弯曲内力和应力课件

第九章弯曲内力及强度1起重机大梁2火车轮轴3车削工件4弯曲特点以弯曲变形为主的杆件通常称为梁5常见弯曲构件截面6常见弯曲构件截面7平面弯曲具有纵向对称面外力都作用在此面内弯曲变形后轴线变成对称面内的平面曲线8梁的载荷与支座集中载荷分布载荷集中力偶9可动铰支座:固定铰支座:固定端:10火车轮轴简化1112吊车大梁简化均匀分布载荷简称均布载荷13非均匀分布载荷14简支梁:外伸梁:悬臂梁:FAxFAyFByFAxFAyFByFAxFAyMA静定梁的基本形式15§9-1剪力和弯矩及其方程+_+_左上右下为正；反之为负左顺右逆为正；反之为负

Fs剪力，平行于横截面的内力合力。

M

弯矩，垂直于横截面的内力系的合力偶矩。16解：1.确定支反力FAyFBy2.用截面法研究内力ME求图示简支梁E截面的内力FSEFAyFSE17FByFByFAyFSEMEO分析右段得到：FSEMEO18FAyFBy

截面上的剪力等于截面任一侧外力的代数和。左上右下，剪力为正！FAyFS2FFSFAy19FAyFBy

截面上的弯矩等于截面任一侧外力对截面形心力矩的代数和。左顺右逆，弯矩为正！

MEFAy2FMEFAy20悬臂梁受均布载荷作用。试写出剪力和弯矩方程，并画出剪力图和弯矩图。解：任选一截面x

，写出剪力和弯矩方程qxl剪力图和弯矩图的绘制qx21FSxMx由剪力图、弯矩图可见。最大剪力和弯矩分别为:依方程画出剪力图和弯矩图弯矩方程:剪力方程:22FS(x)简支梁受均布载荷作用。试写出剪力和弯矩方程，并画出剪力图和弯矩图。FA＝FBy＝ql/2BAlFAqFByyxCx解：1．确定约束力2．写出剪力和弯矩方程233.依方程画出剪力图和弯矩图。FSxMx24FS(x)图示简支梁C点受集中力作用。试写出剪力和弯矩方程，并画出剪力图和弯矩图。解：1．确定约束力BAlFAFByx2x1CFabFA＝Fb/lFBy＝Fa/l2．写出剪力和弯矩方程AC:25BC:FxFS(x)BAlFAFByx2x1CFab263.依方程画出剪力图和弯矩图。FSxMxCB:AC:27xFS(x)图示简支梁C点受集中力偶作用。试写出剪力和弯矩方程，并画出剪力图和弯矩图。解：1．确定约束力BAlFAyFByx2x1CMabFAy＝M/lFBy＝-M/l2．写出剪力和弯矩方程28xFS(x)BAlFAyFByx2x1CMab293.依方程画出剪力图和弯矩图。MxFSxCB:AC:30§9-2剪力图和弯矩图的进一步研究FS(x)FS(x)+dFS(x)31载荷集度、剪力和弯矩关系：FS

(x)FS

(x)+dFS(x)32也可通过积分方法确定剪力、弯矩图上各点处的数值。从左到右，向上（下）集中力作用处，剪力图向上（下）突变，突变幅度为集中力的大小。弯矩图在该处为尖点。

从左到右，顺（逆）时针集中力偶作用处，弯矩图向上（下）突变，突变幅度为集中力偶的大小。剪力图在该点没有变化。

33

例题一简支梁在其中间部分受集度为q=100kN/m的向下的均布荷载作用，如图a所示。试利用弯矩、剪力与分布荷载集度间的微分关系校核图b及图c所示的剪力图和弯矩图。x+-100kN100kNFSxFS

图+100150100xMM图（kN·m）yFAFBABCDE2m1m4mq-34而根据可知，AC段内的剪力图应当是水平直线。该段内梁的横截面上剪力的值显然为1.

