高数考研指导-方法下描述课件

第四讲

线面积分计算法及其应用一.方法指导1.曲线积分计算法(P312-330)

统一积分变量线积分第一类(对弧长)转化第二类(对坐标)定积分用参数方程用直角坐标方程用极坐标方程

确定积分上下限第一类:下小上大（与方向无关）第二类:下始上终(与方向有关)注:定积分是第二类曲线积分的特殊情况.(1)基本方法(P312,2.)(包括5-3;5-4;5-5部分)1(2)基本技巧

(P314,3.;P315,4.;P317,6)

利用积分与路径无关的等价条件利用对称性及形心公式简化计算(积分域与被积函数的对称性要匹配)

利用格林公式

(必要时加辅助线)

及斯托克斯公式利用两类曲线积分的联系公式注意:对第二类曲线积分不要乱用对称性.2

统一积分变量面积分第一类(对面积)转化第二类(对坐标)二重积分代入曲面方程(方程不同要分片积分)

积分元素投影第一类:始终非负第二类:有向投影确定二重积分域(1)基本方法(P332,2.;P333,3.)2.曲面积分的计算法

(P330-P349)把曲面积分域投影到相关坐标面思考题1)二重积分是第一类还是第二类曲面积分?2)设曲面下列等式是否正确?√╳3(2)基本技巧

(P314,3.;P315,4.;P317,6)

利用对称性及形心公式简化计算(积分域与被积函数的对称性要匹配)

利用高斯公式

利用两类曲面积分的转化注意公式使用条件

注意添加辅助面的技巧

注意:对第二类曲面积分不要乱用对称性.3.区域上积分与边界上积分的重要关系

格林公式4•高斯公式•斯托克斯公式5(1)线面积分的应用(P349第五节有关内容)几何方面求弧长求体积求面积物理方面求质量求转动惯量求引力求变力作功求通量和流量4.线面积分的应用及场论公式求质心6物理应用的公式物体质量

m

说明:

根据几何体的不同,这里的积分符号可代表各种不同形式的积分.以下相同.质心坐标注:当(M

)为常数时,质心就是形心

.转动惯量其中

r

为

上点M

到转动中心或转动轴的距离.7

变力作功力通量(或流量)向量场沿空间曲线所作的功为通过有向曲面的通量(或流量)为8引力分量形体对点其中

k

为引力常数，处的单位质点的引力分量为9(2)场论公式

(P346-P347)向量微分算子数量场梯度由方向导数公式知梯度描述了场中变化率的最大值及其方向.向量场散度由高斯公式可知散度描述场中的源强.(通量)10旋度由斯托克斯公式可知旋度描述场中的环流状态.(环量)散度向量场11小弧段的求法：曲线：12则则如果方程为极坐标形式:13则推广:

设空间曲线弧的参数方程为14二.实例分析例1.计算其中L为曲线

(P318例1用四种方法)解:L的形心为

(0,-1),

利用形心公式曲线积分的计算15例2.计算其中L为双纽线

(P319例2)解:

在极坐标系下它在第一象限部分为利用对称性,得16例3.计算其中(P319例3)解:

利用轮换对称性及形心公式,有17例4计算，其中解设曲线的参数方程利用对称性，则18练习(1)椭圆周长为a,求(考研.98

)提示:原式19利用对称性.练习(2)求

其中提示:已知是圆心为半径为的圆,原式如何求圆心?如何求半径?20第二型曲线积分1.格林公式2.等价条件在

D

内与路径无关.在

D

内有对D

内任意闭曲线L有在D

内有设P,Q

在D

内具有一阶连续偏导数,则有统一变量化为定积分加辅助线后用格林公式将积分重新组合21例1.计算其中

L

是以原点为中心,a

为半径的上半圆周,逆时针方向.解:

第一项积分与路径无关22例22009年考研计算曲线积分是曲线解取辅助线由格林公式其中L上从点到点的一段。23例32009年考研已知曲线L的方程为起点为终点为求解方法一补充由起点到终点由格林公式方法二：24例4已知L为第一象限中由点沿圆周到点计算曲线积分解取辅助线由L与L1围成的平面区域记为D,根据格林公式，2012考研再沿圆周到点的曲线段，25例5.求其中从z

周正向看去为顺时针方向.解:取的参数方程(考研.97;P324例6)26例6计算其中为与的交线，从z轴正向看为逆时针方向。解记曲线的的部分与的部分分别为和，其参数方程分别为从0变到4;从4变到0,12年数学竞赛27两式相加得原式令

令28例7

计算,其中解取29例8.计算其中L

是以点(1,0)为中心,R(R>1)

为半径的圆周,取逆时针方向.(2000.考研;P324例7)解:在L所围域内作足够小的椭圆l

如图若L

为顺时针方向，则I=30提示:方向为逆时针,则其中方向为逆时针.作辅助线例9.计算31例10计算其中L是不经过原点的任意一条简单光滑闭曲线，方向为逆时针方向。时，否则加辅助曲线取顺时针方向。解当32例10计算其中L是不经过原点的任意一条简单光滑闭曲线，方向为逆时针方向。取顺时针方向。即解时，加辅助曲线当则33例11

