复变函数第1讲

复变函数主讲教师：吕巍然1中国石油大学应用数学系2复变函数主要内容：自变量为复数的函数（在高等数学中，我们研究的是自变量和因变量均为实数的函数，因而也称之为实变函数）.主要包含复数与复变函数；解析函数；复变函数的积分理论；级数理论；留数理论及其应用；共性映射等.3序

言复数的引入及其发展过程：

16世纪中叶，意大利人Cardano在解代数方程时，首先产生了负数开平方的思想.例如，解简单的方程x2+1=0时就会遇到－1开平方的问题.为了使负数开平方有意义，需要再一次扩大数系，于是就引进了虚数，使实数域扩大到复数域.然而，一开始人们对复数的认识仅仅在于一种形式上的表示，用它们进行计算时还有一些矛盾产生.例如后面要介绍莱布尼兹和贝努利的一个悖论.怪杰卡丹诺

(GirolamoCardano;1501

-1576)一个多才多艺的学者一个放荡不羁的无赖他精通数学、医学、语言学、天文学、占星学一生充满传奇，人们称他为「怪杰」.41545年，卡丹诺在他的著作《大术》（Ars

Magna）中，介绍了解三次方程的方法.从此，解三次方程的方法，就被称为「卡丹诺公式」.5卡丹诺公式解方程

x3

=

mx

+

n.n

n

2

m

3公式：x

=32

+

2

-

3

n

n

2

m

3+

32

-

2

-

3

例1

解

x3

+

6x

=

20注意：m

=-6、n

=20\

x

=

3

10

+

108

+

3

10

-

108=

26解方程公式：例2

解

x3

=

15x

+

4注意：m

=15、n

=4\

x

=

3

2

+

-121

+

3

2

--121

（无解）但非常明显，x

=4

是方程的一个解！x3

=

mx

+

n.7nn

n

2

m

3

n

2

m

3x

=

3

+2+

3

-2

2

-

3

2

-

3

虚数笛卡尔（René

Decartes;1596

-1650）法国著名的哲学家坐标几何的创始人1637年，他称一个负数的开方为虚数

(imaginary

number)但他不承认虚数是数字的一种.89序

言•复数在历史上的很长一段时间内被人们视为不可接受的虚数.直到十七和十八世纪，有两个主要原因促使了这种状况的改变：微积分的发展；复数与平面向量联系起来解决实际问题.关于复数理论最系统的叙述，是由瑞士数学家欧拉作出的.他在1777年系统地建立了复数理论，发现了复指数函数和三角函数间的关系，创立了复变函数论的积分理论等.10序言复变函数理论的重要意义十九世纪，复变函数的理论经过Cauchy、Riemann

和Weierstrass的巨大努力，已经形成了非常系统的理论，并且深刻地渗入到数学学科的许多分支.复变函数理论及方法在数学及工程技术中有着广泛的应用.比如，在复变函数理论最先得到成功应用的流体力学、电磁学、平面弹性力学这三个领域中，复变函数方法已经发展成为解决有关问题的几种经典方法之一.11第一章

复数与复变函数主要内容1、复数及其表示方法2、复数运算3、平面点集4、复变函数的连续性注:(1)两个复数相等，是指二者实部、虚部分别相同；(2)两个复数之间无法比较大小，除非都是实数.§1

复数及其四则运算1、复数的概念形如z

=x+iy的表达式，称为复数，其中x

,y为实数.=

-1

.i

2其中实部

x

=

Re(

z

);虚部

y

=

Im(

z

);x

-

iy

为

x

+

iy

的共轭复数，记为

z

.12共轭加、减：z1

–

z2

=

(

x1

–

x2

)

+

i(

y1

–

y2

);乘法：z1

z2

=

(

x1

x2

-

y1

y2

)

+

i(

x1

y2

+

x2

y1

);注:zz

=

(

x

+

iy

)(

x

-

iy

)

=

x

2

+

y

2

.2、复数的四则运算设

z1

=

x1

+

iy1

,

z2

=

x2

+

iy2

,

则213(z

„

0).x2

+

y2

x2

+

y22

2

2

2=

x1

x2

+

y1y2

+

i

x2

y1

-

x1

y22z除法：z

=z1容易证明:复数的运算满足分配律、交换律、结合律.另外，还经常用到以下性质：(1)

z1

–

z2

=

z1

–

z2

;(z2

„

0);22(3)

( )

=z

zz1

z1(2)

z1

z2

=

z1

z2

;(4)z

+

z

=

2

Re(z),z

-

z

=

2i

Im(z).145

+

3i例如，设

x

+1

+i(y

-3)