校核剪力图

解：此梁的荷载及约束力均与跨中对称，故知约束力FA，FB为+-100kN100kNFSxFS

图yFAFBABCDE2m1m4mq该梁的AC段内无荷载，35对于该梁的CD段，分布荷载的集度q为常量，且因荷载系向下而在微分关系中应为负值，即q=-100kN/m。+-100kN100kNFSxFS

图yFAFBABCDE2m1m4mq根据可知CD段内的剪力图确应为向右下方倾斜的斜直线。由于C点处无集中力作用，剪力图在该处无突变，故斜直线左端的纵坐标确为100kN。根据斜直线的斜率为，可证实D截面处的剪力确应为36对于该梁的DB段，梁上无荷载，故剪力图应该是水平直线；且由于D点处无集中力作用，剪力图在该处无突变，故该水平直线的纵坐标确为-100kN。作为复核，显然支座B偏左横截面上的剪力就是+-100kN100kNFSxFS

图yFAFBABCDE2m1m4mq372.校核弯矩图这与图中所示相符。该梁的AC段内，剪力为常量，因而根据常量可知此段梁的弯矩图应为斜率为的正值的斜直线。据此，由支座A处横截面上的弯矩为零可知C截面处的弯矩为+-100kN100kNFSxFS

图+100150100xMM图（kN·m）yFAFBABCDE2m1m4mq38事实上，这个弯矩值也可根据此式中的从几何意义上来说，它就是AC段内剪力图的面积。+-100kN100kNFSxFS

图+100150100xMM图（kN·m）通过积分来复核：39对于该梁的CD段，根据可知：弯矩图是如图(c)中所示曲率为负(即向下凸)的二次曲线。因为梁上C点处无集中力偶作用，故弯矩图在C截面处应该没有突变；+-100kN100kNFSxFS

图+100150100xMM图（kN·m）yFAFBABCDE2m1m4mq40由于C截面处剪力无突变，故CD段的弯矩图在C处的切线的斜率应该与AC段梁弯矩图在C处的斜率相等，即两段梁的弯矩图在C处应光滑连接。+-100kN100kNFSxFS

图+100150100xMM图（kN·m）yFAFBABCDE2m1m4mq41在剪力为零的跨中截面E处，弯矩图切线的斜率为零，而弯矩有极限值，其值为同样，根据可知，这些均与图(c)中所示相符。+-100kN100kNFSxFS

图+100150100xMM图（kN·m）42对于该梁的DB段，由于剪力为负值的常量，故弯矩图应该是斜率为负的斜直线。因为梁上D点处无集中力偶作用，故弯矩图在D截面处不应有突变，再考虑B支座处弯矩为零，即可证实图(c)中此段梁的弯矩图也无误。+-100kN100kNFSxFS

图+100150100xMM图（kN·m）yFAFBABCDE2m1m4mq43简支梁受力的大小和方向如图示。试画出其剪力图和弯矩图。

解：1．确定约束力根据力矩平衡方程

求得：

FAy＝0.89kN,FBy＝1.11kN

2．确定控制面

在集中力和集中力偶作用处的两侧截面以及支座反力内侧截面均为控制面。即A、C、D、E、F、B截面。BA1.5m1.5m1.5mFAyFBy1kN.m2kNEDCF443.建立坐标系建立FS－x

和M－x

坐标系4.应用截面法确定控制面上的剪力和弯矩值，并将其标在FS－x和M－x坐标系中。5.根据微分关系连图线0.335(+)(-)0.891.11M(kN.m)xO1.3351.67(-)(-)xFS

(kN)OBA1.5m1.5m1.5mFAyFBy1kN.m2kNEDCF45解法2：

1．确定约束力FAy＝0.89kNFBy＝1.11kN

2．确定控制面为A、C、D、E、F、B。

3．从A截面左侧开始画剪力图。(+)(-)0.891.11xFS

(kN)OBA1.5m1.5m1.5mFAyFBy1kN.m2kNEDCF464．从A截面左测开始画弯矩图。

从A左到A右从C左到C右从D左到D右从A右到C左从C右到D左从D右到B左从B左到B右0.335M(kN.m)xO1.3351.67(-)(-)(+)(-)0.891.11xFS

