条异面直线，过空间任意一点O，作a′∥a，b′∥b，a′、b′相交所成的

θ叫做异面直线a，b所成的角．若直线a，b的方向向量为a，b，则cosθ＝|cos〈a，b〉|.第41讲│知识梳理

(2)直线和平面所成的角平面α的一条斜线a和它在这个平面上的射影所成的

θ叫做这条直线和这个平面所成的角．一条直线垂直于平面，它们所成的角为

；一条直线和平面平行，或在平面内，它们所成的角是0°的角．若直线的方向向量为a，平面的法向量为n，则sinθ＝|cos〈a，n〉|.(3)二面角的平面角二面角的大小可以用平面角表示．若平面α和平面β的法向量分别为n1，n2，则|cos∠AOB|＝|cos〈n1，n2〉|.锐角直角第41讲│知识梳理任意

2．空间距离(1)点到平面的距离一点P到它在一个平面α内射影的距离，叫做点P到这个平面α的距离．若A为平面α内任一点，n为平面α的法向量，则点P到平面α的距离(2)直线和与它平行的平面的距离一条直线上的

一点到平面的距离，叫做这条直线和平面的距离．(3)两个平行平面的距离和两个平面同时垂直的直线，叫做两个平面的公垂线，公垂线夹在平行平面间的部分，叫做两个平面的公垂线段，两个平行平面的公垂线段的长度，叫做两个平行平面的距离．

探究点1异面直线所成的角第41讲│要点探究第41讲│要点探究【思路】建立空间直角坐标系，证明MN与平面OCD的法向量垂直，利用直线AB，MD的方向向量求它们所成的角．第41讲│要点探究第41讲│要点探究第41讲│要点探究第41讲│要点探究【点评】用几何法求异面直线所成的角，要经过直线平移去找异面直线所成的角，有时此角也不太容易找到．但利用向量求异面直线所成的角只要建立空间直角坐标系后，表示出两直线的方向向量，代入公式即可求异面直线所成的角．除了坐标法外，也可以利用基向量求，如下变式题：

变式题

已知一个60°的二面角的棱上有两点A，B，AC，BD分别是在这两个面内且垂直于AB的线段，又AB＝4，AC＝6，BD＝8，求AB与CD所成角的余弦值．第41讲│要点探究第41讲│要点探究

探究点２直线和平面所成的角第41讲│要点探究第41讲│要点探究【思路】建立空间直角标系后，表示出直线的方向向量和平面的法向量，代入公式即可求直线与平面所成的角．第41讲│要点探究第41讲│要点探究第41讲│要点探究【点评】解答时注意直线的方向向量与平面的法向量所成的角(或其补角)与所求线面角互余．建系时要充分利用图形的特点，使点的坐标易写，如本题的建系方法．当有两两垂直的三条直线时，就可以它们为坐标轴建系，如下变式题：第41讲│要点探究

变式题

在正方体ABCD－A1B1C1D1中，F是BC的中点，点E在D1C1上，且D1E＝D1C1，试求直线EF与平面D1AC所成角的正弦值．第41讲│要点探究第41讲│要点探究

探究点３二面角第41讲│要点探究

例３[2009·上海卷]如图41－8所示，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AA1＝BC＝AB＝2，AB⊥BC，求二面角B1－A1C－C1的大小．第41讲│要点探究【思路】建立空间直角坐标系，表示两平面的法向量，代入公式即可．第41讲│要点探究第41讲│要点探究第41讲│要点探究【点评】向量法求二面角时要注意直观判断二面角是锐二面角还是钝二面角，以确定平面角的大小，这是易错的地方．

探究点４两点间的距离第41讲│要点探究

例４把长、宽分别为、2的长方形ABCD沿对角线AC折成60°的二面角，求顶点B和D的距离．第41讲│要点探究第41讲│要点探究第41讲│要点探究【点评】向量法求两点间的距离，实质是求这两点连成的向量的模，可以用坐标法，也可以用基向量法．如下变式题：

变式题

在平行四边形ABCD中，AB＝AC＝1，∠ACD＝90°，将它沿对角线AC折起，使AB与CD成60°角，求B、D间的距离．第41讲│要点探究第41讲│要点探究

探究点５点到面的距离第41讲│要点探究

例５在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥底面ABCD，PA＝AD＝4，AB＝2.以AC的中点O为球心，AC为直径的球面交PD于点M，交PC于点N.(1)求证：平面ABM⊥平面PCD；(2)求直线CD与平面ACM所成角的正弦值的大小；(3)求点N到平面ACM的距离．【思路】建立空间直角坐标系，求出平面ACM的法向量，代入公式求点到平面的距离．第41讲│要点探究第41讲│要点探究第41讲│要点探究第41讲│要点探究【点评】点面距公式中该点与平面内任一点连成的向量要灵活选择(易求坐标为原则)．其他线面距、面面距都可以转化为点面距求．第41讲│规律总结规律总结1．角的计算与度量总要进行转化，这体现了转化的思想，主要将空间角转化为平面角或两向量的夹角．2．用向量的数量积来求解两异面直线所成的角，简单、易掌握．其基本程序是选基底，表示两直线方向向量，计算数量积，若能建立空间直角坐标系，则更为方便．3．找直线和平面所成的角常用方法是过线上一点作面的垂线或找线上一点到面的垂线，或找(作)垂面，将其转化为平面角，或用向量求解，或解直角三角形．第41讲│规律总结

4．二面角的求解方法一般有作垂面法、三垂线定理法、面积射影法、向量法等，特别是对“无”棱(图中没有棱)的二面角，应先找出棱或借助平面法向量夹角求解．5．各类角都可以转化为向量的夹角来运算，然后利用向量来解．(1)求两异面直线m、n的夹角θ，需求出它们的方向向量a，b的夹角，则cosθ＝|cos〈a，b〉|.(2)求直线l与平面α所成的角θ，可先求出平面α的法向量n与直线l的方向向量a的夹角，则sinθ＝|cos〈n，a〉|.

第41讲│规律总结(3)求二面角α－l－β的大小θ，可先求出两个平面的法向量n1，n2所成的角．则θ＝〈n1，n2〉或π－〈n1，n2〉．6．求点到平面的距离，若用向量知识，则离不