2021年北京丰台区丰台第六中学高二数学理模拟试卷含解析

2021年北京丰台区丰台第六中学高二数学理模拟试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.设a＝，b＝－，c＝－，则a，b，c的大小关系为________．参考答案：略2.阅读下列程序框图，则输出的的值为（

）A.14

B.20

C.30

D.55参考答案：D3.已知四面体ABCD，=，=，=，点M在棱DA上，=2，N为BC中点，则=（）A．﹣﹣﹣ B．﹣++ C．++ D．﹣﹣参考答案：B【考点】空间向量的加减法．【专题】数形结合；定义法；空间向量及应用．【分析】根据题意，利用空间向量的线性表示与运算，用、与表示出．【解答】解：连接DN，如图所示，四面体ABCD中，=，=，=，点M在棱DA上，=2，∴=，又N为BC中点，∴=（+）；∴=+=﹣++=﹣++．故选：B．【点评】本题考查了空间向量的线性表示与运算问题，是基础题目．4.已知两点A（﹣3，0），B（3，0），动点M满足|MA|﹣|MB|=4，则动点M的轨迹是（）A．椭圆 B．双曲线 C．双曲线的一支 D．抛物线参考答案：C【考点】双曲线的标准方程．【专题】计算题；转化思想；定义法；直线与圆．【分析】利用双曲线定义求解．【解答】解：∵两点A（﹣3，0），B（3，0），∴|AB|=6，∵动点M满足|MA|﹣|MB|=4＜|AB|=6，∴动点M的轨迹是双曲线的一支．故选：C．【点评】本题考查动点的轨迹方程的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意双曲线定义的合理运用．5.a和b为异面直线，则过a与b垂直的平面(

)

A、有且只有一个

B、一个面或无数个

C、可能不存在

D、可能有无数个参考答案：C6.已知方程，它们所表示的曲线可能是（

）参考答案：B7.已知，的取值如下表，从散点图分析，与线性相关，且回归方程为，则=（

）1234527812

A．

B．

C． D．参考答案：D，，点（）在直线上，故8.若直线l1：y=k（x﹣4）与直线l2关于点（2，1）对称，则直线l2恒过定点（）A．（0，4） B．（0，2） C．（﹣2，4） D．（4，﹣2）参考答案：B【考点】恒过定点的直线；与直线关于点、直线对称的直线方程．【分析】先找出直线l1恒过定点（4，0），其关于点（2，1）对称点（0，2）在直线l2上，可得直线l2恒过定点．【解答】解：由于直线l1：y=k（x﹣4）恒过定点（4，0），其关于点（2，1）对称的点为（0，2），又由于直线l1：y=k（x﹣4）与直线l2关于点（2，1）对称，∴直线l2恒过定点（0，2）．故选B9.已知数列的前项和为，且，，可归纳猜想出的表达式为

(

)A．

B．

C．

D．参考答案：A10.已知函数，且，则下列命题成立的是(

)A．在区间上是减函数

B．在区间上是减函数C．在区间上是增函数

D．在区间上是增函数参考答案：B二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知是第二象限角，且，那么

参考答案：12.6名运动员比赛前将外衣放在休息室，比赛后都回到休息室取衣服，由于灯光暗淡，有一部分队员拿错了外衣，其中只有2人拿到自己的外衣，且另外的4人拿到别人的外衣情况个数为

