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第十一章柱函数三类柱函数贝塞尔方程11.三类柱函数一.回顾1.贝塞尔方程:2.贝塞尔方程的解1)不是整数或半奇数方程的通解:二.三类柱函数第一类柱函数2第三类柱函数为整数阶时或者不是整数或者半奇数阶时都成立做线性独立的第一种汉克尔函数,第二种汉克尔函数第二类柱函数贝塞尔方程的通解:3三.当a.解在圆柱轴上解有限就成为自然的边界条件b.零阶和正阶的贝塞尔函数可作为定解问题的解当时柱函数的性质1.42.递推公式56一.勒让德多项式轴对称球函数(1)一般表达式级数表示约定级数中最高次幂的系数是反用系数递推公式7微分表示展开再求导L次可得积分表示8具体形式代数表达式9图象1011二.勒让德多项式的性质奇偶性Pl(-x)=(-1)lPl(x)零点定理L阶勒让德多项式为L次多项式，有L个零点。正交性正交性公式模完备性完备性公式广义傅立叶系数完备性应用例题12三完备性应用例题例1：把函数f(x)=2x3+3

x+4用勒让德多项式展开。13轴对称拉普拉斯方程的求解四勒让德多项式的应用14例3：在球的内部求解使满足边界条件解：15例3半径为r0

的半球，球面上温度分布为保持为

，底面绝热，确定半球内空间的稳定温度分布u。16例4在本来是匀强的静电场中放置均匀介质球，本来的电场强度是E0，球的半径是，介电常数是，试求介质球内外的电场强度分析：球内电势球外电势衔接条件17作业：1.（1）（2），5.18一.连带勒让德函数10.2连带勒让德函数设带入方程整理得:有限求对应的本征函数:19利用莱布尼茨求导规则把勒让德方程求导m次:所以通常记作:20注意:

区分212223二.连带勒让德函数的性质奇偶性

正交性正交性公式模完备性完备性公式广义傅立叶系数m相同的连带勒让德函数是完备的2410.3球函数球函数方程一.球函数25任取其一,球函数方程的解为球函数:二.球函数的性质正交性26完备性例1.用球函数把下列函数展开例2.用球函数把展开27三.拉普拉斯方程的非轴对称定解问题拉普拉斯方程在球形区域的定解问题,如果是非轴对称的,问题与有关,用一般的球函数例4.半径为的球形区域内部没有电荷,球面上的电势为为常数,求球形区域内部的电势分布解:定解问题为28由边界条件知:解为一般的球函数由于解在内部有限,所以含项舍去所

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