(kN)OBA1.5m1.5m1.5mFAyFBy1kN.m2kNEDCF47试画出梁剪力图和弯矩图。解：1．确定约束力根据梁的整体平衡，由求得A、B二处的约束力2．确定控制面由于AB段上作用有连续分布载荷，故A、B两个截面为控制面，约束力FBy右侧的截面，以及集中力qa左侧的截面，也都是控制面。qBADa4aFAyFByqaC483.建立坐标系建立FS－x和M－x坐标系4.确定控制面上的剪力值，并将其标在FS－x中。5.确定控制面上的弯矩值，并将其标在M－x中。

qBADa4aFAyFByqaC（+）OMx（+）（-）OFSx49解法2：

1．确定约束力2.确定控制面，即A、B、D两侧截面。

3.从A截面左侧开始画剪力图。

（+）（-）OFSxqBADa4aFAyFByqaC504．求出剪力为零的点到A的距离。5．从A截面左测开始画弯矩图B点的弯矩为:-1/2×7qa/4×7a/4+81qa2/32=qa2

AB段为上凸抛物线。且有极大值。该点的弯矩为:

1/2×9qa/4×9a/4=81qa2/32qBADa4aFAyFByqaC（+）OMx（+）（-）OFSx51试画出图示有中间铰梁的剪力图和弯矩图。解：1．确定约束力从铰处将梁截开qFDyFByFDyqaFAyMAFAyFByBAaqaCaaDqMA（-）（-）qa2/2qa2/2Mx（+）（+）（-）qa/2qa/2qaFSx52一、叠加原理：

多个载荷同时作用于结构而引起的内力等于每个载荷单独作用于结构而引起的内力的代数和。适用条件：所求参数（内力、应力、位移）必然与荷载满足线性关系。即在弹性限度内满足虎克定律。按叠加原理作弯矩图53二、材料力学构件小变形、线性范围内必遵守此原理——叠加方法步骤：①分别作出各项荷载单独作用下梁的弯矩图；②将其相应的纵坐标叠加即可（注意：不是图形的简单拼凑）。54按叠加原理作弯矩图

(AB=2a，力P作用在梁AB的中点处）。qPABP=AB+qABxM+xM1+=xM2++55

三、对称性与反对称性的应用：

对称结构在对称载荷作用下，Fs

图反对称，M图对称；对称结构在反对称载荷作用下，FS

图对称，M图反对称。56作下列图示梁的内力图。PPLLLP0Fs2x–0.5PFsx–PFs1x0.5P0.5P–++=PLL0.5P0.5P=PLLL0.5P0.5P+57PLL0.5P0.5PMxPL+M2x0.5PL0.5PL–++M1x+0.5PL=PPLLLP0=PLLL0.5P0.5P+581、熟练求解各种形式静定梁的支座反力2、明确剪力和弯矩的概念，理解剪力和弯矩的正负号规定3、熟练计算任意截面上的剪力和弯矩的数值4、熟练建立剪力方程、弯矩方程，正确绘制剪力图和弯矩图59回顾与比较内力应力FAyFSMT60纯弯曲:梁段CD上，只有弯矩，没有剪力－－纯弯曲梁段AC和BD上，既有弯矩，又有剪力－－横力弯曲§9-3纯弯曲时梁的正应力61一、变形几何关系621.梁的纯弯曲实验横向线(ab、cd）保持为直线，高度不变，相互倾斜，仍垂直于纵向线；纵向线变为弧线，凸边伸长，凹边缩短，中间有一纵向线长度不变。abcd中性层（一）变形几何规律：63平面假设：横截面变形后仍为平面，只是绕中性轴发生转动，距中性轴等高处，变形相等。各纵向纤维之间无挤压③横截面上只有正应力。3:推论2:两个概念中性层：长度不变的纵向纤维层；中性轴：中性层与横截面的交线；64Ｂ１A１4.几何方程：65（二）、物理关系：

