C2不可压缩无粘性流体平面势流-课件

C2不可压缩无粘性流体平面势流

1ppt课件C2.1引言粘性流体圆锥管内流动流动参数为x，r均匀流体绕流机翼(展弦比大)流动参数为x,yV

V

OXYXO不可压缩无粘性流体:散度、粘度为零﹑且无旋性。平面流:流体在流动中,其参数仅是二个空间坐标的函数。如考虑时间,有二维定常流和二维不定常流。2ppt课件C2.2无粘性流体无旋流动一般概念无粘性流体：无剪应力，只有法线方向的压强p：其动量方程（即欧拉运动方程）：C2.2.1欧拉运动方程3ppt课件上式为兰姆—葛罗米柯方程,无旋流动时,旋度〖讨论〗①欧拉和葛罗米柯方程都是忽略了粘性，所以只适用于理想流体；②它们即适用于可压无粘流,也适用于不可压无粘流；③对于气体，方程中体积力和压力相比很小，可略去,对液体不能略；④对无旋运动,用葛罗米柯方程较方便,旋度为0,方程简化。4ppt课件C2.2.2无旋流动的伯努利方程①如流动为无旋流动，则：所以，兰姆—葛罗米柯方程为：②如体积力仅为重力，则：③如流动为定常流动，则：上式两边同乘，得：5ppt课件上式两边积分得：说明：该式称为欧拉积分，它表明无旋定常流动中，总的机械能（动能+位置势能+压强势能）守恒。对不可压缩流体，=常数，得：说明：该式同沿流线的伯努利方程相同。6ppt课件Vcosα

dl

α

V

l

zyxC2.2.3有关无旋流动的几个概念速度环量Γ：在速度场中沿封闭周线的线积分.Γ=∮lV·dl

（V=ui+vj+wk，dl=dxi+dyj+dzk）

=∮lVcosαdl=∮l(udx+vdy+wdz)环量积分方向：取逆时针方向为正，顺时针方向为负。1.速度环量7ppt课件〖Stokes定理〗速度环量等于在封闭周线L上任意曲面的涡通量。曲面的法向n由右手法则确定。〖开尔文定理或汤姆逊定理〗在体积力有势﹑无粘性流体是正压的条件下,沿任一封闭的流体线的速度环量不随时间变化。2.斯托克斯定理3.环量守恒定理8ppt课件C2.3速度势与流函数C2.3.1速度势函数1.速度势的引入yx如上图所示，xy平面上的流动为无旋流动：速度的旋度为0，即：则一定存在一函数Φ(x,y,t)：式子自然成立9ppt课件速度：函数Φ(x,y,t)称为速度势函数，简称速度势。结论：无旋流动一定存在速度势。在柱坐标系(r,,z)中Ozyxθrziθizir哈密顿算子：10ppt课件速度势Φ(x,y,t)的全微分：速度分量：2.势函数等势线：势函数Φ(x,y,t)的等值线(dΦ=0)称为等势线。结论：由上式可知，速度矢量与等势线处处垂直。绕z轴的旋度:Ozyx等势线速度矢量11ppt课件3.速度势函数的应用定常不可压理想流体：连续方程（速度散度）为：理想流体为无旋流动，因此存在速度势函数：连续方程可写为：即定常不可压缩理想流体速度势满足拉普拉斯方程。12ppt课件C2.3.2流函数1.流函数的引入不可压缩流体的连续性方程（速度散度）为：则u，-v一定可表示为某一函数(x,y)的函数：式子自然成立该函数(x,y)称为流函数。13ppt课件2.流函数等值线(=C):在极坐标r平面：不可压缩流体连续性方程(速度散度)为：当d=0时，得：14ppt课件ψ3ψ2ψ1VRQPoxydydxvu〖流函数的物理意义〗流函数的等值线又代表流量。证明：如下图所示，在二维流动中，有两条流函数的等值线1、2，在两等值线（流线）上任取两点Q，P，过Q、P两点分别作垂直于x,y轴的直线相交于R点，则：通过QR边流出的流量：udy；通过PR边流入的流量：vdx；通过PQ边流入的流量：