=1

+i

,求实数x

,y

.提示：y

=

11.x

=

1,15§2

复数的表示法一对有序实数(x,y

)平面上的点P

(x,y

).1.复平面易见，

z

=

x

+

iy

一对有序实数

(

x,

y).在平面上取定直角坐标

系，则任意点P

(x,y

)z

=

x

+

iy\

复数

z

=

x

+

iy可用平面上坐标为

(

x，

y

)的点P表示.基于这样一种原因，我们把此时的坐标平面称为复平面.

z

=

x

+

iy\可用向量OP表示z

=x

+iy

.称向量的长度为复数z=x+iy的模或绝对值；以正实轴为始边,以向量OP为终边的角的

度数称为复数z=x+iy

的辐角(z≠0).Oxyxyq点P(

x，y)

OP,Pz=x+iy16记作q

=

Arg

z

(

z

„

0

)

.+

y

2

,|=

r

=模

: |

z

|=

|

OPx

2x17z

„0时，tan(Argz)=y

.显然-p

<q0

£p辐角

:把其中满足记作θ0=argz.的θ0

称为辐角Argz的主值，Arg

z=θ=θ0+2kπ，k为整数.复数向量表示的重要意义：能够将代数问题化为几何问题，从而使问题变得直观,由此立即得到下面不等式：还容易看出z

=

z

, a

r

g

z

=

-

a

r

g

z

.oxy(z)z2z2

+

z1

£

z2z2

-

z1

‡

z2

-

z118+z1

(三角不等式)z1由此得:2、复数的三角表示xqrz

=

x

+

iyyxx

=

r

cosqy=

r

sinq根据上式称为复数的三角表示.3、复数的指数表示Oy可以得到z

=

r(cosq

+

i

sinq).由欧拉公式e

iq=

cos

q

+

i

sin

q可以得到复数的指数表示式:

z

=

re

iq

.19xyONSzP(z)z204.

复球面球面上的点,除去北极N外,与复平面内的点之间存在着一一对应的关系.我们可以用球面上的点来表示复数.用来表示复数的这个球面称为复球面.全体复数与复球面-{N}成一一对应关系.因而球面上的北极N

就是复数¥的几何表示.复平面加上¥后称为扩充复平面，记作C¥xyONSzP(z)z扩充复平面的定义规定:北极N与一个模为无穷大的假想的点对应.这个假想的点称为“复数无穷远21点”记作¥.22这样，球面上的每一个点，就有唯一一个复数与它对应，这样的球面称为复球面.把包括无穷远点在内的复平面称为扩充复平面，不包括无穷远点在内的复平面称为有限复平面，或就称复平面.对于∞来说,实、虚部与辐角的概念无意义，其模为｜∞｜＝＋∞，对于其它复数z

,则有｜z｜<+∞.例1.

下列方程各表示什么曲线？1）2）z

+

i

=

2

，z

-

2i

=

z

+

2

i

，3）

(3

+

i)z

+

(i

-

3)z

=

4i

，4）写出直线的复数形式方程.解：1)、2)的关键是知道复数模的几何意义，所以，1）表示圆周，2）表示直线.233）化为实方程，为此代入z

=x

+iy，得3

x

+

ix

+

3iy

-

y

+

ix

-

3

x

+

y

+

3iy

=

4i化简，得2x

+6

y

=4

，表示一条直线.4）关键：由z

=

x

+

iy,

z

=

x

-

iy得2i，得x

=

z

+z

,

y

=

z

-z2，代入直线方程ax

+

by

+

c

=

0a

-

bi

z

+

a

+

bi

z

+

c

=

0.2

2因而直线的方程为a

z

+a

z

+b

=0，其中b

为实数.24例

2

.

令

z1

=

5

-

5

i

,

z

2z1(

z1z

2

z

2

z

2,(

z1

)及Im=

-

3

+

4

i

,)

.求z

1z

2

5

-

5

i

=7

+

i

=-

3

+

4

i-

5解

:=

1

+

i

4

1

-

i

=

i

,例

3

.

求1

+

i251

-

i提示：例4

证明:

z1

+

z2

+

z1

-

z2

=

2

z1

+

z2

).2

2

2

23

)3

;

(4)cos

q

-

i

sin

qcos

q

+

i

sin

q

.;

(2) (1

+

2i

)(

2

+

i

3

);1

+

i1(1)例5

求下列复数的实部、虚

部和共轭复数

.(3) (1

+

i练习题

1.

已知

z

=

a

+

ib

,

a

,

b

˛

R,26z+

b

2

=

?a

2则则

(1-

|

a

|)(1-

|

b

|)

=

?本讲小结：1、复数的各种表示法2、复数的四则运算、共轭运算练习题2.

若

|

a

-

b

|=|

1

-

ab

|,27另辟蹊径韦达（François

Viète;1540

-1603）法国人，律师兼业余数学家.在三角学、代数学、方程理论及几何学都有杰出贡献.1591年，利用恒等式

cos3A

=4cos3A

-3cosA，解三次方程.28一大突破棣美弗（Abraham

deMoivre;1667

-1754）法国数学家，早