计算其中L

是从点A(,2)到B(3,4)的光滑曲线(如图),且与解:

所围面积为2.(P325例8)34例12.设其中

L

是从点A(3,2/3)到B(1,2)的直线段.计算(P326例9)解:

在第一象限取路径xy=2,从A

到B,则说明:此题也可取路径为折线请自己练习.35例13.求具有一阶偏导数的函数与路径无关,且对任意

t

恒有(考研.95;L.P327例11)解:

使曲线积分左端

右端

36由题设两边对t

求导得故有37例14.确定常数为某二元函数

u(x,y)的梯度,并求u(x,y).(考研98;P495例7)解:

已知则令得利用在x>0

时积分与路径无关,则有使在右半平面

x>0上的向量38例15.确定常数为某二元函数

u(x,y)的梯度，并求u(x,y).(考研98;P495例7)使在右半平面

x>0上的向量39例16.设s

是曲线段L

的长度,在

L

上连续,证明证:设(P328例12)二者夹角为说明:

上述证法可推广到三维的第二类线、面积分40证:例17.

设在上半平面内函数具有连续偏导数,且对任意t>0都有证明对D内任意分段光滑的闭曲线L,都有两边对t求导,得:则有因此结论成立.(2006考研)41例18

已知平面区域L为D的边界,试证证:(1)根据格林公式①②所以相等,从而左端相等,即(1)成立.(2003考研)因①、②两式右端积分具有轮换对称性,42(2)由①式由轮换对称性43例19.

质点M沿着以AB为直径的半圆,从A(1,2)运动到在此过程中受力的大小等于点M到点B(3,4),原点的距离,求变力(L.P363例10;考研1990)解:由图易知故所作的功为作用,角,其方向垂直于OM,且与y

轴正向夹角为锐对质点M

所作的功.44例20.在变力的作用下,质点从原点沿直线运动到椭球面上第一卦限问当并求出

W的最大值.(考研1992)解:

直线段OM的参数方程为下面求在条件下的最大值.的点取何值时,力所作的功W最大?45在条件下的最大值.用拉格朗日乘数法,求由可解得由问题实际意义知令46提示:由积分与路径无关可导出方程例21

设且已知线积分与路径无关,则显然不含常数项,再将(A),(B)代入方程可确定答案.故剔除(C)、(D)，(P485例2(3))47定理:

设有光滑曲面f(x,y,z)在上连续,存在,且有二、对面积的曲面积分的计算法

则曲面积分基本思想：化为二重积分48曲面积分的计算为

S

在第一挂限中的部分,则有()(2000考研)提示:

利用对称性.例1.设49练习设

；解

则2012考研50例2计算半径为a的球的表面积.解:设球面方程为球面面积元素为利用球坐标方程.51例3.设计算解:

利用球面坐标令则当当52例4.计算其中是介于平面之间的圆柱面分析:

若将曲面分为前后(或左右)则解:

取曲面面积元素两片,则计算较繁.53例5.设计算(P340例7)解:的形心利用对称性的面积:及形心公式54解:利用轮换对称性,其中∑为球面:则例6.

计算55例7.计算其中解:取球面坐标系,则

56例8.

设曲面计算解由形心公式.57例8.

设曲面计算解将Σ沿x轴方向的两个半球面和的方程分别写成则、均有故58例8.

设曲面计算解

59例9.设P是曲面若在点P处的切平面与xoy平面垂直，求P点的轨迹L,上的动点，并计算曲面积分其中Σ1是椭球面Σ位于曲线L上方的部分。解令点P的坐标为由得Σ在P点处的切平面的法向量为因为Σ在P点处的切平面与平面垂直，所以有注意到,则点P的轨迹方程为(2008考研)60将Σ1向平面投影，则

两边同时微分得解得于是61例10.设是四面体的表面,计算解:

在四面体的四个面上同上方程投影域62取上侧,是上的连续函数,则定理:

设光滑曲面

•

若则有•若则有(前正后负)(右正左负)说明:如果积分曲面取下侧,则63高斯(Gauss)公式定理1.设空间闭区域由分片光滑的闭曲上有连续的一阶偏导数

,函数P,Q,R在面所围成,的方向取外侧,则有(Gauss公式)64例1

设Ω是锥面解由高斯公式得与半球面围成的空间区域，Σ是Ω的整个边界的外侧，则

(08考研)65例2.设为柱面及平面z=0

和z=3所围立体表面外侧,计算(P341例8)解:利用高斯公式,有利用对称性利用形心公式66例3.设是曲线段绕x

轴旋转一周所成曲面外侧,求(P338例3;)解:

作辅助曲面取上侧,利用高斯公式,有设它与所围区域为,67例4.设是其外法线与z轴正向夹成的锐角,计算(P339例5)解:68例5设取上侧,解:(04考研

)取的下侧，由高斯公式69例6

设Σ是锥面的下侧，则提示：取的上侧，V为上述圆锥体体积。在Σ1上，10年考研70例7设曲面Σ是的上侧，则

；解

设辅助面：取下侧。利用对称性得(08考研)71例8设取外侧