假设：纵向纤维互不挤压。于是，任意一点均处于单项应力状态。这表明，直梁的横截面上的正应力沿垂直于中性轴的方向按直线规律变化。66（三）、静力学关系：

67由于不可能等于零，因而该两式要求：1.横截面对于中性轴z的静矩Sz

等于零；显然这是要求中性轴

z

通过横截面的形心；2.横截面对于

y轴和z轴的惯性积Iyz等于零；在对称弯曲情况下，y

轴为横截面的对称轴，因而这一条件自动满足。68杆的抗弯刚度。zEIz

)3(1LLZZEIM=rdAyz(中性轴)xzyOsdAM69（四）最大正应力：Msminsmax70正应力公式:变形几何关系:物理关系:静力学关系:为梁弯曲变形后的曲率为曲率半径,71正应力分布:5.横截面上正应力的画法：

MsminsmaxMsminsmax72①线弹性范围—正应力小于比例极限sp；②精确适用于纯弯曲梁；③对于横力弯曲的细长梁(跨度与截面高度比L/h>5)，上述公式的误差不大，但公式中的M应为所研究截面上的弯矩，即为截面位置的函数。6.公式适用范围：73常见截面的IZ

和WZ圆截面:矩形截面:74常见截面的IZ

和WZ空心矩形截面:空心圆截面:75FAyFByBAl=3mq=60kN/mxC1m30zy180120K1.C截面上K点正应力2.C

截面上最大正应力3.全梁上最大正应力4.已知E=200GPa，C

截面的曲率半径ρMxFSx90kN90kN（压应力）解：1.求支反力762.C

截面最大正应力C

截面弯矩C

截面惯性矩FAyFByBAl=3mq=60kN/mxC1m30zy180120KFSx90kN90kNMx773.全梁最大正应力最大弯矩截面惯性矩FAyFByBAl=3mq=60kN/mxC1m30zy180120KFSx90kN90kNMx784.C截面曲率半径ρC

截面弯矩C

截面惯性矩FAyFByBAl=3mq=60kN/mxC1m30zy180120KFSx90kN90kNMx79Ⅰ.

梁横截面上的切应力(1)矩形截面梁从发生横力弯曲的梁中取出长为dx的微段，如图所示。hbzyO§9-5弯曲切应力Fs(x)+dFs(x)M(x)yM(x)+dM(x)Fs(x)dx图b80由于m－m和n－n上的弯矩不相等，故两截面上对应点处的弯曲正应力s1和s2不相等。因此，从微段中用距离中性层为y且平行于它的纵截面AA1B1B假想地截出的体积元素mB1(图a及图b)，其两个端面mm'A1A上与nn'B1B上正应力对应的法向内力F*N1和F*N2也不相等。81它们分别为式中，为面积A*(图b)对中性轴z的静矩；A*为横截面上距中性轴z为y的横线AA1和BB1以外部分的面积(图b中的阴影线部分)。82即由于，故纵截面AA1B1B上有切向内力dF'S(图b)：83为确定离中性轴z为y的这个纵截面上与切向内力dF'S对应的切应力t'，先分析横截面与该纵截面的交线AA1处横截面上切应力t的情况：84

1.由于梁的侧面为自由表面(图a和图b中的面mABn为梁的侧表面的一部分)，其上无切应力，故根据切应力互等定理可知，横截面上侧边处的切应力必与侧边平行；

2.对称弯曲时，对称轴y处的切应力必沿y轴方向，亦即与侧边平行。85从而对于狭长矩形截面可以假设：1.

横截面上各点处的切应力均与侧边平行；2.