.参考答案：13513.两圆，相交于两点，则直线的方程是

．参考答案：14.函数y=8x2-lnx的单调递增区间是____▲____.参考答案：略15.二次曲线的焦距为

.参考答案：略16.函数f（x）=的定义域是．参考答案：（0，1]考点： 函数的定义域及其求法．

专题： 函数的性质及应用．分析： 由根式内部的代数式大于等于0，对数式的真数大于0联立不等式组求解x的取值集合得答案．解答： 解：由，解得0＜x≤1．∴函数f（x）=+lgx的定义域是（0，1]．故答案为：（0，1]．点评： 本题考查函数的定义域及其求法，考查了指数不等式的解法，是基础题17.设焦点是、的双曲线在第一象限内的部分记为曲线，若点都在曲线上，记点到直线的距离为,又已知，则常数___________．参考答案：略三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.（10分）过点C（0，）的椭圆+=1（a＞b＞0）的离心率为，椭圆与x轴交于两点A（a，0），B（﹣a，0），过点C的直线l与椭圆交于另一点D，并与x轴交于点P，直线AC与BD交于点Q．（1）求椭圆的方程；（2）当直线l过椭圆右焦点时，求线段CD的长；（3）当点P异于点B时，求证：?为定值．参考答案：【考点】直线与椭圆的位置关系；椭圆的标准方程．【分析】（1）由过点C（0，）的椭圆+=1（a＞b＞0）的离心率为，列出方程组，求出a，b，由此能求出椭圆的方程．（2）椭圆的右焦点为（，0），直线l的方程为y=﹣x+，代入椭圆方程化简，得，由此能求出|CD|．（3）当直线l与x轴垂直时，与题意不符．当直线l与x轴不垂直时，设直线l的方程为y=kx+，（k≠0，且k≠），代入椭圆方程，化简得（2k2+1）x2+4=0，求出D（），从而得到kBD，进而求出直线BD的方程，再由直线AC的方程联立，求出Q（﹣2，2k+），由l方程得P（﹣，0），由此能证明?为定值．【解答】解：（1）∵过点C（0，）的椭圆+=1（a＞b＞0）的离心率为，∴，解得a=2，b=，c=，∴椭圆的方程为．（2）椭圆的右焦点为（，0），此时直线l的方程为y=﹣x+，代入椭圆方程化简，得，解得，代入直线l的方程，得，y2=﹣，∴|CD|==．证明：（3）当直线l与x轴垂直时，∵椭圆与x轴交于两点A（a，0），B（﹣a，0），∴AC∥BD，与题意不符．设直线l的方程为y=kx+，（k≠0，且k≠），代入椭圆方程，化简得（2k2+1）x2+4=0，解得，代入直线l的方程，得，，∴D（），∴kBD=====，∴直线BD的方程为y=（x+2），又直线AC的方程为，联立，得，∴Q（﹣2，2k+），又由l方程得P（﹣，0），∴=（﹣）?（﹣2，2k+）=419.（本小题满分12分）学校科技小组在计算机上模拟航天器变轨返回试验．设计方案如图，航天器运行(按顺时针方向)的轨迹方程为＋＝1，变轨(即航天器运行轨迹由椭圆变为抛物线)后返回的轨迹是以y轴为对称轴、M(0，)为顶点的抛物线的实线部分，降落点为D(8,0)．观测点A(4,0)、B(6,0)同时跟踪航天器．(1)求航天器变轨后的运行轨迹所在的曲线方程；(2)试问：当航天器在x轴上方时，观测点A、B测得离航天器的距离分别为多少时，应向航天器发出变轨指令？参考答案：

(2)设变轨点为C(x，y)，联立得4y2－7y－36＝0.

∴y＝4或y＝－(不合题意，舍去)．由y＝4得x＝6或x＝－6(不合题意，舍去)．∴C点的坐标为(6,4)，此时|AC|＝2，|BC|＝4.故当观测点A、B测得AC、BC距离分别为2、4时，应向航天器发出变轨指令．20.如图1，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠BAD=，AB=BC=1，AD=2，E是AD的中点，O是AC与BE的交点．将△ABE沿BE折起到图22中△A1BE的位置，得到四棱锥A1﹣BCDE．（文、理科）证明：CD⊥平面A1OC；（理科）若平面A1BE⊥平面BCDE，求二面角D﹣A1C﹣B的余弦值．（文科）若平面A1BE⊥平面BCDE，求二面角A1﹣DC﹣B的大小．参考答案：【考点】二面角的平面角及求法；平面与平面垂直的判定．【分析】（1）先证BE⊥平面A1OC，又CD∥BE，得CD⊥平面A1OC．（2）（理）由已知得∠A1OC为二面角A1﹣BE﹣C的平面角，如图，以O为原点，建立空间直角坐标系，求出平面A1BC的法向量，平面A1CD的法向量，面A1BC与面A1CD夹角为θ，从而cosθ=cos＜＞=，即平面A1CB与平面A1CD夹角的余弦值．（2）（文）因为OC⊥CD，A1C⊥CD，所以∠A1CO即为二面角A1﹣DC﹣B的平面角，计算得∠A1CO=45°．【解答】解：（1）在图1中，AD∥BC，AB=BC=1，AE=1，∠BAD=90°，所以BE⊥AC，即在图2中，BE⊥A1O，BE⊥OC又A1O∩OC=O，所以BE⊥平面A1OC，又CD∥BE，所以CD⊥平面A1OC．（2）（理）由已知，平面A1BE⊥平面BCDE，又由（I）知，BE⊥A1O，BE⊥OC所以∠A1OC为二面角A1﹣BE﹣C的平面角，所以∠A1OC=90°．如图，以O为原点，建立空间直角坐标系，因为A1B=A1E=BC=ED=1，BC∥ED，所以B（），E（﹣，A1C（0，，0），．设平面A1BC的法向量，平面A1CD的法向量，面A1BC与面A1CD夹角为θ，由，取，由，取，从而cosθ=cos＜＞=，即平面A1CB与平面A1CD夹角的余弦值为﹣．（2）（文）因为OC⊥CD，A1C⊥CD，所以∠A1CO即为二面角A1﹣DC﹣B的平面角，计算得∠A1CO=45°．【点评】本题考查了空间线面、面面位置关系的证明，及向量法求二面角，属于中档题．21.（22分，文科做理科不做）已知函数[来源:高&考%资(源#网wxcKS5U.COM](1)求函数在点处的切线方程;(2)若函数与在区间上均为增函数,求的取值范围;参考答案：22.（本小题满分12分）已知函数（1）当时，求的单调区间；（2）若对任意，恒成立，求实数的取值范围．参考答案：解：（1）当时，

·································································································2分

由得得

的单调递增区间为，单调递减区间为······························6分（2）若对任意时，恒成立，

即时，恒成立，················································