udy-vdx=dψ=ψ2-ψ1所以，流经P,Q两点任意连线的流量等于这两点流函数值之差。15ppt课件〖说明〗①流函数的等值线(=C)就是流线；给出一组常数C值，可得到流线族，通常是以零流线(=0)代表物体表面。（例C2.4.4证明零流线并不过驻点，所以用零流线表示物体表面并不正确。）②仅在二维流动中存在流函数，对三维流动，不存在流函数，但流线仍然存在。③一切平面流动,不论是理想流体或是粘性流体,或是有旋流体,或是无旋流体,都存在流函数；但势函数只有无旋流动才存在。故对平面流动，流函数有更普遍的性质。16ppt课件④无旋流动流函数满足拉普拉斯方程⑤如流动既存在势函数，又存在流函数，则流函数的等值线与势函数的等势线正交。17ppt课件例C2.1等势线流线xyo【例】有一平面流动,它的势函数为ф(x,y)=a(x2-y2)/2。求流场上的速度分布,压强分布,并作流线和等势线的网图。解：两速度分量为：

u=∂ф/∂x=ax，v=∂ф/∂y=-ay流线方程为：dx/u=dy/v积分得：xy=C流线是等边双曲线族，以x，y轴为其渐近线。等势线族为：a(x2-y2）=C等势线也是等边双曲线族，以x=y和x=-y两直线为其渐近线。流场中各点的压强可用伯努利方程求出：

p=p0-ρ(v)2/2=p0-ρa2(x2+y2)/218ppt课件例C2.2【例】已知二维定常不可压流动的速度分布为u=ax，v=-ay，a为常数。流线方程及势函数ф

。解：由流线的微分方程dx/u=dy/v，得：

dx/x=-dy/y积分得流线方程：xy=C流线是等边双曲线族，以x，y轴为其渐近线。由无旋:∂v/∂x-∂u/∂y=0-0=0可知流场存在速度势函数ф。由u=∂ф/∂x=ax，v=∂ф/∂y=-ay分别对x,y进行积分,得:ф=ax2/2+f1(y),ф=ay2/2+f2(x)有:f1(y)=ay2/2,f2(x)=ax2/2则速度势函数ф为:ф=1/2a(x2-y2）等势线族为：a(x2-y2）=C等势线也是等边双曲线族,以x=y和x=-y两直线为其渐近线。19ppt课件C2.4平面势流与基本解

势流定义：满足无旋条件的流动必存在速度势，所以，这样的流动称为势流。平面势流定义：本书中平面势流是指定常、不可压缩平面无旋流动。根据平面势流：无旋条件和定常不可压流得：即存在平面速度势Ф,也存在流函数，流函数关系式：20ppt课件即平面势流的流函数满足拉普拉斯方程：同样，平面势流的势函数也满足拉普拉斯方程：拉普拉斯方程为线型偏微分方程，可以线型叠加。21ppt课件设均流速度U沿x轴正向,速度分布：C2.4.1基本数学模型介绍