横截面上距中性轴等远处的切应力大小相等。zyys2xyzs1t1tb86

于是根据切应力互等定理可知，距中性层为y的纵截面AA1B1B上在与横截面的交线AA1处各点的切应力t‘均与横截面正交，且大小相等。至于t‘在dx长度内可以认为没有变化。这也就是认为，纵截面AA1B1B上的切应力t'在该纵截面范围内是没有变化的。于是有87以上式代入前已得出的式子得根据切应力互等定理可知，梁的横截面上距中性轴z的距离为y处的切应力t必与t'互等，从而亦有88矩形截面梁横力弯曲时切应力计算公式zyyy1式中，FS为横截面上的剪力；Iz为整个横截面对于中性轴的惯性矩；b为矩形截面的宽度(与剪力FS垂直的截面尺寸)；Sz*为横截面上求切应力t的点处横线以外部分面积对中性轴的静矩，。上式就是矩形截面等直梁在对称弯曲时横截面上任一点处切应力的计算公式。89横截面上切应力的变化规律前已讲到，等直的矩形截面梁横力弯曲时，在对称弯曲情况下距中性轴等远处各点处的切应力大小相等。现在分析横截面上切应力t在与中性轴垂直方向的变化规律。上述切应力计算公式中，FS在一定的横截面上为一定的量，Iz和b也是一定的，可见t沿截面高度(即随坐标y)的变化情况系由部分面积的静矩Sz*与坐标y之间的关系确定。90bhdy1yyzOy191可见矩形截面：1.

t

沿截面高度系按二次抛物线规律变化；2.

同一横截面上的最大切应力tmax在中性轴处(y=0):92剪应变变化规律梁横截面不再保持平面，而引起翘曲，如图b。因此而会产生附加正应力，当：附加正应力不超过按平面假设所得到的正应力的1.67％。93讨论—弯曲正应力和剪应力任意截面上危险截面上边缘中性层abcdzybhaσσbσσcττdσσττ94

例题某空心矩形截面梁，分别按图a及图b两种方式由四块木板胶合而成。试求在横力弯曲时每一胶合方式下胶合缝上的切应力。梁的横截面上剪力FS已知。95解：图a所示胶合方式下，由图可知：bdx(c)96图b所示胶合方式下，由图可知：b-2dx(d)97(2)

工字形截面梁1.腹板上的切应力其中98可见腹板上的切应力在与中性轴z垂直的方向按二次抛物线规律变化。992.在腹板与翼缘交界处：在中性轴处：对于轧制的工字钢，上式中的就是型钢表中给出的比值，此值已把工字钢截面的翼缘厚度变化和圆角等考虑在内。1003.翼缘上的切应力

翼缘横截面上平行于剪力FS的切应力在其上、下边缘处为零(因为翼缘的上、下表面无切应力)，可见翼缘横截面上其它各处平行于FS的切应力不可能大，故不予考虑。分析表明，工字形截面梁的腹板承担了整个横截面上剪力FS的90%以上。101但是，如果从长为dx的梁段中用铅垂的纵截面在翼缘上截取如图所示包含翼缘自由边在内的分离体就会发现，由于横力弯曲情况下梁的相邻横截面上的弯矩不相等，故所示分离体前后两个同样大小的部分横截面上弯曲正应力构成的合力和不相等，因而铅垂的纵截面上必有由切应力t1′构成的合力。hdxA*自由边102根据可得出从而由切应力互等定理可知，翼缘横截面上距自由边为h处有平行于翼缘横截面边长的切应力t1，而且它是随h按线性规律变化的。hdxA*自由边103FS104思考题:

试通过分析说明，图a中所示上、下翼缘左半部分和右半部分横截面上与腹板横截面上的切应力指向是正确的，即它们构成了“切应力流”。105

例题

对于由56a号工字钢制成的如图a所示简支梁，试求梁的横截面上的最大切应力tmax和同一横截面上腹板上a点处(图b)的切应力ta

。梁的自重不计。106图d为该梁的剪力图，最大剪力为FS,max，存在于除两个端截面A，B和集中荷载F的作用点处C以外的所有横截面上。(d)

