人教A版（2023）必修一2.2基本不等式（含解析）

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（共20题）

一、选择题（共12题）

若，且，则下列不等式中，恒成立的是

A．B．C．D．

已知，都为正实数，，则的最大值是

A．B．C．D．

已知正数，满足，则的最小值是

A．B．C．D．

设，，都是正实数，且，满足，则使恒成立的的取值范围是

A．B．C．D．

三国时期赵爽在《勾股方圆图注》中，对勾股定理的证明可用现代数学表述为如图所示，我们教材中利用该图作为几何解释的是

A．如果，，那么

B．如果，那么

C．对任意实数和，有，当且仅当时等号成立

D．如果，，那么

某工厂第一年的产量为，第二年的增长率为，第三年的增长率为，这两年的平均增长率为，则

A．B．C．D．

已知，则的最小值为

A．B．C．D．

若正实数，满足，则

A．有最大值B．有最小值

C．有最大值D．有最小值

若，则的最小值为

A．B．C．D．

设，则取得最小值时，的值为

A．B．C．D．

某生产厂商更新设备，已知在未来年内，此设备所花费的各种费用总和（万元）与满足函数关系，若欲使此设备的年平均花费最低，则此设备的使用年限为

A．B．C．D．

已知函数，若，则的最小值为

A．B．C．D．

二、填空题（共5题）

已知正数，满足，那么的最小值为．

正数，满足，则的取值范围是．

已知，，且，则的最小值为．

已知，且，则的最小值为．

若对，不等式恒成立，则实数的取值范围是．

三、解答题（共3题）

已知，且，求证：．

请回答下列问题：

(1)已知，均为正实数，且，求的最小值．

(2)已知，，都为正实数，且．求证：．

已知，，且，求：

(1)的最小值；

(2)的最小值．

答案

一、选择题（共12题）

1.【答案】D

2.【答案】B

【解析】因为，都为正实数，，

所以，

当且仅当，即，时，取最大值．

3.【答案】A

【解析】因为，

所以，

所以

当且仅当，即时等号成立．

因为，均为正数，

当时，取得最小值．

4.【答案】D

【解析】因为，，都是正实数，且，

所以

当且仅当，即时，等号成立，此时，，

所以，要使恒成立，需．

5.【答案】C

【解析】将赵爽弦图中的直角三角形的两直角边长度取作，，斜边为，

则外围的正方形的面积为，即；

四个阴影部分面积之和刚好为，

对任意的正实数和，有，当且仅当时等号成立．

故选：C．

6.【答案】B

【解析】依题意有，

，当且仅当时取等号，

．

7.【答案】C

8.【答案】C

【解析】因为正实数，满足，

所以，故有最小值，故A不正确．

由基本不等式可得，

所以，故有最大值，故B不正确．

由于，

所以，故有最大值为，故C正确．

因为，故有最小值，故D不正确．

故选：C．

9.【答案】A

【解析】由题意，，

因为，

所以，，

所以，当且仅当，即时，取等号．

10.【答案】A

【解析】方法一：

因为，

当且仅当时取等号，

所以，

当且仅当时取等号，

所以

方法二：

当且仅当，，，

即，，时取等号，

故取得最小值时，

的值为．

11.【答案】B

【解析】解法一，根据题意，得：该设备所花费的年平均费用为，其中；

因为，

所以，

当且仅当，即时，取“”，

所以当时，该设备的年平均花费最低．

解法二，根据题意，得：该设备所花费的年平均费用为，其中，

设，

所以，

所以，

解得或（不合题意，舍去），

当时，，

所以时，该设备的年平均花费最低．

12.【答案】B

【解析】因为，

所以，

所以，

所以，

所以，当且仅当时取等号．

二、填空题（共5题）

13.【答案】

【解析】，为正数，由均值不等式得，

令，，则，故，

故答案为．

14.【答案】

15.【答案】

16.【答案】

17.【答案】

三、解答题（共3题）

18.【答案】证明：因为，且，则，当且仅当时，等号成立·．

所以．

19.【答案】

(1)因为，

所以．

又因为，，

所以，

当且仅当，即时，等号成立．

由得

所以当，时，取得最小值．

(2)

当且仅当时取等号，

所以．