均直流定义：全流场等速分布的直线流动称为均流，均流中各点速度大小相同，方向一致。可以证明：均匀流场无旋，因此,存在速度势函数：解得：均匀流场为二维流动，存在流函数：解得：22ppt课件Ф=C=Cyxo解得：在平面上做一系列的等、值的曲线，如右图所示。一般匀直流〖例〗匀直流，速度为V∞，与x轴的夹角为，则：速度势函数：23ppt课件解得：在平面上做一系列的等、值的曲线，如右图所示。同理，流函数：Ф=C=Cyxo速度势极坐标：速度势和流函数的极坐标表达式：流函数极坐标：24ppt课件点源和点汇定义：流体从一点流出，沿径向均匀地向各个方向的流动，称为点源；流体沿径向均匀地从各个方向流入一点的流动称为点汇，流量Q称为点源(Q>0)或点汇(Q<0)的强度。=CФ=CVrxyo=CФ=CVrxyo25ppt课件设点源或点汇为极坐标系(r,)的坐标原点，则流量为：点源或点汇速度：势函数：所以：流函数：所以：点源或点汇求解26ppt课件讨论：（1）等势线为以点源或点汇为圆心的同心圆，流线为以圆心为起点或终点的射线；（2）当点源或点汇不在原点时，r应取为相对于点源或点汇的距离，应取为相对点源或点汇的幅角。（3）在点源或点汇汇处：r→0，Vr→∞，故该点是数学上的奇点。=CФ=CVrxyo=CФ=CVrxyo27ppt课件点涡定义：一根无限长的直涡线，在与其垂直的平面内诱导的流场称为点涡场，又称为势涡或环流。在该流动中流体绕固定点作圆周运动，且速度与圆周半径成反比。=CФ=CVxyo点涡求解设涡线位于极坐标系(r,)原点，涡线的涡量为常数，沿圆周的速度环量=const（逆时针为正），所以：28ppt课件点涡速度：势函数：所以：流函数：所以：29ppt课件讨论：（1）流线为以点涡为圆心的同心圆，等势线为从圆心为发出的射线；（2）当点涡不在原点时，r应取为相对于点涡的距离，应取为相对点涡的幅角。（3）在点源或点汇汇处：r→0，V→∞，故该点是数学上的奇点。=CФ=CVxyo（4）旋度：所以，点涡为无旋流动。30ppt课件偶极子定义：等强度的一个点源和一个点汇无限靠近时所构成的流场为偶极子流(无旋有势)。偶极子求解设点汇位于极坐标系(r,)原点，点源位于(-,0)处，强度都为Q，在流场中任一点(r,)的流函数：yxoP(r,)r131ppt课件当0时：一般偶极矩（从点汇指向点源为正）：M=Q=常数同理，利用点源与点汇的势函数相叠加并取极限，可得偶极子的势函数：得流函数：32ppt课件ψ=C1

ψ=C2

Φ=C1

Φ=C2

y

x

偶极子的在直角坐标系的等势线和流线如下图所示。在直角坐标系中流函数：势函数：流场速度：讨论：（1）等势线是圆心在x轴上的圆，且都过原点；流线是圆心在y轴上的圆，且都过原点。33ppt课件平面无旋流动的叠加原理由于定常不可压理想流体无旋流动基本方程：

∂2Ф/∂x2+∂2Ф/∂y2+∂2Ф/∂z2=0是线性的，因而可把一些流动“叠加”起来。即如果已知两个或更多的流动，其速度势函数分别为ф1,ф2,…фn，并且对每一流动都分别满足拉普拉斯方程,那么由这些流动叠加而得的流动ф=ф1+ф2+…+фn也必然满足拉普拉斯方程。因此叠加而得的流动也是不可压和无旋流动，而且该流动自动满足参加叠加的各流动加在一起所给出的边界条件。34ppt课件例题1例C2.4.4

兰金半体绕流：均直流+点源：已知：位于原点的强度为Q(Q>0)的点源与沿x方向速度为U的均流叠加成一平面流场。求：(1)流函数与速度势函数；(2)速度分布式；(3)流线方程；(4)画出代表物面的流线及部分流线图。解：(1)在极坐标系中，点源的流函数和势函数为：yxoAψ=Cψ=Q/2b35ppt课件直匀流的流函数与势函数为：所以，兰金半体绕流的流函数与势函数为：(2)兰金半体绕流的速度分布式为：(3)兰金半体绕流的流线方程为：36ppt课件(4)在轮廓线上点A(b,)为驻点：所以，代表物面的流线方程：将A点代入流线方程，得：即：所以：37ppt课件例C2.4.4A