解：由型钢表查得56a号工字钢截面的尺寸如图b所示，且根据型钢表有Ix=65586cm4和。前者就是前面一些公式中Iz，而后者就是我们以前在求tmax公式所。107(d)108其中：于是有：109腹板上切应力沿高度的变化规律如图所示。tmax110一.梁的正应力强度条件等直梁横截面上的最大正应力发生在最大弯矩所在横截面上距中性轴最远的边缘处，而且在这些边缘处，即使是横力弯曲情况，由剪力引起的切应力也等于零或其值很小(详见下节)，至于由横向力引起的挤压应力可以忽略不计。因此可以认为梁的危险截面上最大正应力所在各点系处于单轴应力状态。于是可按单向应力状态下的强度条件形式来建立梁的正应力强度条件：式中，[s]为材料的许用弯曲正应力。§9-6梁的强度条件111对于中性轴为横截面对称轴的梁，上述强度条件可写作由拉、压许用应力[st]和[sc]不相等的铸铁等脆性材料制成的梁，为充分发挥材料的强度，其横截面上的中性轴往往不是对称轴，以尽量使梁的最大工作拉应力st,max和最大工作压应力sc,max分别达到(或接近)材料的许用拉应力[st]和许用压应力[sc]。112弯曲正应力强度条件1.弯矩最大的截面上2.离中性轴最远处4.脆性材料抗拉和抗压性能不同，二方面都要考虑3.变截面梁要综合考虑与113根据强度条件可进行：1、强度校核:2、截面设计:3、确定梁的许可荷载:114分析：非对称截面，要寻找中性轴位置作弯矩图，寻找需要校核的截面要同时满足

T型截面铸铁梁，截面尺寸如图示。试校核梁的强度。115（2）求截面对中性轴z的惯性矩z1yz52解：（1）求截面形心116（5）C截面要不要校核？（3）作弯矩图（4）B截面校核117(a)(b)

例题

图a所示工字钢制成的梁，其计算简图可取为如图b所示的简支梁。钢的许用弯曲正应力[s]=152MPa

。试选择工字钢的号码。118解：在不计梁的自重的情况下，弯矩图如图所示119强度条件要求：此值虽略小于要求的Wz但相差不到1%，故可以选用56b工字钢。由型钢规格表查得56b号工字钢的Wz为120此时危险截面上的最大工作应力为其值超过许用弯曲应力约4.6%。工程实践中，如果最大工作应力超过许用应力不到5%，则通常还是允许的。如果计入梁的自重，危险截面仍在跨中，相应的最大弯矩则为121

例题

图a所示为横截面如图b所示的槽形截面铸铁梁，该截面对于中性轴z的惯性矩Iz=5493×104mm4。已知图a中，b=2m。铸铁的许用拉应力[st]=30MPa，许用压应力[sc]=90MPa。试求梁的许可荷载[F]。(a)(b)122解：最大负弯矩所在B截面处，若截面的上边缘处最大拉应力st,max达到[st]，则下边缘处最大压应力sc,max为根据可知此sc,max并未达到许用压应力[sc]，也就是说，就B截面而言，梁的强度由最大拉应力控制。123最大正弯矩在C截面处，若截面的下边缘处最大拉应力st,max达到[st]，则上边缘处的最大压应力sc,max为，它远小于[sc]故就C截面而言，梁的强度也由最大拉应力控制。124由以上分析可知，该梁的强度条件系受最大拉应力控制。至于究竟是B截面上还是C截面上的最大拉应力控制了梁的强度，可进一步分析如下：显然，B截面上的最大拉应力控制了梁的强度。B截面：C截面：125当然，这个许可荷载是在未考虑梁的自重的情况下得出的，但即使考虑自重，许可荷载也不会减少很多。于是由B截面上最大拉应力不得超过铸铁的许用拉应力[st]的条件来求该梁的许可荷载[F]：由此得F≤19200N，亦即该梁的许可荷载为[F]=19.2kN。126Ⅱ.梁的切应力强度条件

图a所示受满布均布荷载的简支梁，其最大弯矩所在跨中截面上、下边缘上的C点和D点处于单轴应力状态(stateofuniaxialstress)

(图d及图e)，故根据这些点对该梁进行强度计算时其强度条件就是按单轴应力状态建立的正应力强度条件

127该梁最大剪力所在两个支座截面的中性轴上E和F点，通常略去约束力产生的挤压应力而认为其处于纯剪切应力状态

(shearingstateofstress)

(图f及图g)，从而其切应力强度条件是按纯剪切应力状态建立的，即梁的切应力强度条件为亦即式中，[t]为材料在横力弯曲时的许用切应力。128梁在荷载作用