兰金卵体绕流：均直流+点源+点汇：已知：在xy坐标系中分别位于(-a,0),(a,0)两点，强度分别为±Q(Q>0)的点源和点汇与沿x方向速度为U的均直流叠加成一平面流场(图见书P51页)。求：(1)流函数与速度势函数；(2)速度分布式；(3)流线方程；(4)画出代表物面的流线及部分流线图。解：(1)在极坐标系中，点源、点汇的流函数和势函数为：例题238ppt课件直匀流的流函数与势函数为：所以，兰金卵体绕流的流函数与势函数为：(2)在直角坐标系中，兰金卵体绕流的速度分布式为：39ppt课件(3)兰金卵体绕流的流线方程为：(4)在最前面的点(-l,0)处：代表物面的流线：所以：将该点代入流线方程，求得：40ppt课件C2.5绕圆柱的平面势流xV∞

y

o

=0=0Vr

Va

BAC2.5.1无环量圆柱绕流无环量的圆柱绕流可采用“直匀流+偶极子”模拟：直匀流的方向与x轴相同,偶极流与x轴方向相反。复合流动的流函数为：r=a时，=0，所以：41ppt课件C2.5绕圆柱的平面势流xV∞

y

o

=0=0Vr

Va

BAC2.5.1无环量圆柱绕流无环量的圆柱绕流可采用“直匀流+偶极子”模拟：直匀流的方向与x轴相同,偶极流与x轴方向相反。复合流动的流函数为：42ppt课件所以，无环量绕圆柱流动流函数：类似可得势函数为：对应速度分布为：在驻点A(a,)处，速度V=0，所以：43ppt课件在圆柱表面(r=a)的速度为：在圆柱表面的压强：ACDBCpθ〖讨论〗直匀流绕不带环流的圆柱流动时，圆柱体所受到流体的作用力的合力为0。〖推广〗直匀流绕任意物体流动时,当忽略粘性,流动即未分离也未产生旋涡,该物体所受到阻力为0。44ppt课件C2.5.2有环量圆柱绕流有环量的圆柱绕流可采用“直匀流+偶极子+点涡”模拟：直匀流的方向与x轴相同，偶极流与x轴方向相反，点涡环量为顺时针方向，得有环量圆柱绕流流函数和势函数为：1.速度分布45ppt课件在圆柱表面(r=a)的速度为：在圆柱表面驻点A处：AB

cr在圆柱表面的压强：46ppt课件AB

驻点位置随环量的增大，驻点位置临界角cr=3/2时：在圆柱表面的压强：圆柱表面所受压强合力：有环量圆柱绕流，不存在x向的作用力(阻力),但却产生y向的作用力(升力)。47ppt课件C2.6绕机翼的平面势流C2.6.1儒可夫斯基升力定理库塔-儒可夫斯基定理：当理想流体绕有环流的圆柱体或旋转的圆柱体流动时，作用在单位长度柱体上的力等于来流速度与环量及密度三者的乘积，方向为来流方向沿与环量相反方向旋转90角。表达式为：C2.6.2绕翼型流动的库塔条件机翼展长—机翼两端面的距离；翼型—机翼的剖面形状称为翼型。48ppt课件翼型①后缘：翼型上的后尖点。②前缘：翼型上最前点，即距后缘最远的点。③翼弦C：连接前后缘的直线段，其长度为弦长。④中弧线（中线）：翼型内部做一系列与上下翼面相切的内切圆，其圆心的连线。⑤翼型厚度：上下翼面到弦线距离差，常用相对厚度。⑥最大弯度(简称弯度)：翼型中线与翼弦之间的最大垂直距离。⑦迎角(或攻角):翼弦与来流方向之间的夹角。

cABb49ppt课件库塔条件：运动翼型上的后驻点与后缘重合,沿上下翼面的流动速度在后缘平滑衔接，即流体光滑流过后缘